登录
1.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC的度数为（
A.$30°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$15°$
D
）A.$30°$
B.$20°$
C.$25°$
D.$15°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先利用等边三角形三线合一的性质，等边三角形的中线同时是高和顶角角平分线，可先求出∠ADC、∠DAC的度数；2. 再根据AE=AD可知△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和求出底角∠ADE的度数；3. 最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质：
∴AD⊥BC，∠ADC=90°，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=½∠BAC=½×60°=30°，
∵AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
在△ADE中，根据三角形内角和为180°：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形性质应用的典型基础题，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，结合等腰三角形的角度计算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 首先利用等边三角形三线合一的性质，等边三角形的中线同时是高和顶角角平分线，可先求出∠ADC、∠DAC的度数；2. 再根据AE=AD可知△ADE是等腰三角形，利用三角形内角和求出底角∠ADE的度数；3. 最后用∠ADC减去∠ADE即可得到∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，
∵AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质：
∴AD⊥BC，∠ADC=90°，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=½∠BAC=½×60°=30°，
∵AE=AD，
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED，
在△ADE中，根据三角形内角和为180°：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形性质应用的典型基础题，解题关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，结合等腰三角形的角度计算规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，已知$a// b$，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，$∠ 1=25°$，则$∠ 2$的度数为 （
A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
B
）A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形和平行线的相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，两直线平行时内错角相等。要求∠2的度数，我们可以通过作辅助线，过点C作平行于a的直线，利用平行公理的推论可知这条辅助线也平行于b，进而将∠1、∠2和等边三角形的内角建立联系，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
过点C作直线$c// a$
∵$a// b$
∴$c// b$（平行于同一直线的两直线互相平行）
根据两直线平行，内错角相等：
由$c// b$可得，BC与直线c的夹角等于∠1=25°
由$c// a$可得，AC与直线c的夹角等于∠2
又
∵BC与c的夹角 + AC与c的夹角 = ∠ACB=60°
∴∠2=60°-25°=35°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是平行线与等边三角形结合的基础题型，解题关键是通过作辅助线搭建已知角和未知角的关联，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆等边三角形和平行线的相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，两直线平行时内错角相等。要求∠2的度数，我们可以通过作辅助线，过点C作平行于a的直线，利用平行公理的推论可知这条辅助线也平行于b，进而将∠1、∠2和等边三角形的内角建立联系，即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60°
过点C作直线$c// a$
∵$a// b$
∴$c// b$（平行于同一直线的两直线互相平行）
根据两直线平行，内错角相等：
由$c// b$可得，BC与直线c的夹角等于∠1=25°
由$c// a$可得，AC与直线c的夹角等于∠2
又
∵BC与c的夹角 + AC与c的夹角 = ∠ACB=60°
∴∠2=60°-25°=35°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是平行线与等边三角形结合的基础题型，解题关键是通过作辅助线搭建已知角和未知角的关联，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,再以点A为圆心,AO长为半径画弧,两弧交于点B,画出射线OB,则∠AOB= (
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
C
)A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的尺规作图步骤，分析得到线段之间的等量关系：首先以O为圆心画弧得OA=OB，再以A为圆心、AO长为半径画弧得AB=AO，由此可判断△OAB的形状，再结合对应图形的角度性质即可求出∠AOB的度数。
【解析】
连接AB，由作图步骤可得：
OA、OB都是以O为圆心画弧得到的半径，因此OA=OB；
AB是以A为圆心、AO长为半径画弧得到的半径，因此AB=AO；
综上可得OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形。
根据等边三角形的性质，等边三角形的三个内角均为60°，因此∠AOB=60°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，结合尺规作图的特点考查等边三角形的判定与性质，只要准确提取作图过程中的边相等的条件，就能快速判断三角形形状得到角度。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的尺规作图步骤，分析得到线段之间的等量关系：首先以O为圆心画弧得OA=OB，再以A为圆心、AO长为半径画弧得AB=AO，由此可判断△OAB的形状，再结合对应图形的角度性质即可求出∠AOB的度数。
【解析】
连接AB，由作图步骤可得：
OA、OB都是以O为圆心画弧得到的半径，因此OA=OB；
AB是以A为圆心、AO长为半径画弧得到的半径，因此AB=AO；
综上可得OA=OB=AB，即△OAB为等边三角形。
根据等边三角形的性质，等边三角形的三个内角均为60°，因此∠AOB=60°，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
尺规作图、等边三角形的判定、等边三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，结合尺规作图的特点考查等边三角形的判定与性质，只要准确提取作图过程中的边相等的条件，就能快速判断三角形形状得到角度。
