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6. 如图，已知点P在x轴的正半轴上，△ADC是由等腰直角三角形EOG以点P为位似中心变换得到的.已知EO=1，OD=DC=2，则位似中心点P的坐标是. 
答案
解：
由题意可得各点坐标：$E(-1,0)$，$O(0,0)$，$G(0,-1)$，$D(2,0)$，$A(2,2)$，$C(4,0)$。
设位似中心点$P$的坐标为$(x,0)$，其中$x＞0$。
$\because △ EOG$与$△ ADC$位似，位似比为$EO:DC=1:2$，
$\therefore$ 对应点到位似中心的距离之比等于位似比，即$\dfrac{PO}{PD}=\dfrac{1}{2}$。
又$PO=x$，$PD=2-x$，代入得：
$\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{1}{2}$
解得$x=\dfrac{2}{3}$，符合题意。
$\therefore$ 位似中心点$P$的坐标是$(\dfrac{2}{3},0)$。
$\boxed{(\dfrac{2}{3},0)}$
由题意可得各点坐标：$E(-1,0)$，$O(0,0)$，$G(0,-1)$，$D(2,0)$，$A(2,2)$，$C(4,0)$。
设位似中心点$P$的坐标为$(x,0)$，其中$x＞0$。
$\because △ EOG$与$△ ADC$位似，位似比为$EO:DC=1:2$，
$\therefore$ 对应点到位似中心的距离之比等于位似比，即$\dfrac{PO}{PD}=\dfrac{1}{2}$。
又$PO=x$，$PD=2-x$，代入得：
$\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{1}{2}$
解得$x=\dfrac{2}{3}$，符合题意。
$\therefore$ 位似中心点$P$的坐标是$(\dfrac{2}{3},0)$。
$\boxed{(\dfrac{2}{3},0)}$
解析
【分析】
解决本题首先回忆位似图形的核心性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似比等于对应边的长度比。首先根据题目给出的边长确定两个等腰直角三角形各顶点的坐标，已知位似中心P在x轴正半轴上，因此可设P的坐标为$(x,0)$，选取x轴上的一组对应点，计算两点到P的距离，结合位似比列比例方程求解即可得到P的坐标。
【解析】
第一步：确定各点坐标
$\because △ EOG$是等腰直角三角形，$EO=1$，
$\therefore E(-1,0)$，$O(0,0)$，$G(0,-1)$；
$\because OD=DC=2$，$AD⊥ x$轴，$△ ADC$是等腰直角三角形，
$\therefore D(2,0)$，$C(4,0)$，$A(2,2)$。
第二步：设位似中心坐标，利用位似性质列方程
已知点P在x轴正半轴上，设$P(x,0)$（$x＞0$）。
$\because △ EOG$与$△ ADC$位似，对应边$EO:DC=1:2$，即位似比为$1:2$，
$\therefore$ 对应点到位似中心的距离之比等于位似比，选取x轴上的对应点O、D，可得$\frac{PO}{PD}=\frac{1}{2}$。
其中$PO$为P到原点O的距离，即$PO=x$；$PD$为P到点D的距离，因为P在O、D之间，故$PD=2-x$。
代入比例式得：$\frac{x}{2-x}=\frac{1}{2}$
交叉相乘解方程：$2x=2-x$，解得$x=\frac{2}{3}$，符合$x＞0$的要求。
【答案】
$(\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系；解比例方程
【点评】
本题考查位似图形性质的实际应用，解题的关键是准确找到对应边确定位似比，合理设未知数，利用位似图形的性质建立比例关系求解，注意结合点的位置判断距离的表达式。
【难度系数】
0.7
解决本题首先回忆位似图形的核心性质：位似图形对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似比等于对应边的长度比。首先根据题目给出的边长确定两个等腰直角三角形各顶点的坐标，已知位似中心P在x轴正半轴上，因此可设P的坐标为$(x,0)$，选取x轴上的一组对应点，计算两点到P的距离，结合位似比列比例方程求解即可得到P的坐标。
