1. 如图，已知线段$AB=5\ \mathrm{cm}$，延长$AB$到点$C$，使$AC=7\ \mathrm{cm}$，在$AB$的反向延长线上取点$D$，使$BD=4BC$，设线段$CD$的中点为$E$，求线段$AE$的长度.

解:因为 $BC=AC-AB=7-5=2(\mathrm{cm})$,所以 $BD=4BC=4× 2=8(\mathrm{cm})$,所以 $AD=BD-AB=8-5=3(\mathrm{cm})$,所以 $CD=AD+AC=3+7=10(\mathrm{cm})$.因为 $E$ 为 $CD$ 的中点,所以 $DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}× 10=5(\mathrm{cm})$,所以 $AE=DE-AD=5-3=2(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时首先根据已知的AB、AC长度，利用线段和差先求出BC的长度；再结合BD=4BC的关系求出BD的长度；根据点D在AB反向延长线上的位置关系，用BD减去AB得到AD的长度；接着计算CD的总长度，再利用线段中点的性质求出DE的长度；最后用DE减去AD即可得到AE的长度。
【解析】
解：因为 $BC=AC-AB=7-5=2(\mathrm{cm})$，
所以 $BD=4BC=4× 2=8(\mathrm{cm})$，
因为点D在AB的反向延长线上，所以 $AD=BD-AB=8-5=3(\mathrm{cm})$，
所以 $CD=AD+AC=3+7=10(\mathrm{cm})$。
因为 $E$ 为 $CD$ 的中点，所以 $DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}× 10=5(\mathrm{cm})$，
所以 $AE=DE-AD=5-3=2(\mathrm{cm})$。
【答案】
$2\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的性质
【点评】
本题属于线段长度计算的常规题型，解题核心是梳理清楚各线段的位置关系和数量关系，按照逻辑顺序逐步推导计算即可，要注意反向延长线对应的线段位置，避免加减关系混淆。
【难度系数】
0.7

2.如图,已知 C 为 AB 上一点,$AC=15\ \mathrm{cm}$,$CB=\frac{2}{3}AC$.若 D,E 分别为 AC,AB 的中点,求 DE 的长.

解:因为$AC=15\ \mathrm{cm}$,所以 $CB=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}× 15=10(\mathrm{cm})$,所以 $AB=AC+CB=15+10=25(\mathrm{cm})$.又因为 $E$ 是 $AB$ 的中点, $D$ 是 $AC$ 的中点,所以 $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}× 25=12.5(\mathrm{cm})$,$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 15=7.5(\mathrm{cm})$,所以 $DE=AE-AD=12.5-7.5=5(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时可按如下思路逐步推导：第一步，先根据已知的AC长度，以及CB与AC的数量关系求出CB的长度，再通过线段和的关系算出AB的总长度；第二步，利用线段中点的性质（中点将线段分为长度相等的两部分），分别求出AB中点E对应的AE长度、AC中点D对应的AD长度；第三步，观察线段的位置关系可知DE=AE-AD，代入数值计算即可得到DE的长度。
【解析】
因为$AC=15\ \mathrm{cm}$，所以 $CB=\frac{2}{3}AC=\frac{2}{3}× 15=10(\mathrm{cm})$，
所以 $AB=AC+CB=15+10=25(\mathrm{cm})$。
又因为 $E$ 是 $AB$ 的中点， $D$ 是 $AC$ 的中点，
所以 $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}× 25=12.5(\mathrm{cm})$，$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 15=7.5(\mathrm{cm})$，
所以 $DE=AE-AD=12.5-7.5=5(\mathrm{cm})$。
【答案】
$5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题是线段长度计算的常规题型，核心考查对线段中点性质的运用，解题关键是理清图中各线段的数量关系，结合已知条件逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.8

3.如图,线段$AB=2BC$,$AD=\frac{3}{2}AB$,点$M$是$AD$的中点,点$N$是$AC$的中点,试比较$MN$和$AB+NB$的大小.

解:设 $BC$ 的长为 $x$. 因为 $AB=2BC$,$AD=\frac{3}{2}AB$,所以 $AB=2x$,$AD=3x$,所以 $AC=AB+BC=2x+x=3x$. 因为点 $M$ 是 $AD$ 的中点,点 $N$ 是 $AC$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AD=1.5x$,$AN=\frac{1}{2}AC=1.5x$,所以 $NB=AB-AN=2x-1.5x=0.5x$,所以 $MN=AM+AN=1.5x+1.5x=3x$,所以 $AB+NB=2x+0.5x=2.5x$,所以 $MN＞AB+NB$.

