8.若$(2,3)$和$(n,5)$是反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$图象上的两点，则$n=$.

8.$\dfrac{6}{5}$

【分析】
本题可根据反比例函数图象上点的坐标特征求解，有两种常见思路：思路1：先将点(2,3)代入反比例函数解析式，求出比例系数$m-1$的值，确定完整的函数解析式后，再将点$(n,5)$代入解析式即可求出$n$；思路2：利用反比例函数“同一图象上任意点的横纵坐标乘积等于固定的比例系数”的性质，直接列等式计算$n$，第二种方法更简便。
【解析】
方法一：
∵点$(2,3)$在反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$的图象上
∴将$x=2$，$y=3$代入解析式得：$3=\frac{m-1}{2}$
解得$m-1=6$，即该反比例函数的解析式为$y=\frac{6}{x}$
又
∵点$(n,5)$在该反比例函数图象上
∴将$x=n$，$y=5$代入$y=\frac{6}{x}$得：$5=\frac{6}{n}$
解得$n=\frac{6}{5}$
方法二：
∵$(2,3)$和$(n,5)$都是反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$图象上的点
根据反比例函数的性质，图象上任意点的横纵坐标乘积等于比例系数，即$xy=k$（$k$为常数，$k≠0$）
∴可列等式：$2×3 = 5n$
整理得$5n=6$，解得$n=\frac{6}{5}$
【答案】
$\dfrac{6}{5}$
【知识点】
反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于反比例函数的基础题，解题关键是掌握反比例函数图象上的点满足函数解析式，灵活运用$xy=k$的性质可提升解题效率。
【难度系数】
0.85

9.兰州牛肉拉面是兰州的特色美食，已知当拉面的体积$V$一定时，拉面的横截面积$S$与拉面的长度$L$成反比例关系，且当$S=32\ \mathrm{mm}^2$时，$L=4\ \mathrm{m}$，则$S$(单位：$\mathrm{mm}^2$)与$L$(单位：$\mathrm{m}$)的函数解析式为.

9.$S=\dfrac{128}{L}(L＞0)$

【分析】
本题是反比例函数的实际应用问题，解题思路如下：首先根据题目给出的“S与L成反比例关系”，结合反比例函数的一般形式设出含待定系数k的函数解析式；再将已知的S、L的对应值代入解析式，求出待定系数k的值；最后结合实际意义确定自变量L的取值范围，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
∵ 拉面的横截面积S与长度L成反比例关系，
∴ 设函数解析式为$ S=\dfrac{k}{L} $（$ k≠0 $）。
把$ S=32\ \mathrm{mm}^2 $，$ L=4\ \mathrm{m} $代入解析式，得：
$ 32=\dfrac{k}{4} $，
解得$ k=32×4=128 $。
又
∵ 拉面的长度L为正数，即$ L＞0 $，
∴ S与L的函数解析式为$ S=\dfrac{128}{L}(L＞0) $。
【答案】
$ S=\dfrac{128}{L}(L＞0) $
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于基础应用题，核心是结合反比例关系建立函数模型，解题时要注意实际问题中自变量的取值范围需符合生活实际，避免遗漏取值范围导致失分。
【难度系数】
0.8

10.如果$y$是$m$的反比例函数，$m$是$x$的反比例函数，那么$y$是$x$的。

10.正比例函数

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的定义，我们可以先根据题目给出的两组反比例关系，分别设出对应的函数解析式（注意解析式中的比例系数为非零常数），再通过代入消元的方法消去中间变量m，整理得到y和x的函数关系式，最后对照正比例函数的定义即可判断y是x的哪种函数。
【解析】
解：
∵y是m的反比例函数
∴设$ y = \frac{k_1}{m} $（$ k_1 $为常数，且$ k_1 ≠ 0 $）
又
∵m是x的反比例函数
∴设$ m = \frac{k_2}{x} $（$ k_2 $为常数，且$ k_2 ≠ 0 $）
将$ m = \frac{k_2}{x} $代入$ y = \frac{k_1}{m} $中，得：
$ y = \frac{k_1}{\frac{k_2}{x}} = \frac{k_1}{k_2}x $
∵$ k_1 ≠ 0 $，$ k_2 ≠ 0 $，
∴$ \frac{k_1}{k_2} $是非零常数，符合正比例函数$ y=kx $（$ k≠0 $）的形式
∴y是x的正比例函数。
【答案】
正比例函数
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 正比例函数的定义
3. 代入消元法
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握各类函数的一般表达形式，通过设参、代换的方式推导两个变量的函数关系，这类题型是函数章节的常见基础题，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75

11.已知$y$是$x$的反比例函数，当$x=3$时，$y=6$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式；
(2)当$x=-2$时，求$y$的值；
(3)若$y=4.5$，求$x$的值.

11.【解】(1)设 y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$.
∵当 $x=3$ 时,$y=6$,
∴$k=3×6=18$.
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{18}{x}$.
(2)当 $x=-2$ 时,$y=\dfrac{18}{-2}=-9$.
(3)若 $y=4.5$,则 $4.5=\dfrac{18}{x}$.
解得 $x=4$.

