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1 化简$(\sqrt{\dfrac{1}{a}} - \sqrt{b}) · \sqrt{ab}$，其中$a=3,b=2.$
答案
原式$=\sqrt{b}-b\sqrt{a}$. 当$a=3,b=2$时,原式$=\sqrt{2}-2\sqrt{3}$.
变式1.1 已知$a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3}$，求$a^2+ab+b^2$的值。
答案
$\because a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3},\therefore a+b=4,ab=1$，
$\therefore a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=4^2-1=16-1=15$.
$\therefore a^2+ab+b^2=(a+b)^2-ab=4^2-1=16-1=15$.
变式1.2 先化简，再求值：$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) - a · (a - 6)$，其中$a = \sqrt{5} + \frac{1}{2}$。
答案
$(a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})-a(a-6)=a^2-3-a^2+6a=-3+6a$,当$a=\sqrt{5}+\frac{1}{2}$时,原式$=-3+6(\sqrt{5}+\frac{1}{2})=-3+6\sqrt{5}+3=6\sqrt{5}$.
2 已知实数$a,b$满足$(a+6)^2 + \sqrt{b^2 -2b -3}=0$，求$2b^2 -4b -a$的值。
答案
$\because (a+6)^2 + \sqrt{b^2 -2b -3}=0,\therefore a+6=0,b^2-2b-3=0$,
$\therefore a=-6,b^2-2b=3,\therefore 2b^2-4b-a=2(b^2-2b)-a=2×3-(-6)=6+6=12$. 即$2b^2-4b-a$的值是12.
$\therefore a=-6,b^2-2b=3,\therefore 2b^2-4b-a=2(b^2-2b)-a=2×3-(-6)=6+6=12$. 即$2b^2-4b-a$的值是12.
变式2.1 已知$a+\frac{1}{a}=1+\sqrt{10}$，求$a^2+\frac{1}{a^2}$的值。
答案
$\because a+\frac{1}{a}=1+\sqrt{10},\therefore a^2+\frac{1}{a^2}=(a+\frac{1}{a})^2-2· a· \frac{1}{a}=(1+\sqrt{10})^2-2=1+10+2\sqrt{10}-2=9+2\sqrt{10}$.
变式2.2 已知$x+y=-3$，$xy=2$，试求$\sqrt{\dfrac{y}{x}} + \sqrt{\dfrac{x}{y}}$的值。
答案
由题意知$x＜0,y＜0$,则原式$=-\frac{\sqrt{xy}}{x}-\frac{\sqrt{xy}}{y}=-\sqrt{xy}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=-\sqrt{xy}· \frac{x+y}{xy}$. 将$x+y=-3,xy=2$代入,得原式$=-\sqrt{2}× \frac{-3}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
变式2.3 已知$a-b=\sqrt{5}+\sqrt{3}$，$b-c=\sqrt{5}-\sqrt{3}$，求$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc$的值。
答案
$\because a-b=\sqrt{5}+\sqrt{3},b-c=\sqrt{5}-\sqrt{3},\therefore a-c=2\sqrt{5}$,
$\therefore a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]=\frac{1}{2}[(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{5})^2]=\frac{1}{2}(5+2\sqrt{15}+3+5-2\sqrt{15}+3+20)=18$.
$\therefore a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]=\frac{1}{2}[(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2+(2\sqrt{5})^2]=\frac{1}{2}(5+2\sqrt{15}+3+5-2\sqrt{15}+3+20)=18$.
