1. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\cos B=\dfrac{1}{2}$，则$\sin A$的值为().

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$1$

C

【分析】
这是一道直角三角形中锐角三角函数的基础题，解题思路如下：①首先明确直角三角形的两个锐角互余，即∠A+∠B=90°；②已知cosB的值，可通过两种方法求解sinA：方法一：根据特殊角的三角函数值先求出∠B的度数，再计算∠A的度数，最后求sinA的值；方法二：利用互余两角的三角函数关系，直接推导sinA和cosB的关系，快速得到结果。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°，
根据互余两角的三角函数关系可得：sinA = cos(90°-A) = cosB，
已知cosB = $\dfrac{1}{2}$，
∴ sinA = $\dfrac{1}{2}$。
（验证解法：
∵cosB=$\dfrac{1}{2}$，且∠B为锐角，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴sinA=sin30°=$\dfrac{1}{2}$）
故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 特殊角的三角函数值
3. 互余角的三角函数关系
【点评】
本题属于基础题，主要考查锐角三角函数的基本应用，解题时既可以通过计算角度求解，也可以利用互余角的三角函数关系快速推导，熟练掌握特殊角的三角函数值和三角函数基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AC≠ BC$，$∠ C=90°$，则下列式子成立的是().

A.$\sin A=\sin B$
B.$\sin A=\cos B$
C.$\tan A=\tan B$
D.$\cos A=\tan B$

B

【分析】
解题时首先明确直角三角形中两锐角互余的性质，再结合锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，将每个选项中的三角函数转化为直角三角形对应边的比值，再根据AC≠BC（即两条直角边长度不等）的条件逐一验证选项是否成立即可。
【解析】
设Rt△ABC中，∠C=90°，各边对应为：BC=a（∠A的对边），AC=b（∠B的对边），斜边AB=c，由题知AC≠BC，即a≠b。
逐一分析选项：
A. $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$，$\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$，因为a≠b，所以$\sin A≠\sin B$，A错误；
B. $\cos B=\frac{∠B的邻边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$，而$\sin A=\frac{a}{c}$，所以$\sin A=\cos B$，B正确；
C. $\tan A=\frac{∠A的对边}{∠A的邻边}=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$，$\tan B=\frac{∠B的对边}{∠B的邻边}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}$，因为a≠b，所以$\tan A≠\tan B$，C错误；
D. $\cos A=\frac{∠A的邻边}{斜边}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}$，因为c≠a，所以$\cos A≠\tan B$，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是锐角三角函数的基础应用题，核心是掌握正弦、余弦、正切对应的边的比例关系，结合直角三角形的角度性质即可快速判断，解题时注意题干给出的边不相等的限制条件，避免粗心误选。
【难度系数】
0.8

3. 在研究钝角的三角函数时,可利用$\sinα=\sin(180°-α)$,$\cosα=-\cos(180°-α)(90°＜α＜180°)$进行转换.请利用上述知识计算$\sin150°+\cos150°$的值为().

A.$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

B

【分析】
解题思路可分为三步：首先确认150°属于90°＜α＜180°的钝角范围，符合题目给出的转换公式的适用条件；其次分别套用正弦、余弦的转换公式，把150°的三角函数转化为我们已经学过的30°锐角的三角函数；最后代入30°的三角函数值计算求和，对应选项选出正确答案即可。
【解析】
1. 计算$\sin150°$：
根据题目给出的公式$\sinα=\sin(180°-α)$，代入$α=150°$可得：
$\sin150°=\sin(180°-150°)=\sin30°=\frac{1}{2}$
2. 计算$\cos150°$：
根据题目给出的公式$\cosα=-\cos(180°-α)$，代入$α=150°$可得：
$\cos150°=-\cos(180°-150°)=-\cos30°=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
3. 求和：
$\sin150°+\cos150°=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
B
【知识点】
特殊角的三角函数值；钝角三角函数转换
【点评】
本题考查对新规则的理解应用能力，以及对特殊锐角三角函数值的记忆掌握，只要准确套用给定公式、熟记特殊角的三角函数值就能顺利解题。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 已知∠A是锐角，若$\cos A = \sin 50°$，则∠A的度数为。

