24. (16分)
【问题情境】
如图(1),点A,B在数轴上分别表示数a,b,且$|a+15|+(b-9)^2=0$.小聪将一根木棒MN放置在数轴上,并将其沿数轴从左向右匀速移动.
【问题解决】
(1) a和b的值分别为,.
(2) 若木棒完全通过点A所需时间是完全通过线段AB所需时间的$\frac{1}{4}$,求木棒长度.
(3) 在(2)的条件下,小聪发现木棒MN移动至线段AB上某处时,恰好$AM=BN$.受此启发,他突然理解了老师课间对他说的一段话:“当我是你现在这么大时,你还要18年才出生;当你到我现在这么大时,我已经81岁了.”他画出了如图(2)的示意图.请你写出图(2)数轴上点P和Q的实际意义,并求出小聪和老师现在的年龄.

24. 解:(1) $\because |a+15|+(b-9)^2=0$，$\therefore a+15=0,b-9=0$，$\therefore a=-15,b=9$. (2) 设木棒MN的长度为$x$,根据题意得,$x=\dfrac{1}{4}(24+x)$，$x=6+\dfrac{1}{4}x$,解得$x=8$.答:木棒长度为8. (3) 点P表示小聪现在的年龄,点Q表示老师现在的年龄，$PQ=[81-(-18)]÷3=33$(岁),$-18+33=15$(岁),$15+33=48$(岁).答:小聪现在的年龄为15岁,老师现在的年龄为48岁.

【分析】
(1) 解题思路：绝对值和平方数都具有非负性，两个非负数相加结果为0，说明两个非负数各自的值都为0，据此列方程即可求出a、b的值。
(2) 首先计算线段AB的长度，再理解“完全通过”的含义：木棒完全通过单个点时，移动路程等于木棒自身长度；完全通过线段时，移动路程等于线段长度加木棒长度。因为木棒匀速移动，路程比等于时间比，结合题目给出的时间比例关系列方程，就能求出木棒长度。
(3) 木棒长度相当于老师和小聪的固定年龄差，点P对应小聪现在的年龄，点Q对应老师现在的年龄。“老师像小聪这么大时小聪-18岁”“小聪像老师这么大时老师81岁”，说明-18到P、P到Q、Q到81这三段距离都等于年龄差，总差值除以3得到年龄差，再分别计算两人现在的年龄即可。
【解析】
(1) 解：$\because |a+15|≥0$，$(b-9)^2≥0$，且$|a+15|+(b-9)^2=0$
$\therefore a+15=0$，$b-9=0$
解得$a=-15$，$b=9$。
(2) 解：设木棒MN的长度为$x$。
线段AB的长度为$b-a=9-(-15)=24$，
木棒完全通过点A的路程为$x$，完全通过线段AB的路程为$24+x$，
由匀速运动路程比等于时间比，可得：
$x=\dfrac{1}{4}(24+x)$
去括号得$x=6+\dfrac{1}{4}x$
移项合并得$\dfrac{3}{4}x=6$
解得$x=8$
答：木棒长度为8。
(3) 解：点P表示小聪现在的年龄，点Q表示老师现在的年龄，PQ的长度为两人的年龄差，年龄差固定不变。
3个年龄差的总长度为$81-(-18)=99$
因此年龄差为$99÷3=33$（岁）
小聪现在的年龄：$-18+33=15$（岁）
老师现在的年龄：$15+33=48$（岁）
答：小聪现在15岁，老师现在48岁。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-15}$，$\boldsymbol{9}$；
(2) 木棒长度为$\boldsymbol{8}$；
(3) 点P表示小聪现在的年龄，点Q表示老师现在的年龄，小聪现在$\boldsymbol{15}$岁，老师现在$\boldsymbol{48}$岁。
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 一元一次方程的应用
3. 数轴的实际应用
【点评】
本题结合数轴、代数运算和实际问题展开考查，既需要掌握基础的非负性性质、一元一次方程列解方法，也需要读懂题意，将抽象的年龄差转化为具象的木棒长度建立模型，能有效考查知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6