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8. 如图,在△ABC中,∠A=30°,tan B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,AC=2$\sqrt{3}$,求AB的长.
答案
解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ CD = AC·sin30° = 2√3 × $\frac{1}{2}$ = √3，
AD = AC·cos30° = 2√3 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} × 2}{\sqrt{3}} = 2$，
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ CD = AC·sin30° = 2√3 × $\frac{1}{2}$ = √3，
AD = AC·cos30° = 2√3 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} × 2}{\sqrt{3}} = 2$，
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5。
解析
【分析】
本题属于斜三角形求边长的问题，由于没有现成的直角无法直接用锐角三角函数计算，因此解题核心思路是作高构造直角三角形：过点C作CD⊥AB，将△ABC拆分为两个直角三角形。首先在Rt△ACD中，结合已知的∠A度数和AC边长，用正弦、余弦三角函数分别求出CD、AD的长度；再在Rt△BCD中，利用tanB的定义和已求出的CD长度算出BD的长度；最后AB为AD与BD的和，相加即可得到结果。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ $CD = AC·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} × 2}{\sqrt{3}} = 2$，
∴ $AB = AD + BD = 3 + 2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，转化思想
【点评】
本题是锐角三角函数应用的常规基础题，解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，把未知边拆分到两个直角三角形中分别求解，能够很好地考察学生对三角函数的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于斜三角形求边长的问题，由于没有现成的直角无法直接用锐角三角函数计算，因此解题核心思路是作高构造直角三角形：过点C作CD⊥AB，将△ABC拆分为两个直角三角形。首先在Rt△ACD中，结合已知的∠A度数和AC边长，用正弦、余弦三角函数分别求出CD、AD的长度；再在Rt△BCD中，利用tanB的定义和已求出的CD长度算出BD的长度；最后AB为AD与BD的和，相加即可得到结果。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ $CD = AC·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3} × 2}{\sqrt{3}} = 2$，
∴ $AB = AD + BD = 3 + 2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
锐角三角函数，解直角三角形，转化思想
【点评】
本题是锐角三角函数应用的常规基础题，解题关键是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，把未知边拆分到两个直角三角形中分别求解，能够很好地考察学生对三角函数的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,若河岸的两边平行,河宽为900 m,一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处,AB与河岸的夹角是$60°$,船的速度为5 m/s,则船从A到B处约需多少分钟?(结果精确到0.1 min,参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.73$)
答案
解：过点B作BC垂直于点A所在的河岸，垂足为C，
由题意可知：$BC=900\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin∠ BAC=\dfrac{BC}{AB}$，
因此$AB=\dfrac{BC}{\sin60°}=\dfrac{900}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=600\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
船从A到B的行驶时间为：
$t=\dfrac{AB}{5}=\dfrac{600\sqrt{3}}{5}=120\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，
换算为分钟：$\dfrac{120\sqrt{3}}{60}=2\sqrt{3}\approx2×1.73=3.46\approx3.5\ \mathrm{min}$。
答：船从A到B处约需3.5分钟。
由题意可知：$BC=900\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin∠ BAC=\dfrac{BC}{AB}$，
因此$AB=\dfrac{BC}{\sin60°}=\dfrac{900}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=600\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
船从A到B的行驶时间为：
$t=\dfrac{AB}{5}=\dfrac{600\sqrt{3}}{5}=120\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，
换算为分钟：$\dfrac{120\sqrt{3}}{60}=2\sqrt{3}\approx2×1.73=3.46\approx3.5\ \mathrm{min}$。
答：船从A到B处约需3.5分钟。
解析
【分析】
要计算船从A到B的行驶时间，已知船的速度，根据“时间=路程÷速度”，首先需要求出路程AB的长度。河宽是河岸两边的垂直距离，我们可以过点B向A所在的河岸作垂线，构造出含60°角的直角三角形，利用锐角三角函数的正弦值求出斜边AB的长度，再代入行程公式计算时间，最后将时间单位从秒换算为分钟，按要求取近似值即可。
【解析】
过点B作BC垂直于点A所在的河岸，垂足为C，由题意可知：$BC=900\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正弦的定义：$\sin∠ BAC=\dfrac{BC}{AB}$，
因此$AB=\dfrac{BC}{\sin60°}=\dfrac{900}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=600\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
根据行程公式，船从A到B的行驶时间为：
$t=\dfrac{AB}{v}=\dfrac{600\sqrt{3}}{5}=120\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，
将时间单位换算为分钟：$\dfrac{120\sqrt{3}}{60}=2\sqrt{3}\approx2×1.73=3.46\approx3.5\ \mathrm{min}$。
【答案】
船从A到B处约需3.5分钟。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正弦函数的定义
3. 行程问题计算
【点评】
本题是锐角三角函数的实际应用类基础题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，计算过程中要注意单位的统一，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算船从A到B的行驶时间，已知船的速度，根据“时间=路程÷速度”，首先需要求出路程AB的长度。河宽是河岸两边的垂直距离，我们可以过点B向A所在的河岸作垂线，构造出含60°角的直角三角形，利用锐角三角函数的正弦值求出斜边AB的长度，再代入行程公式计算时间，最后将时间单位从秒换算为分钟，按要求取近似值即可。
【解析】
过点B作BC垂直于点A所在的河岸，垂足为C，由题意可知：$BC=900\ \mathrm{m}$，$∠ BAC=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据正弦的定义：$\sin∠ BAC=\dfrac{BC}{AB}$，
因此$AB=\dfrac{BC}{\sin60°}=\dfrac{900}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=600\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
根据行程公式，船从A到B的行驶时间为：
$t=\dfrac{AB}{v}=\dfrac{600\sqrt{3}}{5}=120\sqrt{3}\ \mathrm{s}$，
将时间单位换算为分钟：$\dfrac{120\sqrt{3}}{60}=2\sqrt{3}\approx2×1.73=3.46\approx3.5\ \mathrm{min}$。
【答案】
船从A到B处约需3.5分钟。
【知识点】
1. 解直角三角形的应用
2. 正弦函数的定义
3. 行程问题计算
【点评】
本题是锐角三角函数的实际应用类基础题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，计算过程中要注意单位的统一，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