【分析】
本题围绕反比例函数的基础应用考查，解题思路清晰：(1)求反比例函数解析式时，先根据反比例函数的定义设出一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，再将已知的$x、y$对应值代入即可求出常数$k$，得到函数解析式；(2)已知$x$的值求$y$，直接将$x$代入已求出的解析式计算即可；(3)已知$y$的值求$x$，将$y$代入解析式解分式方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$，
∵当$x=3$时，$y=6$，
∴代入得$k=3×6=18$，
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{18}{x}$；
(2) 把$x=-2$代入$y=\dfrac{18}{x}$，
得$y=\dfrac{18}{-2}=-9$；
(3) 把$y=4.5$代入$y=\dfrac{18}{x}$，
得$4.5=\dfrac{18}{x}$，
解得$x=4$。
【答案】
(1)$y=\dfrac{18}{x}$；(2)$-9$；(3)$4$
【知识点】
反比例函数定义；待定系数法求解析式；代入求值
【点评】
本题是反比例函数的基础题，主要考查对反比例函数概念的理解和基本运算能力，掌握待定系数法求解析式是解题的核心，整体运算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.85

12.已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例.当$x=1,x=2$时，$y$的值都为6，请求出$y$关于$x$的函数解析式.

12.【解】
∵$y_1$ 与 $2x$ 成正比例,$y_2$ 与 $x$ 成反比例，
∴设 $y_1=k_1·2x=2k_1x(k_1≠0)$,$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2≠0)$.
∴$y=y_1+y_2=2k_1x+\dfrac{k_2}{x}$.
∵当 $x=1$,$x=2$ 时,$y$ 的值都为 6，
∴$\begin{cases}2k_1·1+\dfrac{k_2}{1}=6,\\2k_1·2+\dfrac{k_2}{2}=6.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k_1=1,\\k_2=4.\end{cases}$
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=2x+\dfrac{4}{x}$.

【分析】
解题时首先根据正比例函数、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式（注意两个比例系数要区分，避免混淆），再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含待定系数的表达式；接下来将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于两个待定系数的二元一次方程组；求解方程组得到系数的值，最后将系数代回表达式，即可得到所求的函数解析式。
【解析】
∵$y_1$ 与 $2x$ 成正比例,$y_2$ 与 $x$ 成反比例，
∴设 $y_1=k_1·2x=2k_1x(k_1≠0)$,$y_2=\dfrac{k_2}{x}(k_2≠0)$，
∴$y=y_1+y_2=2k_1x+\dfrac{k_2}{x}$。
∵当 $x=1$,$x=2$ 时,$y$ 的值都为 6，
∴代入得$\begin{cases}2k_1·1+\dfrac{k_2}{1}=6,\\2k_1·2+\dfrac{k_2}{2}=6.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}k_1=1,\\k_2=4.\end{cases}$
将$k_1=1$、$k_2=4$代入$y=2k_1x+\dfrac{k_2}{x}$，即可得到函数解析式。
【答案】
$y=2x+\dfrac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数定义，反比例函数定义，待定系数法求解析式
【点评】
本题是正比例、反比例概念结合待定系数法的基础应用题，解题的关键是正确设出两个部分的函数表达式，区分两个不同的比例系数，解方程组时注意计算准确即可。
【难度系数】
0.8

1.已知下列函数：
①$y=\frac{5}{x^3}$；②$y=\frac{2}{x}$；③$y=\frac{3x}{2}$；④$y=-\frac{4}{x}$；⑤$y=\frac{6}{2x-1}$；⑥$y=\frac{9}{x}-5$。
其中，是反比例函数的有()。

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

1.A

【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义，再对照定义逐个判断给出的6个函数是否符合要求，最后统计符合条件的函数个数，对应选择正确选项。判断时要抓住反比例函数的核心特征，避免被类似形式的函数误导。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做反比例函数，也可写成$y=kx^{-1}(k≠0)$的形式，需满足三个核心要求：①分母仅含有单独的自变量$x$，且$x$的次数为1；②分子是不为0的常数；③没有额外的常数项或含$x$的其他项。
逐个判断6个函数：
①$y=\frac{5}{x^3}$：分母中$x$的次数为3，不符合要求，不是反比例函数；
②$y=\frac{2}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$的形式，$k=2≠0$，是反比例函数；
③$y=\frac{3x}{2}$：是正比例函数，不是反比例函数；
④$y=-\frac{4}{x}$：符合$y=\frac{k}{x}$的形式，$k=-4≠0$，是反比例函数；
⑤$y=\frac{6}{2x-1}$：分母是$2x-1$，不是单独的自变量$x$，不符合要求，不是反比例函数；
⑥$y=\frac{9}{x}-5$：含有额外的常数项$-5$，不符合$y=\frac{k}{x}$的形式，不是反比例函数。
综上，符合要求的反比例函数共2个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握反比例函数的定义特征，做题时要注意区分反比例函数和其他含分式的函数，避免因忽略定义细节导致错选。
【难度系数】
0.7