$\boldsymbol{40°}$

【分析】
解题时首先回忆互余两角的三角函数关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。第一步我们可以把等式右侧的$\sin50°$转化为余弦形式，再结合$∠ A$是锐角的条件，相等的余弦值对应的锐角度数相等，即可求出$∠ A$的度数。
【解析】
根据互余两角的三角函数关系可得：
$\sinα = \cos(90° - α)$（$α$为锐角）
因此$\sin50° = \cos(90° - 50°) = \cos40°$
已知$\cos A = \sin50°$，代入可得$\cos A = \cos40°$
又因为$∠ A$是锐角，锐角的余弦值与角度是一一对应的，所以$∠ A = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
1. 互余角的三角函数关系
2. 锐角三角函数性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查互余两角的正、余弦转换关系，解题时注意利用题干给出的$∠ A$是锐角的限定条件，排除多解情况即可，熟练掌握三角函数的基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8

5. 比较大小：
（1）$\tan 30°$ ______ $\tan 20°$；
（2）$\sin 30°$ ______ $\sin 20°$；
（3）$\cos 30°$ ______ $\cos 20°$；
（4）$\sin 20°$ ______ $\cos 20°$。

解：
根据锐角三角函数的增减性：当锐角$α$满足$0°＜α＜90°$时，$\tanα$、$\sinα$的值均随$α$的增大而增大，$\cosα$的值随$α$的增大而减小，且有$\cosα=\sin(90°-α)$。
（1）$\because 30°＞20°$，
$\therefore \tan30°＞\tan20°$；
（2）$\because 30°＞20°$，
$\therefore \sin30°＞\sin20°$；
（3）$\because 30°＞20°$，
$\therefore \cos30°＜\cos20°$；
（4）$\because \cos20°=\sin(90°-20°)=\sin70°$，$20°＜70°$，
$\therefore \sin20°＜\sin70°=\cos20°$，即$\sin20°＜\cos20°$。
答案依次为：$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$。

【分析】
要比较锐角三角函数的大小，首先需要掌握0°~90°区间内锐角三角函数的增减性：正切值、正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小；若比较不同名的三角函数大小，可先利用互余角的三角函数关系$\cosα=\sin(90°-α)$转化为同名三角函数，再结合增减性比较即可。其中前3小题为同名三角函数比较，直接对比角度大小结合对应增减性判断即可；第4小题为不同名三角函数比较，先转换为同名函数再判断。
【解析】
根据锐角三角函数的性质：当锐角$α$满足$0°＜α＜90°$时，$\tanα$、$\sinα$的值均随$α$的增大而增大，$\cosα$的值随$α$的增大而减小，且互余角满足$\cosα=\sin(90°-α)$。
（1）$\because 30°＞20°$，正切值随角度增大而增大，$\therefore \tan30°＞\tan20°$；
（2）$\because 30°＞20°$，正弦值随角度增大而增大，$\therefore \sin30°＞\sin20°$；
（3）$\because 30°＞20°$，余弦值随角度增大而减小，$\therefore \cos30°＜\cos20°$；
（4）先转换为同名函数：$\cos20°=\sin(90°-20°)=\sin70°$，$\because 20°＜70°$，正弦值随角度增大而增大，$\therefore \sin20°＜\sin70°=\cos20°$，即$\sin20°＜\cos20°$。
【答案】
$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＞}$；$\boldsymbol{＜}$；$\boldsymbol{＜}$
【知识点】
锐角三角函数增减性；互余两角三角函数关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查锐角三角函数的大小比较，解题关键是熟练记忆不同锐角三角函数的增减性，以及互余角的正余弦转换规则，注意不要混淆余弦的增减性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=α$，$∠ ADC=β$，用含$α$和$β$的代数式表示$\frac{AD}{AB}$的值为。