【解析】
第一步：确定各点坐标
$\because △ EOG$是等腰直角三角形，$EO=1$，
$\therefore E(-1,0)$，$O(0,0)$，$G(0,-1)$；
$\because OD=DC=2$，$AD⊥ x$轴，$△ ADC$是等腰直角三角形，
$\therefore D(2,0)$，$C(4,0)$，$A(2,2)$。
第二步：设位似中心坐标，利用位似性质列方程
已知点P在x轴正半轴上，设$P(x,0)$（$x＞0$）。
$\because △ EOG$与$△ ADC$位似，对应边$EO:DC=1:2$，即位似比为$1:2$，
$\therefore$ 对应点到位似中心的距离之比等于位似比，选取x轴上的对应点O、D，可得$\frac{PO}{PD}=\frac{1}{2}$。
其中$PO$为P到原点O的距离，即$PO=x$；$PD$为P到点D的距离，因为P在O、D之间，故$PD=2-x$。
代入比例式得：$\frac{x}{2-x}=\frac{1}{2}$
交叉相乘解方程：$2x=2-x$，解得$x=\frac{2}{3}$，符合$x＞0$的要求。
【答案】
$(\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
位似图形的性质；平面直角坐标系；解比例方程
【点评】
本题考查位似图形性质的实际应用，解题的关键是准确找到对应边确定位似比，合理设未知数，利用位似图形的性质建立比例关系求解，注意结合点的位置判断距离的表达式。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在正方形网格中，$△ OBC$ 的顶点分别为点 $O(0,0)$，$B(3,-1)$，$C(2,1)$。
（1）画出 $△ OBC$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ OB_1C_1$；
（2）① 以点 $O(0,0)$ 为位似中心，按相似比 $2:1$，在 $y$ 轴左侧将 $△ OBC$ 放大为 $△ OB_2C_2$，画出 $△ OB_2C_2$，并写出点 $B_2$，$C_2$ 的坐标；
② 在①中，若点 $M(x,y)$ 为线段 $BC$ 上任一点，写出变化后点 $M$ 的对应点 $M'$ 的坐标。
（1）画出 $△ OBC$ 关于 $x$ 轴对称的 $△ OB_1C_1$；
（2）① 以点 $O(0,0)$ 为位似中心，按相似比 $2:1$，在 $y$ 轴左侧将 $△ OBC$ 放大为 $△ OB_2C_2$，画出 $△ OB_2C_2$，并写出点 $B_2$，$C_2$ 的坐标；
② 在①中，若点 $M(x,y)$ 为线段 $BC$ 上任一点，写出变化后点 $M$ 的对应点 $M'$ 的坐标。
答案
解：
(1) 分别作出点B、C关于x轴的对称点$B_1(3,1)$、$C_1(2,-1)$，点O关于x轴对称的点仍为O，顺次连接$O,B_1,C_1$，即可得到$△ OB_1C_1$。
(2) ① 以点O为位似中心，按相似比$2:1$在y轴左侧放大图形，将点B、C的横、纵坐标同时乘$-2$，描出对应点$B_2$、$C_2$，顺次连接$O,B_2,C_2$，即可得到$△ OB_2C_2$。
点$B_2$的坐标为$(-6,2)$，点$C_2$的坐标为$(-4,-2)$。
② 点$M(x,y)$变化后的对应点$M'$的坐标为$(-2x,-2y)$。
(1) 分别作出点B、C关于x轴的对称点$B_1(3,1)$、$C_1(2,-1)$，点O关于x轴对称的点仍为O，顺次连接$O,B_1,C_1$，即可得到$△ OB_1C_1$。
(2) ① 以点O为位似中心，按相似比$2:1$在y轴左侧放大图形，将点B、C的横、纵坐标同时乘$-2$，描出对应点$B_2$、$C_2$，顺次连接$O,B_2,C_2$，即可得到$△ OB_2C_2$。
点$B_2$的坐标为$(-6,2)$，点$C_2$的坐标为$(-4,-2)$。
② 点$M(x,y)$变化后的对应点$M'$的坐标为$(-2x,-2y)$。
解析
【分析】
本题分为轴对称作图和位似变换两类问题，解题思路如下：
1. 解决第（1）问：首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。先找到△OBC三个顶点的对称点，再顺次连接即可得到对称图形。
