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2.下列关系中的两个量成反比例的是(
A.圆的面积与它的半径
B.正方形的周长与它的边长
C.路程一定时,速度与时间
D.矩形的一条边确定时,周长与另一条边
C
).A.圆的面积与它的半径
B.正方形的周长与它的边长
C.路程一定时,速度与时间
D.矩形的一条边确定时,周长与另一条边
答案
2.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确成反比例关系的判定标准：两个相关联的量，若它们的乘积为定值，则这两个量成反比例关系；若比值为定值则成正比例关系，其余情况不成比例。接下来我们只需结合每个选项对应的公式，分别分析两个量的乘积或比值是否为定值即可判断。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若二者对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系。
逐一分析选项：
A. 圆的面积公式为$S=π r^2$，可得$\frac{S}{r}=π r$（不是定值），$S× r=π r^3$（也不是定值），因此圆的面积和半径不成反比例关系，不符合要求；
B. 正方形的周长公式为$C=4a$，可得$\frac{C}{a}=4$（定值），因此正方形周长和边长成正比例关系，不是反比例，不符合要求；
C. 行程公式为$s=vt$，当路程$s$一定时，速度$v$和时间$t$的乘积为定值$s$，因此二者成反比例关系，符合要求；
D. 矩形周长公式为$C=2(a+b)$，若边长$a$固定，变形得$C=2b+2a$，$C$与$b$的乘积、比值均不是定值，因此二者不成反比例关系，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例关系判定
2.正比例关系判定
3.常见数量关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查正反比例关系的区分，只要熟练掌握反比例关系的判定条件，结合对应的公式逐一分析即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确成反比例关系的判定标准：两个相关联的量，若它们的乘积为定值，则这两个量成反比例关系；若比值为定值则成正比例关系，其余情况不成比例。接下来我们只需结合每个选项对应的公式，分别分析两个量的乘积或比值是否为定值即可判断。
【解析】
首先明确反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若二者对应的乘积一定，则这两个量成反比例关系。
逐一分析选项：
A. 圆的面积公式为$S=π r^2$，可得$\frac{S}{r}=π r$（不是定值），$S× r=π r^3$（也不是定值），因此圆的面积和半径不成反比例关系，不符合要求；
B. 正方形的周长公式为$C=4a$，可得$\frac{C}{a}=4$（定值），因此正方形周长和边长成正比例关系，不是反比例，不符合要求；
C. 行程公式为$s=vt$，当路程$s$一定时，速度$v$和时间$t$的乘积为定值$s$，因此二者成反比例关系，符合要求；
D. 矩形周长公式为$C=2(a+b)$，若边长$a$固定，变形得$C=2b+2a$，$C$与$b$的乘积、比值均不是定值，因此二者不成反比例关系，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例关系判定
2.正比例关系判定
3.常见数量关系
【点评】
本题是基础类题型，核心考查正反比例关系的区分，只要熟练掌握反比例关系的判定条件，结合对应的公式逐一分析即可快速得出正确答案。
【难度系数】
0.8
3.已知函数$y=\frac{|m|-2}{3x}$是反比例函数，则m的取值范围是
$m≠±2$
。答案
3.$m≠±2$
解析
【分析】
解题时首先要回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数。因此本题的核心是保证反比例函数的比例系数不为0，先找到本题对应的比例系数，再列不等式求解$m$的取值范围即可。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k≠0$。
本题中函数为$y=\frac{|m|-2}{3x}$，可变形为$y=\frac{\frac{|m|-2}{3}}{x}$，因此比例系数为$\frac{|m|-2}{3}$，需满足：
$\frac{|m|-2}{3}≠0$
因为分母3不为0，所以等价于$|m|-2≠0$，即$|m|≠2$
解得$m≠2$且$m≠-2$，也就是$m≠\pm2$。
【答案】
$m≠±2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对反比例函数概念的理解，易错点是容易忽略比例系数不能为0的限制条件，只要掌握反比例函数的定义特征，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数是反比例函数。因此本题的核心是保证反比例函数的比例系数不为0，先找到本题对应的比例系数，再列不等式求解$m$的取值范围即可。
【解析】
根据反比例函数的定义可知，反比例函数$y=\frac{k}{x}$中比例系数$k≠0$。
本题中函数为$y=\frac{|m|-2}{3x}$，可变形为$y=\frac{\frac{|m|-2}{3}}{x}$，因此比例系数为$\frac{|m|-2}{3}$，需满足：
$\frac{|m|-2}{3}≠0$
因为分母3不为0，所以等价于$|m|-2≠0$，即$|m|≠2$
解得$m≠2$且$m≠-2$，也就是$m≠\pm2$。
【答案】
$m≠±2$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 绝对值的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对反比例函数概念的理解，易错点是容易忽略比例系数不能为0的限制条件，只要掌握反比例函数的定义特征，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
4.已知$P$，$Q$两点分别在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$和$y=\frac{3-m}{x}(m＜0)$的图象上，若点$P$与点$Q$关于$y$轴对称，则$m$的值为
-3
。答案
4.-3
解析
【分析】解题首先需明确关于y轴对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标相等。我们可以先设点P的坐标，根据对称性得到点Q的坐标，再将两点分别代入对应的反比例函数解析式，得到两个含ab和m的等式，联立两个等式即可建立关于m的一元一次方程，解方程后验证是否满足m＜0的条件即可得到结果。
【解析】
设点P的坐标为$(a, b)$，
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为$(-a, b)$。
∵点P在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$的图象上，
∴将$P(a,b)$代入解析式得：$b=\frac{2m}{a}$，整理得$ab=2m$ ①；
∵点Q在反比例函数$y=\frac{3-m}{x}$的图象上，
∴将$Q(-a,b)$代入解析式得：$b=\frac{3-m}{-a}$，整理得$-ab=3-m$，即$ab=m-3$ ②；
联立①②可得方程：$2m = m - 3$，
解得$m=-3$，
经检验，$m=-3＜0$，符合题设条件。
【答案】
-3
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题，结合坐标对称性质与反比例函数的性质进行考查，解题核心是利用点的对称关系建立关于参数m的方程，掌握基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
【解析】
设点P的坐标为$(a, b)$，
∵点P与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为$(-a, b)$。
∵点P在反比例函数$y=\frac{2m}{x}$的图象上，
∴将$P(a,b)$代入解析式得：$b=\frac{2m}{a}$，整理得$ab=2m$ ①；
∵点Q在反比例函数$y=\frac{3-m}{x}$的图象上，
∴将$Q(-a,b)$代入解析式得：$b=\frac{3-m}{-a}$，整理得$-ab=3-m$，即$ab=m-3$ ②；
联立①②可得方程：$2m = m - 3$，
解得$m=-3$，
经检验，$m=-3＜0$，符合题设条件。
【答案】
-3
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础题，结合坐标对称性质与反比例函数的性质进行考查，解题核心是利用点的对称关系建立关于参数m的方程，掌握基础知识点即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E为BC边上的一个动点(点E不与点B,C重合),连接AE,过点D作DF⊥AE于点F.设AE,DF的长度分别为x,y,求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
答案
5.【解】如图,连接 DE.