解：
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\sinα = \frac{AC}{AB}$，即$AC = AB·\sinα$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，
$\sinβ = \frac{AC}{AD}$，即$AC = AD·\sinβ$。
因此$AB·\sinα = AD·\sinβ$，
整理得$\frac{AD}{AB} = \frac{\sinα}{\sinβ}$。
$\boxed{\dfrac{\sinα}{\sinβ}}$

【分析】
观察图形可得，Rt△ABC和Rt△ADC有公共的直角边AC，要求$\frac{AD}{AB}$的比值，可将AC作为中间量建立AB和AD的联系：首先分别在两个直角三角形中，根据锐角正弦的定义，用AB、AD表示出AC的长度，再令两个AC的表达式相等，通过等式变形即可推出$\frac{AD}{AB}$的结果。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sinα = \frac{AC}{AB}$，变形得$AC = AB·\sinα$。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ C=90°$，同理可得：
$\sinβ = \frac{AC}{AD}$，变形得$AC = AD·\sinβ$。
由于两个式子中AC表示同一条线段，因此有$AB·\sinα = AD·\sinβ$，
将等式两边同时除以$AB·\sinβ$，整理得$\frac{AD}{AB} = \frac{\sinα}{\sinβ}$。
【答案】
$\boxed{\dfrac{\sinα}{\sinβ}}$
【知识点】
1. 正弦的定义
2. 直角三角形边角关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是找到两个直角三角形的公共边作为中间量，结合锐角三角函数的定义建立线段之间的等量关系，再通过简单的等式变形得到结果，能够很好地考查对锐角三角函数基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.8

三、解答题
7. 如图，已知锐角三角形ABC.
（1）过点A作边BC的垂线MN，交BC于点D；（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若$BC=5$，$AD=4$，$\tan∠ BAD=\frac{3}{4}$，求$DC$的长.

解：
(1) 按尺规作图要求作出过点A且垂直于BC的直线MN，交BC于点D，保留作图痕迹即可。
(2) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = 90°。
在Rt△ABD中，$\tan∠ BAD = \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4}$，
将$AD=4$代入得：$BD = AD · \tan∠ BAD = 4 × \frac{3}{4} = 3$。
又∵ $BC=5$，
∴ $DC = BC - BD = 5 - 3 = 2$。
答：DC的长为2。

【分析】
（1）第一问为基础尺规作图，掌握过直线外一点作已知直线垂线的作图方法，按要求保留作图痕迹即可。（2）第二问思路梳理：首先由AD垂直BC可得△ABD是直角三角形，锐角三角函数的应用前提是在直角三角形中，结合已知的tan∠BAD和AD的长度，根据正切的定义（直角三角形中锐角的正切为对边与邻边的比值）可算出BD的长度，再根据DC等于BC减去BD，代入已知BC的长度即可求出DC的长。
【解析】
（1）按尺规作图要求作出过点A且垂直于BC的直线MN，交BC于点D，保留作图痕迹即可。
（2）
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = 90°，△ABD为直角三角形。
在Rt△ABD中，$\tan∠ BAD = \frac{BD}{AD} = \frac{3}{4}$，
将$AD=4$代入得：$BD = AD · \tan∠ BAD = 4 × \frac{3}{4} = 3$。
又
∵ $BC=5$，
∴ $DC = BC - BD = 5 - 3 = 2$。
【答案】
（1）作图略；（2）DC的长为$\boxed{2}$
【知识点】
1. 尺规作垂线 2. 正切的定义 3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，结合了尺规作图和锐角三角函数的应用，考察内容都为核心基础知识点，解题的关键是明确直角三角形中正切对应的边的比例关系，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.8