2. 解决第（2）问：①位似中心为原点时，若位似图形与原图形在原点异侧，相似比为k，则对应点的横、纵坐标均乘-k。本题要求在y轴左侧放大，原图形在y轴右侧，因此将B、C的横纵坐标同时乘-2，得到对应点坐标后描点连线即可。②将特殊点的坐标变化规律推广到任意点M，即可得到M'的坐标。
【解析】
(1) 分别作出点B、C关于x轴的对称点：B关于x轴对称的点$B_1$坐标为$(3,1)$，C关于x轴对称的点$C_1$坐标为$(2,-1)$，点O关于x轴对称的点仍为O(0,0)，顺次连接$O、B_1、C_1$，即可得到$△OB_1C_1$。
(2) ① 以点O为位似中心，按相似比$2:1$在y轴左侧放大图形，因放大后的图形与原图形在原点异侧，故将点B、C的横、纵坐标同时乘$-2$：
点B(3,-1)对应点$B_2$的坐标为$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$，
点C(2,1)对应点$C_2$的坐标为$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$，
描出对应点$B_2、C_2$，顺次连接$O、B_2、C_2$，即可得到$△OB_2C_2$。
② 若点$M(x,y)$为线段BC上任一点，结合①的坐标变化规律，变化后点M的对应点$M'$的坐标为$(-2x,-2y)$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) ① $B_2(-6,2)$，$C_2(-4,-2)$，作图见解析；② $M'(-2x,-2y)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；位似图形的性质；位似变换的坐标规律
【点评】
本题综合考查了轴对称作图和位似变换的应用，解题的核心是熟练掌握两种几何变换对应的坐标变化规律，注意位似变换在原点两侧时坐标要乘负的相似比，整体难度较低，掌握基础规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题分为轴对称作图和位似变换两类问题，解题思路如下：
1. 解决第（1）问：首先回忆关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。先找到△OBC三个顶点的对称点，再顺次连接即可得到对称图形。
2. 解决第（2）问：①位似中心为原点时，若位似图形与原图形在原点异侧，相似比为k，则对应点的横、纵坐标均乘-k。本题要求在y轴左侧放大，原图形在y轴右侧，因此将B、C的横纵坐标同时乘-2，得到对应点坐标后描点连线即可。②将特殊点的坐标变化规律推广到任意点M，即可得到M'的坐标。
【解析】
(1) 分别作出点B、C关于x轴的对称点：B关于x轴对称的点$B_1$坐标为$(3,1)$，C关于x轴对称的点$C_1$坐标为$(2,-1)$，点O关于x轴对称的点仍为O(0,0)，顺次连接$O、B_1、C_1$，即可得到$△OB_1C_1$。
(2) ① 以点O为位似中心，按相似比$2:1$在y轴左侧放大图形，因放大后的图形与原图形在原点异侧，故将点B、C的横、纵坐标同时乘$-2$：
点B(3,-1)对应点$B_2$的坐标为$(3×(-2), -1×(-2))=(-6,2)$，
点C(2,1)对应点$C_2$的坐标为$(2×(-2), 1×(-2))=(-4,-2)$，
描出对应点$B_2、C_2$，顺次连接$O、B_2、C_2$，即可得到$△OB_2C_2$。
② 若点$M(x,y)$为线段BC上任一点，结合①的坐标变化规律，变化后点M的对应点$M'$的坐标为$(-2x,-2y)$。
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) ① $B_2(-6,2)$，$C_2(-4,-2)$，作图见解析；② $M'(-2x,-2y)$
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；位似图形的性质；位似变换的坐标规律
【点评】
本题综合考查了轴对称作图和位似变换的应用，解题的核心是熟练掌握两种几何变换对应的坐标变化规律，注意位似变换在原点两侧时坐标要乘负的相似比，整体难度较低，掌握基础规律即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长都是1,△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,−2),B(3,−1),C(2,1).