∵四边形 ABCD 是矩形,AB=3,BC=5,
∴矩形 ABCD 的面积为 3×5=15.
∴△AED 的面积为 $\dfrac{1}{2}×15=\dfrac{15}{2}$.
∵DF⊥AE,
∴$\dfrac{1}{2}×AE×DF=\dfrac{15}{2}$,即 $xy=15$.
∴y 关于 x 的函数解析式为 $y=\dfrac{15}{x}$,其中 $3＜x＜\sqrt{34}$.
解析
【分析】
我们可以通过面积法找到两个变量的等量关系，再结合动点的位置确定自变量的取值范围。首先，观察△AED的面积特征：在矩形ABCD中，△AED以AD为底时，高与AB长度相等，因此无论E在BC上如何运动，△AED的面积始终是矩形面积的一半，为固定值。其次，已知DF⊥AE，△AED的面积也可以用AE为底、DF为高计算，两个面积表达式相等即可推导出x与y的函数关系。最后确定x的取值范围：E不与B、C重合，当E接近B时AE最短，接近AB的长度；当E接近C时AE最长，接近对角线AC的长度，用勾股定理计算AC长度即可得到x的取值边界。
【解析】
解：如图，连接DE。
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴矩形ABCD的面积为$3×5=15$，
∴$△ AED$的面积为$\dfrac{1}{2}×15=\dfrac{15}{2}$。
∵$DF⊥ AE$，$AE=x$，$DF=y$，
∴$△ AED$的面积可表示为$\dfrac{1}{2}× AE× DF=\dfrac{1}{2}xy$，
∴$\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{15}{2}$，整理得$xy=15$，即$y=\dfrac{15}{x}$。
再求x的取值范围：
∵E为BC边上的动点，不与B、C重合，
当E与B重合时，$AE=AB=3$；当E与C重合时，$AE=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，
∴x的取值范围是$3＜x＜\sqrt{34}$。
【答案】
y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{15}{x}$，其中$3＜x＜\sqrt{34}$。
【知识点】
反比例函数解析式，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过面积法建立线段间的函数关系，将几何性质与反比例函数知识相结合，既考查了矩形、三角形面积的基础应用，也考查了动点问题中自变量取值范围的确定方法，有助于提升数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
我们可以通过面积法找到两个变量的等量关系，再结合动点的位置确定自变量的取值范围。首先，观察△AED的面积特征：在矩形ABCD中，△AED以AD为底时，高与AB长度相等，因此无论E在BC上如何运动，△AED的面积始终是矩形面积的一半，为固定值。其次，已知DF⊥AE，△AED的面积也可以用AE为底、DF为高计算，两个面积表达式相等即可推导出x与y的函数关系。最后确定x的取值范围：E不与B、C重合，当E接近B时AE最短，接近AB的长度；当E接近C时AE最长，接近对角线AC的长度，用勾股定理计算AC长度即可得到x的取值边界。
【解析】
解：如图，连接DE。
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，
∴矩形ABCD的面积为$3×5=15$，
∴$△ AED$的面积为$\dfrac{1}{2}×15=\dfrac{15}{2}$。
∵$DF⊥ AE$，$AE=x$，$DF=y$，
∴$△ AED$的面积可表示为$\dfrac{1}{2}× AE× DF=\dfrac{1}{2}xy$，
∴$\dfrac{1}{2}xy=\dfrac{15}{2}$，整理得$xy=15$，即$y=\dfrac{15}{x}$。
再求x的取值范围：
∵E为BC边上的动点，不与B、C重合，
当E与B重合时，$AE=AB=3$；当E与C重合时，$AE=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$，
∴x的取值范围是$3＜x＜\sqrt{34}$。
【答案】
y关于x的函数解析式为$y=\dfrac{15}{x}$，其中$3＜x＜\sqrt{34}$。
【知识点】
反比例函数解析式，矩形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题通过面积法建立线段间的函数关系，将几何性质与反比例函数知识相结合，既考查了矩形、三角形面积的基础应用，也考查了动点问题中自变量取值范围的确定方法，有助于提升数形结合的解题思维。
【难度系数】
0.7
