6.如图,已知C,D是线段AB上的两个点,点M,N分别为AC,BD的中点.

(1)若$AB=16\ \mathrm{cm},CD=6\ \mathrm{cm}$,求$AC+BD$的长和$M,N$之间的距离;
(2)如果$AB=m,CD=n$,用含$m,n$的式子表示$MN$的长.

解:(1)因为 $AB=16\ \mathrm{cm}$,$CD=6\ \mathrm{cm}$,所以 $AC+BD=AB-CD=16-6=10(\mathrm{cm})$. 因为点 $M,N$ 分别为 $AC,BD$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AC$,$BN=\frac{1}{2}BD$,所以 $MN=AB-AM-BN=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)=16-\frac{1}{2}× 10=16-5=11(\mathrm{cm})$;
(2)因为 $AB=m$,$CD=n$,所以 $AC+BD=AB-CD=m-n$. 因为点 $M,N$ 分别为 $AC,BD$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AC$,$BN=\frac{1}{2}BD$,所以 $MN=AB-AM-BN=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)=m-\frac{1}{2}(m-n)=\frac{m+n}{2}$.

【分析】
解题时先看第一问，要求AC+BD的长，观察线段AB的组成，AB由AC、CD、BD三部分构成，因此AC+BD=AB-CD，代入数值即可算出；接下来求MN的长度，已知M是AC中点、N是BD中点，根据中点定义可得AM=$\frac{1}{2}$AC，BN=$\frac{1}{2}$BD，而MN=AB-AM-BN，将AM、BN替换后，用整体代入的方法把求出的AC+BD的值代入即可计算。第二问是把具体数值换成字母参数m和n，沿用第一问的推导思路，将数值替换为对应字母，化简代数式就能得到MN的表达式。
【解析】
(1) 已知$AB=16\ \mathrm{cm}$，$CD=6\ \mathrm{cm}$，
因为线段$AB=AC+CD+BD$，所以$AC+BD=AB-CD=16-6=10(\mathrm{cm})$。
又因为点M是AC的中点，点N是BD的中点，根据线段中点的定义，得$AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=\frac{1}{2}BD$。
观察线段AB的组成，$MN=AB-AM-BN$，代入得：
$MN=AB-\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BD=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)$
把$AB=16\ \mathrm{cm}$，$AC+BD=10\ \mathrm{cm}$代入，得$MN=16-\frac{1}{2}×10=16-5=11(\mathrm{cm})$。
(2) 已知$AB=m$，$CD=n$，同理可得$AC+BD=AB-CD=m-n$。
因为M、N分别是AC、BD的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
则$MN=AB-AM-BN=AB-\frac{1}{2}(AC+BD)$
代入$AB=m$，$AC+BD=m-n$，得：
$MN=m-\frac{1}{2}(m-n)=\frac{m+n}{2}$。
【答案】
(1) $AC+BD$的长为$10\ \mathrm{cm}$，$M,N$之间的距离为$11\ \mathrm{cm}$；
(2) $MN$的长为$\frac{m+n}{2}$。
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，代数式化简
【点评】
本题是线段计算的基础题型，核心是利用线段中点性质将未知线段转化为已知线段的和差形式，解题过程中用到的整体代入思想能有效简化计算，掌握这类题型的推导逻辑可以快速解决同类线段长度计算问题。
【难度系数】
0.8

7.已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，点$C$在直线$AB$上，$BC=6\ \mathrm{cm}$，点$D$是线段$AC$的中点，求线段$BD$的长度。

解:因为 $AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,点 $C$ 在直线 $AB$ 上,所以点 $C$ 在线段 $AB$ 上或在线段 $AB$ 的延长线上.
①当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时,如图①,则有 $AC=AB-BC=12-6=6(\mathrm{cm})$. 因为点 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 6=3(\mathrm{cm})$,所以 $BD=CD+BC=3+6=9(\mathrm{cm})$;
②当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时,如图②,则有 $AC=AB+BC=12+6=18(\mathrm{cm})$. 因为点 $D$ 是线段 $AC$ 的中点,所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 18=9(\mathrm{cm})$,所以 $BD=CD-BC=9-6=3(\mathrm{cm})$.
综上所述,线段 $BD$ 的长度为 $9\ \mathrm{cm}$ 或 $3\ \mathrm{cm}$.