(1) 将△ABC向上平移2个单位长度,向右平移1个单位长度后得到△A₁B₁C₁,请在网格内画出△A₁B₁C₁;
(2) 以点B为位似中心,在点B左侧将△ABC放大到2倍,得到△A₂BC₂,画出变换后的图形△A₂BC₂,并求点C的对应点C₂的坐标.
(1) 将△ABC向上平移2个单位长度,向右平移1个单位长度后得到△A₁B₁C₁,请在网格内画出△A₁B₁C₁;
(2) 以点B为位似中心,在点B左侧将△ABC放大到2倍,得到△A₂BC₂,画出变换后的图形△A₂BC₂,并求点C的对应点C₂的坐标.
答案
解：
(1) 根据平移规则，计算平移后各顶点坐标：
$A_1(0+1,-2+2)$，即$A_1(1,0)$，
$B_1(3+1,-1+2)$，即$B_1(4,1)$，
$C_1(2+1,1+2)$，即$C_1(3,3)$，
在网格中描出$A_1,B_1,C_1$，依次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 以点$B$为位似中心，按位似比2在点$B$左侧作位似图形：
连接$BA$并延长至$A_2$，使$BA_2=2BA$，
连接$BC$并延长至$C_2$，使$BC_2=2BC$，
连接$A_2C_2$，即可得到$△ A_2BC_2$。
已知$B(3,-1)$，$C(2,1)$，点$C$相对于点$B$的横、纵坐标差分别为$2-3=-1$，$1-(-1)=2$，
放大2倍后，点$C_2$相对于点$B$的横、纵坐标差为$2×(-1)=-2$，$2×2=4$，
因此$C_2$的坐标为$(3-2,-1+4)$，即$C_2(1,3)$。
(1) 根据平移规则，计算平移后各顶点坐标：
$A_1(0+1,-2+2)$，即$A_1(1,0)$，
$B_1(3+1,-1+2)$，即$B_1(4,1)$，
$C_1(2+1,1+2)$，即$C_1(3,3)$，
在网格中描出$A_1,B_1,C_1$，依次连接三点，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 以点$B$为位似中心，按位似比2在点$B$左侧作位似图形：
连接$BA$并延长至$A_2$，使$BA_2=2BA$，
连接$BC$并延长至$C_2$，使$BC_2=2BC$，
连接$A_2C_2$，即可得到$△ A_2BC_2$。
已知$B(3,-1)$，$C(2,1)$，点$C$相对于点$B$的横、纵坐标差分别为$2-3=-1$，$1-(-1)=2$，
放大2倍后，点$C_2$相对于点$B$的横、纵坐标差为$2×(-1)=-2$，$2×2=4$，
因此$C_2$的坐标为$(3-2,-1+4)$，即$C_2(1,3)$。
解析
【分析】
本题分为平移作图和位似作图两小问：
(1) 对于平移变换，根据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，我们可以先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再在网格中描点连线即可得到平移后的图形。
(2) 对于位似变换，首先明确位似中心为B，位似比为2，且图形在B的左侧。根据位似的性质，位似图形对应点的连线过位似中心，对应点到位似中心的距离比等于位似比，我们先延长BA、BC得到对应点A₂、C₂，再连线得到位似图形；计算C₂坐标时，先求出点C相对于点B的横纵坐标差，将差值乘以位似比后，再与B的坐标相加，即可得到C₂的坐标。
【解析】
(1) 平移规则为：横坐标右加1，纵坐标上加2，因此计算各顶点平移后坐标：
$A_1$的坐标：$0+1=1$，$-2+2=0$，即$A_1(1,0)$
$B_1$的坐标：$3+1=4$，$-1+2=1$，即$B_1(4,1)$
$C_1$的坐标：$2+1=3$，$1+2=3$，即$C_1(3,3)$
在网格中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 位似作图步骤：
① 连接$BA$，并延长$BA$至$A_2$，使$BA_2=2BA$；