【难度系数】
0.8
4.在$△ ABC$中，①若$AB=BC=CA$，则$△ ABC$为等边三角形；②若$∠ A=∠ B=∠ C$，则$△ ABC$为等边三角形；③有两个角都是$60°$的三角形是等边三角形；④一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时可结合等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理，逐个验证4个结论是否正确即可。首先回忆等边三角形的判定依据：1.三边相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再对应判断每个结论。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
① 等边三角形的定义为三边相等的三角形是等边三角形，已知AB=BC=CA，三边相等，因此△ABC为等边三角形，该结论正确；
② 若∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得每个角的度数为180°÷3=60°，三个角都相等的三角形是等边三角形，该结论正确；
③ 若三角形有两个角都是60°，则第三个角的度数为180°-60°-60°=60°，三个角均为60°，因此该三角形是等边三角形，该结论正确；
④ 分两种情况讨论：若60°角是等腰三角形的顶角，则两个底角均为(180°-60°)÷2=60°；若60°角是等腰三角形的底角，则顶角为180°-60°×2=60°，两种情况下三个角均为60°，因此该三角形是等边三角形，该结论正确。
综上，4个结论都正确，应选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，四个结论均为等边三角形的常见判定结论，熟练掌握等边三角形的定义和判定定理即可快速作答，需要注意的是判断第四个结论时要考虑60°角在等腰三角形中的两种位置情况，避免漏判。
【难度系数】
0.9
本题考查等边三角形的判定，解题时可结合等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理，逐个验证4个结论是否正确即可。首先回忆等边三角形的判定依据：1.三边相等的三角形是等边三角形；2.三个角都相等的三角形是等边三角形；3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再对应判断每个结论。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
① 等边三角形的定义为三边相等的三角形是等边三角形，已知AB=BC=CA，三边相等，因此△ABC为等边三角形，该结论正确；
② 若∠A=∠B=∠C，结合三角形内角和为180°，可得每个角的度数为180°÷3=60°，三个角都相等的三角形是等边三角形，该结论正确；
③ 若三角形有两个角都是60°，则第三个角的度数为180°-60°-60°=60°，三个角均为60°，因此该三角形是等边三角形，该结论正确；
④ 分两种情况讨论：若60°角是等腰三角形的顶角，则两个底角均为(180°-60°)÷2=60°；若60°角是等腰三角形的底角，则顶角为180°-60°×2=60°，两种情况下三个角均为60°，因此该三角形是等边三角形，该结论正确。
综上，4个结论都正确，应选D。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，四个结论均为等边三角形的常见判定结论，熟练掌握等边三角形的定义和判定定理即可快速作答，需要注意的是判断第四个结论时要考虑60°角在等腰三角形中的两种位置情况，避免漏判。
【难度系数】
0.9
5.如图,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则∠BAD=
30
°.答案
5.30
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：△ABC是等边三角形，D是BC的中点。首先回忆等边三角形的性质，等边三角形三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足“三线合一”的性质，即底边上的中线同时是顶角的角平分线，因此AD会平分顶角∠BAC，只需计算∠BAC的一半即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
又
∵D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等边三角形的内角性质以及等腰三角形三线合一的应用，熟练掌握特殊三角形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：△ABC是等边三角形，D是BC的中点。首先回忆等边三角形的性质，等边三角形三个内角均为60°，且等边三角形是特殊的等腰三角形，满足“三线合一”的性质，即底边上的中线同时是顶角的角平分线，因此AD会平分顶角∠BAC，只需计算∠BAC的一半即可得到∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
又
∵D是BC边的中点，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
【答案】
30
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等边三角形的内角性质以及等腰三角形三线合一的应用，熟练掌握特殊三角形的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
6.如图，在$△ ABC$中，$BC$的垂直平分线分别交$BC$，$AB$于点$E$，$F$.若$△ AFC$是等边三角形，则$∠ B=$
30
°.答案
6.30
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直平分线入手，回忆垂直平分线的性质得到相等线段，进而推出对应角相等；再结合等边三角形内角为60°的性质，得到△BFC的外角度数，最后利用三角形外角的性质完成角的等量转换，即可求出∠B的度数。
【解析】
1.
∵EF是BC的垂直平分线，点F在EF上，根据线段垂直平分线的性质，可得FB=FC，
∴∠B=∠FCB。
2.
∵△AFC是等边三角形，根据等边三角形的性质，其所有内角均为60°，
∴∠AFC=60°。
3.
∵∠AFC是△BFC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠AFC=∠B+∠FCB。
4. 结合∠B=∠FCB，代入得∠AFC=2∠B，即2∠B=60°，解得∠B=30°。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用特殊图形的性质实现角的等量转换，熟练掌握相关图形的基础性质即可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知的垂直平分线入手，回忆垂直平分线的性质得到相等线段，进而推出对应角相等；再结合等边三角形内角为60°的性质，得到△BFC的外角度数，最后利用三角形外角的性质完成角的等量转换，即可求出∠B的度数。
【解析】
1.
∵EF是BC的垂直平分线，点F在EF上，根据线段垂直平分线的性质，可得FB=FC，
∴∠B=∠FCB。
2.
∵△AFC是等边三角形，根据等边三角形的性质，其所有内角均为60°，
∴∠AFC=60°。
3.
∵∠AFC是△BFC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得∠AFC=∠B+∠FCB。
4. 结合∠B=∠FCB，代入得∠AFC=2∠B，即2∠B=60°，解得∠B=30°。
【答案】
30
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是利用特殊图形的性质实现角的等量转换，熟练掌握相关图形的基础性质即可快速推导得到结果。
【难度系数】
0.75