【分析】
本题中点C在直线AB上，直线可向两端无限延伸，因此点C存在两种位置情况：①在线段AB上；②在线段AB的延长线上，需分情况讨论求解。解题时先根据点C的位置结合已知线段长度计算AC的长，再利用线段中点的性质得到CD的长度，最后通过线段的和差关系计算BD的长度即可。
【解析】
因为 $AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，点 $C$ 在直线 $AB$ 上，所以点 $C$ 在线段 $AB$ 上或在线段 $AB$ 的延长线上。
①当点 $C$ 在线段 $AB$ 上时，如图①，则有 $AC=AB-BC=12-6=6(\mathrm{cm})$。因为点 $D$ 是线段 $AC$ 的中点，所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 6=3(\mathrm{cm})$，所以 $BD=CD+BC=3+6=9(\mathrm{cm})$；
②当点 $C$ 在线段 $AB$ 的延长线上时，如图②，则有 $AC=AB+BC=12+6=18(\mathrm{cm})$。因为点 $D$ 是线段 $AC$ 的中点，所以 $CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}× 18=9(\mathrm{cm})$，所以 $BD=CD-BC=9-6=3(\mathrm{cm})$。
综上所述，线段 $BD$ 的长度为 $9\ \mathrm{cm}$ 或 $3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
线段$BD$的长度为$9\ \mathrm{cm}$或$3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略点C在直线上的两种位置，仅考虑单一种情况导致漏解。解题时要注意直线的延伸性，遇到点在直线上的相关计算时，优先判断是否需要分类讨论，结合线段中点性质和和差关系运算即可求解。
【难度系数】
0.7

8.(合肥肥西县期末)如图,已知线段AB=15 cm,点C在线段AB上,且AC:CB=3:2.

(1)求线段AC,CB的长;
(2)点P是线段AB上的动点,线段AP的中点为M,设AP=m cm.
①请用含m的代数式表示线段PC,MC的长;
②若三个点M,P,C中恰有一点是其他两点所连线段的中点,则称M,P,C三点为“共谐点”,请直接写出使得M,P,C三点为“共谐点”的m的值.

解:(1)因为线段 $AB=15\ \mathrm{cm}$,点 $C$ 在线段 $AB$ 上,且 $AC:CB=3:2$,所以 $AC=15× \frac{3}{5}=9(\mathrm{cm})$,$CB=15× \frac{2}{5}=6(\mathrm{cm})$;
(2)①如答图①,当点 $P$ 在线段 $AC$ 上时,$PC=AC-AP=(9-m)\mathrm{cm}$. 因为 $M$ 为 $AP$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}m(\mathrm{cm})$,所以 $MC=AC-AM=(9-\frac{1}{2}m)\mathrm{cm}$. 如答图②,当点 $P$ 在线段 $BC$ 上时,$PC=AP-AC=(m-9)\mathrm{cm}$. 因为点 $M$ 为 $AP$ 的中点,所以 $AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}m(\mathrm{cm})$,所以 $MC=AC-AM=(9-\frac{1}{2}m)\mathrm{cm}$;
②当点 $P$ 在线段 $AC$ 上时,则 $MP=PC$,所以 $\frac{1}{2}m=9-m$,解得 $m=6$. 当点 $P$ 在线段 $BC$ 上时,则 $MC=PC$,所以 $9-\frac{1}{2}m=m-9$,解得 $m=12$. 综上所述,使得 $M,P,C$ 三点为“共谐点”的 $m$ 的值为 $6$ 或 $12$.

【分析】
(1) 已知线段AB的总长度，以及AC和CB的长度比，将AB总长度按比例分配即可求出AC、CB的长度。
(2) ①点P是AB上的动点，需分点P在线段AC上、点P在线段BC上两种情况，结合线段和差关系表示PC的长度；再根据M是AP中点的性质，求出AM的长度，进而推导MC的表达式。②先理解“共谐点”的定义，即三点中有一点是另外两点连线的中点，再分P的两种位置，根据中点的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 已知$AB=15\ \mathrm{cm}$，点C在线段AB上，且$AC:CB=3:2$，总份数为$3+2=5$，因此：
$AC=15× \frac{3}{5}=9(\mathrm{cm})$，
$CB=15× \frac{2}{5}=6(\mathrm{cm})$。
(2) ①分两种情况讨论：
当点P在线段AC上时，$PC=AC-AP=(9-m)\mathrm{cm}$。因为M是AP的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}m(\mathrm{cm})$，因此$MC=AC-AM=(9-\frac{1}{2}m)\mathrm{cm}$。
当点P在线段BC上时，$PC=AP-AC=(m-9)\mathrm{cm}$。因为M是AP的中点，所以$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}m(\mathrm{cm})$，因此$MC=AC-AM=(9-\frac{1}{2}m)\mathrm{cm}$。
②分两种情况列方程求解：
当点P在线段AC上时，P为M、C的中点，即$MP=PC$，代入得$\frac{1}{2}m=9-m$，解得$m=6$。
当点P在线段BC上时，C为M、P的中点，即$MC=PC$，代入得$9-\frac{1}{2}m=m-9$，解得$m=12$。
【答案】
(1) $AC=9\ \mathrm{cm}$，$CB=6\ \mathrm{cm}$；
(2) ①当点P在线段AC上时，$PC=(9-m)\mathrm{cm}$，$MC=(9-\frac{1}{2}m)\mathrm{cm}$；当点P在线段BC上时，$PC=(m-9)\mathrm{cm}$，$MC=(9-\frac{1}{2}m)\mathrm{cm}$；
②$m$的值为6或12。


【知识点】
线段和差计算，线段中点的定义，比例线段
【点评】
本题结合新定义考查线段的计算，解题核心是掌握线段中点的性质，同时要注意对动点的位置进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7