② 连接$BC$，并延长$BC$至$C_2$，使$BC_2=2BC$；
③ 连接$A_2C_2$，即可得到$△ A_2BC_2$。
计算$C_2$坐标：
已知$B(3,-1)$，$C(2,1)$，点$C$相对点$B$的横差为$2-3=-1$，纵差为$1-(-1)=2$；
放大2倍后，$C_2$相对$B$的横差为$2×(-1)=-2$，纵差为$2×2=4$；
因此$C_2$的横坐标为$3+(-2)=1$，纵坐标为$-1+4=3$，即$C_2(1,3)$。
【答案】
(1) 画出$△ A_1B_1C_1$（顶点坐标为$A_1(1,0),B_1(4,1),C_1(3,3)$）；
(2) 画出$△ A_2BC_2$，点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$。
【知识点】
1. 平移的坐标变换
2. 位似图形作图
3. 位似的坐标计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的平移和位似变换，属于基础作图类题型，解题的关键是熟练掌握两种变换的坐标变化规律和作图方法，注意位似变换的方向要求，避免坐标计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题分为平移作图和位似作图两小问：
(1) 对于平移变换，根据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加平移单位，向上平移纵坐标加平移单位，我们可以先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再在网格中描点连线即可得到平移后的图形。
(2) 对于位似变换，首先明确位似中心为B，位似比为2，且图形在B的左侧。根据位似的性质，位似图形对应点的连线过位似中心，对应点到位似中心的距离比等于位似比，我们先延长BA、BC得到对应点A₂、C₂，再连线得到位似图形；计算C₂坐标时，先求出点C相对于点B的横纵坐标差，将差值乘以位似比后，再与B的坐标相加，即可得到C₂的坐标。
【解析】
(1) 平移规则为：横坐标右加1，纵坐标上加2，因此计算各顶点平移后坐标：
$A_1$的坐标：$0+1=1$，$-2+2=0$，即$A_1(1,0)$
$B_1$的坐标：$3+1=4$，$-1+2=1$，即$B_1(4,1)$
$C_1$的坐标：$2+1=3$，$1+2=3$，即$C_1(3,3)$
在网格中描出$A_1,B_1,C_1$三点，顺次连接，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 位似作图步骤：
① 连接$BA$，并延长$BA$至$A_2$，使$BA_2=2BA$；
② 连接$BC$，并延长$BC$至$C_2$，使$BC_2=2BC$；
③ 连接$A_2C_2$，即可得到$△ A_2BC_2$。
计算$C_2$坐标：
已知$B(3,-1)$，$C(2,1)$，点$C$相对点$B$的横差为$2-3=-1$，纵差为$1-(-1)=2$；
放大2倍后，$C_2$相对$B$的横差为$2×(-1)=-2$，纵差为$2×2=4$；
因此$C_2$的横坐标为$3+(-2)=1$，纵坐标为$-1+4=3$，即$C_2(1,3)$。
【答案】
(1) 画出$△ A_1B_1C_1$（顶点坐标为$A_1(1,0),B_1(4,1),C_1(3,3)$）；
(2) 画出$△ A_2BC_2$，点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(1,3)}$。
【知识点】
1. 平移的坐标变换
2. 位似图形作图
3. 位似的坐标计算
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的平移和位似变换，属于基础作图类题型，解题的关键是熟练掌握两种变换的坐标变化规律和作图方法，注意位似变换的方向要求，避免坐标计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.7
