1.下列说法中错误的是().

A.一个三角形共有六个外角
B.三角形的每个外角是与它相邻内角的补角
C.三角形的一个外角大于任何一个内角
D.任意三角形的外角和都是$360°$

1.C

【分析】
本题要求选出错误的说法，解题时需先回忆三角形外角的相关概念、性质及外角和定理，再逐一验证每个选项的正确性，排除正确选项即可得到答案。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形的每个顶点处有2个互为对顶角的外角，三个顶点共有$3×2=6$个外角，该说法正确，不符合题意；
B. 三角形的每个外角与相邻内角有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，二者是邻补角，即互为补角，该说法正确，不符合题意；
C. 三角形外角的性质是：一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，若内角是与该外角相邻的内角，二者之和为$180°$，当相邻内角为钝角时，外角是锐角，小于相邻内角，因此该说法错误，符合题意；
D. 任意多边形的外角和都为$360°$，三角形是多边形的一种，外角和也为$360°$，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角概念；三角形外角性质；多边形外角和
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是记忆三角形外角性质时忽略“不相邻”的限定条件，准确掌握相关概念即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

2.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B=75°$.将$△ ABC$沿着$DE$折叠，使点$C$落在点$C'$的位置，若$∠1=20°$，则$∠2$的度数是().


A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$110°$

2.D

【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，再结合折叠的性质（折叠前后对应角相等）得到∠C'与∠C相等、对应角∠CDE=∠C'DE、∠CED=∠C'ED，再根据平角的性质和角度和差关系，代入已知的∠1的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
解：1. 求∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 75° = 45°$。
2. 由折叠的性质可得：$∠ C' = ∠ C = 45°$，$∠ CED = ∠ C'ED$，$∠ CDE = ∠ C'DE$。
3. 推导角度关系：
在△CDE中，$∠ CDE + ∠ CED = 180° - ∠ C = 180° - 45° = 135°$，
∴ $∠ CDE + ∠ C'DE + ∠ CED + ∠ C'ED = 2(∠ CDE + ∠ CED) = 270°$。
又
∵ 点D在AB上，$∠ 2 + ∠ CDE + ∠ C'DE = 180°$，点E在BC上，$∠ C'ED + ∠ CED - ∠ 1 = 180°$，
将两式相加得：$∠ 2 + 2(∠ CDE + ∠ CED) - ∠ 1 = 360°$，
代入$∠ 1=20°$，$2(∠ CDE + ∠ CED)=270°$，
得：$∠ 2 + 270° - 20° = 360°$，
解得$∠ 2 = 110°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，折叠的性质，角度计算
【点评】
本题是三角形折叠类的角度计算题，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合三角形内角和定理建立角度之间的等量关系，易错点是容易混淆折叠后重叠角的和差关系，需要结合图形判断角度组成。
【难度系数】
0.6

3.如图,在△ABC中,D是AB边上的一点,点E在AC的延长线上,连接DE与BC相交于点F.若∠ABC=42°,∠AED=23°,∠DFC=145°,则∠A的度数是,∠ACB的度数是.

3.80°;58°

【分析】
解题可按照以下思路推导：1. 首先利用邻补角的和为180°，由已知∠DFC的度数求出∠BFD的度数；2. 在△BDF中，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠ABC的度数，计算出∠BDF的度数；3. ∠BDF是△ADE的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，代入已知∠AED的度数即可求出∠A；4. 最后在△ABC中，利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数。
【解析】
1. 求∠BFD的度数：
∵ ∠DFC与∠BFD互为邻补角，邻补角之和为180°
∴ ∠BFD = 180° - ∠DFC = 180° - 145° = 35°
2. 求∠BDF的度数：
在△BDF中，三角形内角和为180°
∴ ∠BDF = 180° - ∠ABC - ∠BFD = 180° - 42° - 35° = 103°
3. 求∠A的度数：
∵ ∠BDF是△ADE的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ ∠BDF = ∠A + ∠AED
∴ ∠A = ∠BDF - ∠AED = 103° - 23° = 80°
4. 求∠ACB的度数：
在△ABC中，三角形内角和为180°
∴ ∠ACB = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° - 80° - 42° = 58°
【答案】
80°；58°
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角的性质；邻补角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，核心是熟练运用三角形内角和与外角性质，结合邻补角的关系逐步推导未知角，解题时需准确识别外角对应的不相邻内角，避免混淆角的关系。
【难度系数】
0.7

4.如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$AD\bot BD$，垂足为$D$.若$∠ DAC=10°$，$∠ C=43°$，则$∠ BAD$的度数是.