【分析】
本题属于线段长度比较类题目，题中仅给出各线段的数量比例关系，没有具体长度数值，我们可以用设参数的方法简化计算：首先设最短的线段BC的长度为x，再根据已知的比例关系把AB、AD、AC都用含x的式子表示；接下来利用线段中点的性质，分别求出AM、AN的长度；再结合线段的和差关系分别计算MN和AB+NB的长度，最后比较两个式子的大小就能得出结论。
【解析】
解：设 $BC$ 的长为 $x$。
因为 $AB=2BC$，$AD=\frac{3}{2}AB$，
所以 $AB=2x$，$AD=\frac{3}{2}×2x=3x$，
因此 $AC=AB+BC=2x+x=3x$。
因为点 $M$ 是 $AD$ 的中点，点 $N$ 是 $AC$ 的中点，
所以 $AM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×3x=1.5x$。
结合线段位置可得：
$NB=AB-AN=2x-1.5x=0.5x$，
$MN=AM+AN=1.5x+1.5x=3x$，
$AB+NB=2x+0.5x=2.5x$。
因为 $3x＞2.5x$，所以 $MN＞AB+NB$。
【答案】
$MN＞AB+NB$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差计算；线段大小比较
【点评】
本题是线段计算的典型题型，核心解题思路是通过设参数将抽象的比例关系转化为直观的长度表达式，再结合线段中点性质和线段和差关系计算目标线段长度后比较大小，解题的关键是理清各线段的位置关系和数量关系，避免混淆线段的加减逻辑。
【难度系数】
0.7

4.如图,已知线段$AB:BC:CD=2:3:4$,点E,F分别是AB,CD的中点,且$EF=12$,求线段AD的长.

解:由 $AB:BC:CD=2:3:4$,可设 $AB=2x$,$BC=3x$,$CD=4x$. 因为点 $E,F$ 分别是 $AB,CD$ 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2}AB=x$,$CF=\frac{1}{2}CD=2x$,所以 $EF=EB+BC+CF=x+3x+2x=6x=12$,解得 $x=2$. 所以 $AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9× 2=18$.

【分析】
遇到线段比例类的计算问题时，首先可以根据比例关系设每份长度为x，将各段线段用含x的代数式表示；再结合线段中点的性质，表示出中点分割线段得到的短线段长度；接着观察图形确定EF对应的线段和组成，据此列出关于x的方程求出x的值；最后根据AD是AB、BC、CD三段的和，代入x的值即可算出AD的长度。
【解析】
解：由$AB:BC:CD=2:3:4$，可设$AB=2x$，$BC=3x$，$CD=4x$。
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=x$，$CF=\frac{1}{2}CD=2x$，
由图可知$EF=EB+BC+CF$，代入得：
$x+3x+2x=6x=12$，
解得$x=2$。
∴$AD=AB+BC+CD=2x+3x+4x=9x=9×2=18$。
【答案】
$18$
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，比例的应用
【点评】
本题是线段长度计算的典型基础题，通过设参数将比例关系转化为代数式，结合线段中点性质和线段和差关系列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，能有效训练线段相关计算的逻辑思维。
【难度系数】
0.8

5.如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AB=15 cm,求线段MN的长;
(2)若点C为线段AB上任一点,满足AB=a cm,其他条件不变,求线段MN的长.

解:(1)因为点 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$. 因为 $AB=15\ \mathrm{cm}$,所以 $MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}× 15=7.5(\mathrm{cm})$;
(2)因为点 $M,N$ 分别是 $AC,BC$ 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}a(\mathrm{cm})$.

【分析】
解题时先从已知条件“M,N分别是AC,BC的中点”入手，回忆线段中点的性质：中点将线段分为长度相等的两部分，分线段的长度等于原线段的$\frac{1}{2}$。再观察图形可知线段MN由CM和CN两部分组成，因此$MN=CM+CN$，将CM、CN用AC、BC的$\frac{1}{2}$替换后，提取公因式可发现$CM+CN=\frac{1}{2}(AC+BC)$，而AC+BC正好是线段AB的长度，因此可以直接用已知的AB长度求出MN的长度，两小问的推导逻辑一致，仅AB的表示形式不同。
【解析】
(1) 因为点M,N分别是AC,BC的中点，根据线段中点的性质可得：
$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$
结合图形可知$MN=CM+CN$，代入上述关系得：
$MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
又因为点C在线段AB上，所以$AC+BC=AB$，已知$AB=15\ \mathrm{cm}$，代入得：
$MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×15=7.5(\mathrm{cm})$
(2) 同理，点M,N分别是AC,BC的中点，故$CM=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}BC$
所以$MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}AB$
已知$AB=a\ \mathrm{cm}$，代入得$MN=\frac{1}{2}a(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $7.5\ \mathrm{cm}$；(2) $\frac{1}{2}a\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段中点的性质，线段和差计算，整体代入思想
【点评】
本题是线段长度计算的基础典型题，解题核心是利用中点性质转化线段关系，通过整体合并将未知线段和已知线段建立关联。本题推导得到的结论“线段上任意一点分线段所得两条线段的中点距离等于原线段长度的一半”可作为常用规律记忆，能够提升同类题型的解题效率。
【难度系数】
0.8