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1 下列二次根式中，能与$\sqrt{5}$合并的是（
A.$\sqrt{0.5}$
B.$\sqrt{25}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{\frac{1}{5}}$
D
）。A.$\sqrt{0.5}$
B.$\sqrt{25}$
C.$\sqrt{15}$
D.$\sqrt{\frac{1}{5}}$
答案
A. $\sqrt{0.5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,不能与$\sqrt{5}$合并,故此选项不符合题意;B. $\sqrt{25}=5$,不能与$\sqrt{5}$合并,故此选项不符合题意;C. $\sqrt{15}$不能与$\sqrt{5}$合并,故此选项不符合题意;D.$\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,能与$\sqrt{5}$合并,故此选项符合题意. 故选D.
2 (2025·北京通州区期末)若最简二次根式$\sqrt{4-2m}$与$\sqrt{6}$是同类二次根式，则$m$的值是
-1
。答案
$\because \sqrt{6}$是最简二次根式，且最简二次根式$\sqrt{4-2m}$与$\sqrt{6}$是同类二次根式，$\therefore 4-2m=6$，$\therefore m=-1$.
知识拓展 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫作同类二次根式.一个二次根式不能叫同类二次根式,至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式.要判断几个根式是否是同类二次根式,须先化简,把非最简二次根式化成最简二次根式,然后进行判断.
知识拓展 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式叫作同类二次根式.一个二次根式不能叫同类二次根式,至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式.要判断几个根式是否是同类二次根式,须先化简,把非最简二次根式化成最简二次根式,然后进行判断.
3 跨学科 动能公式 (2024·晋城模拟)高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及.据研究，高空抛物下落的时间$t$(单位：s)和高度$h$(单位：m)近似满足公式$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$(不考虑风速的影响，$g≈10\ \mathrm{m/s}^2$).
(1)求从60 m高空抛物到落地的时间.(结果保留根号)
(2)已知高空坠物动能(单位：J)$=10×$物体质量(单位：kg)$×$高度(单位：m)，某质量为0.2 kg的玩具被抛出后经过3 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.(注：伤害无防护人体只需要65 J的动能)
(1)求从60 m高空抛物到落地的时间.(结果保留根号)
(2)已知高空坠物动能(单位：J)$=10×$物体质量(单位：kg)$×$高度(单位：m)，某质量为0.2 kg的玩具被抛出后经过3 s后落在地上，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？请说明理由.(注：伤害无防护人体只需要65 J的动能)
答案
(1)由题意,知$h=60$,$\therefore t=\sqrt{\frac{2×60}{10}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,
故从 60 m 高空抛物到落地的时间为$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$.
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下：
当$t=3$时,即$3=\sqrt{\frac{2h}{10}}$,$\therefore h=45$,
$\therefore$这个玩具产生的动能为$10×0.2×45=90(\mathrm{J})$.
$\because 90＞65$,$\therefore$这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.
故从 60 m 高空抛物到落地的时间为$2\sqrt{3}\ \mathrm{s}$.
(2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.理由如下：
当$t=3$时,即$3=\sqrt{\frac{2h}{10}}$,$\therefore h=45$,
$\therefore$这个玩具产生的动能为$10×0.2×45=90(\mathrm{J})$.
$\because 90＞65$,$\therefore$这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人.
4 中考新考法 归纳一般结论 观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题：
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$；$···$.
(1)$\sqrt{7}+\sqrt{6}$的倒数是________；
(2)请你用含$n$($n$为正整数)的式子表示上述各式子的变形规律；(不必证明)
(3)利用上面的结论，求下列式子的值：$( \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}} ) × (\sqrt{2026}+1)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$；$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$；$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$；$···$.
(1)$\sqrt{7}+\sqrt{6}$的倒数是________；
(2)请你用含$n$($n$为正整数)的式子表示上述各式子的变形规律；(不必证明)
(3)利用上面的结论，求下列式子的值：$( \frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+···+\frac{1}{\sqrt{2026}+\sqrt{2025}} ) × (\sqrt{2026}+1)$.
答案
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{6}$
(2)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
(3)原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})×(\sqrt{2026}+1)=(\sqrt{2026}-1)×(\sqrt{2026}+1)=2026-1=2025$.
(2)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
(3)原式$=(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025})×(\sqrt{2026}+1)=(\sqrt{2026}-1)×(\sqrt{2026}+1)=2026-1=2025$.
5 当a取什么值时，代数式$\sqrt{2a+1}+1$取值最小？并求出这个最小值。
答案
当$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}+1$有最小值,最小值为1.理由如下:
因为$\sqrt{2a+1}≥0$,所以当$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}$取最小值,最小值为0,则$\sqrt{2a+1}+1$的最小值是1.
知识拓展 $\sqrt{a}$具有双重非负性:(1)$a≥0$,即被开方数$a$是非负数;(2)$\sqrt{a}≥0$,即算术平方根是一个非负数.
因为$\sqrt{2a+1}≥0$,所以当$a=-\frac{1}{2}$时,$\sqrt{2a+1}$取最小值,最小值为0,则$\sqrt{2a+1}+1$的最小值是1.
知识拓展 $\sqrt{a}$具有双重非负性:(1)$a≥0$,即被开方数$a$是非负数;(2)$\sqrt{a}≥0$,即算术平方根是一个非负数.