4.53°

【分析】
我们可以通过设未知数结合三角形内角和相关性质求解：首先，AD垂直BD，所以△ABD是直角三角形，两锐角互余，可得∠BAD与∠ABD的和为90°；其次BD是∠ABC的角平分线，因此∠ABC是∠ABD的2倍；最后在△ABC中，三个内角和为180°，代入已知的∠DAC和∠C的度数，联立关系式就能求出∠BAD的度数。
【解析】
设$∠ BAD = x$，$∠ ABD = y$。
$\because AD\bot BD$，$\therefore ∠ ADB = 90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$x + y = 90°$ ①。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABC = 2∠ ABD = 2y$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC + ∠ BAC + ∠ C = 180°$，其中$∠ BAC = ∠ BAD + ∠ DAC = x + 10°$，$∠ C=43°$，
代入得：$2y + (x + 10°) + 43° = 180°$，整理得$2y + x = 127°$ ②。
用②$-$①，得：$(2y + x) - (x + y) = 127° - 90°$，解得$y=37°$。
将$y=37°$代入①，得$x = 90° - 37° = 53°$，即$∠ BAD=53°$。
【答案】
$53°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题考查三角形基础性质的综合应用，解题时通过设未知数建立角度之间的等量关系，能更清晰地梳理角度运算逻辑，熟练掌握三角形内角和、直角三角形的性质是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7

5.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,延长BC到点E,连接AE,使得$∠ EAD=∠ EDA$.
(1)判断$∠ EAC$与$∠ B$是否相等,并说明理由;
(2)若$∠ B=55°$,$∠ CAD:∠ E=1:3$,求$∠ E$的度数.

5.解:(1)$∠ EAC=∠ B$. 理由如下:
$\because AD$平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
$\because ∠ EAD=∠ EAC+∠ CAD$,
$∠ EDA=∠ B+∠ BAD$,
又$∠ EAD=∠ EDA$,
$\therefore ∠ EAC=∠ B$.
(2)$\because ∠ CAD:∠ E=1:3$,
$\therefore$ 设$∠ CAD=x$,则$∠ E=3x$.
由(1)知$∠ EAC=∠ B=55°$,
$\therefore ∠ EAD=∠ EDA=x+55°$.
在$△ EAD$中,$∠ E+∠ EAD+∠ EDA=180°$,
$\therefore 3x+2(x+55°)=180°$,
解得$x=14°$.
$\therefore ∠ E=3x=3×14°=42°$.

【分析】
(1) 要判断∠EAC和∠B是否相等，首先根据角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，再结合三角形外角的性质，将∠EDA拆分为∠B与∠BAD的和，将∠EAD拆分为∠EAC与∠CAD的和，最后结合已知∠EAD=∠EDA，通过等量代换即可推导两角的关系。
(2) 已知∠CAD和∠E的比例关系，可通过设未知数的方式表示两个角，结合(1)的结论表示出△EAD的另外两个内角，再利用三角形内角和为180°列方程求解，即可得到∠E的度数。
【解析】
(1) $∠EAC=∠B$，理由如下：
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠BAD=∠CAD$。
$\because ∠EDA$是$△ ABD$的外角，
$\therefore ∠EDA=∠B+∠BAD$，
又$\because ∠EAD=∠EAC+∠CAD$，且$∠EAD=∠EDA$，
$\therefore ∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD$，
代入$∠BAD=∠CAD$，可得$∠EAC=∠B$。
(2) $\because ∠CAD:∠E=1:3$，
$\therefore$ 设$∠CAD=x$，则$∠E=3x$。
由(1)知$∠EAC=∠B=55°$，
$\therefore ∠EAD=∠EDA=x+55°$。
在$△EAD$中，$∠E+∠EAD+∠EDA=180°$，
$\therefore 3x+2(x+55°)=180°$，
解得$x=14°$，
$\therefore ∠E=3x=3×14°=42°$。
【答案】
(1) $∠EAC=∠B$，理由见解析；
(2) $42°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础综合题，核心考查三角形内外角性质、角平分线定义的应用，遇到角度比例关系时合理运用方程思想是解题的常用技巧，熟练掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7