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7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$.以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，当所作的圆与斜边$AB$所在的直线相切时，$r$的值为.
答案
$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$（或4.8）
解析
【分析】
要解决本题，首先根据直线与圆相切的性质：圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径，可知本题所求的r就是点C到斜边AB的距离（即Rt△ABC斜边上的高）。接下来先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求出r的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
设点C到AB的距离为$h$，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· h$
代入数值计算：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$
化简得$24=5h$，解得$h=\frac{24}{5}$
$\because$⊙C与AB所在直线相切，$\therefore$半径$r$等于圆心C到AB的距离$h$，即$r=\frac{24}{5}$（或4.8）
【答案】
$\frac{24}{5}$（或4.8）
【知识点】
1.直线与圆相切的性质
2.勾股定理
3.三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，核心是将求半径的问题转化为求点到直线的距离问题，其中用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的技巧，熟练掌握相关性质和方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先根据直线与圆相切的性质：圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于半径，可知本题所求的r就是点C到斜边AB的距离（即Rt△ABC斜边上的高）。接下来先通过勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，即可求出r的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
设点C到AB的距离为$h$，根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· h$
代入数值计算：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$
化简得$24=5h$，解得$h=\frac{24}{5}$
$\because$⊙C与AB所在直线相切，$\therefore$半径$r$等于圆心C到AB的距离$h$，即$r=\frac{24}{5}$（或4.8）
【答案】
$\frac{24}{5}$（或4.8）
【知识点】
1.直线与圆相切的性质
2.勾股定理
3.三角形面积计算
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，核心是将求半径的问题转化为求点到直线的距离问题，其中用面积法求直角三角形斜边上的高是常用的技巧，熟练掌握相关性质和方法就能快速解题。
【难度系数】
0.7
8.已知$\odot O$的半径为3，点O到直线$l$的距离为$OA=6$，将直线$l$沿着$AO$的方向平移$m$个单位时，$\odot O$与直线$l$相切，则$m$的值为。
答案
解：
∵ ⊙O的半径为3，
∴ 当⊙O与直线l相切时，点O到直线l的距离等于3。
已知初始点O到直线l的距离OA=6，直线l沿AO方向平移：
当平移后直线位于点O与原直线l之间时，平移距离$ m = 6 - 3 = 3 $；
当平移后直线越过点O，位于点O远离原直线l的一侧时，平移距离$ m = 6 + 3 = 9 $。
综上，m的值为3或9。
∵ ⊙O的半径为3，
∴ 当⊙O与直线l相切时，点O到直线l的距离等于3。
已知初始点O到直线l的距离OA=6，直线l沿AO方向平移：
当平移后直线位于点O与原直线l之间时，平移距离$ m = 6 - 3 = 3 $；
当平移后直线越过点O，位于点O远离原直线l的一侧时，平移距离$ m = 6 + 3 = 9 $。
综上，m的值为3或9。
解析
【分析】
解题时首先明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。已知初始状态下圆心O到直线l的距离为6，直线沿AO方向平移时会出现两种相切情况：一是直线平移到圆心与原直线之间，圆心到直线的距离缩短为3；二是直线越过圆心，平移到圆心远离原直线的一侧，此时圆心到直线的距离也为3。结合两种情况分别计算平移距离即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ ⊙O的半径为3，
∴ 当⊙O与直线l相切时，点O到直线l的距离等于半径3。
已知初始时点O到直线l的距离OA=6，直线l沿AO方向平移，分两种情况讨论：
① 当平移后的直线位于点O与原直线l之间时，平移距离$ m = 6 - 3 = 3 $；
② 当平移后的直线越过点O，位于点O远离原直线l的一侧时，平移距离$ m = 6 + 3 = 9 $。
综上，m的值为3或9。
【答案】
3或9
【知识点】
直线与圆的位置关系；平移的性质
【点评】
本题考查直线与圆相切的性质，解题时需注意分类讨论平移的两种不同位置，避免因考虑不全面出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确直线与圆相切的核心条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。已知初始状态下圆心O到直线l的距离为6，直线沿AO方向平移时会出现两种相切情况：一是直线平移到圆心与原直线之间，圆心到直线的距离缩短为3；二是直线越过圆心，平移到圆心远离原直线的一侧，此时圆心到直线的距离也为3。结合两种情况分别计算平移距离即可，注意不要漏解。
【解析】
∵ ⊙O的半径为3，
∴ 当⊙O与直线l相切时，点O到直线l的距离等于半径3。
已知初始时点O到直线l的距离OA=6，直线l沿AO方向平移，分两种情况讨论：
① 当平移后的直线位于点O与原直线l之间时，平移距离$ m = 6 - 3 = 3 $；
② 当平移后的直线越过点O，位于点O远离原直线l的一侧时，平移距离$ m = 6 + 3 = 9 $。
综上，m的值为3或9。
【答案】
3或9
【知识点】
直线与圆的位置关系；平移的性质
【点评】
本题考查直线与圆相切的性质，解题时需注意分类讨论平移的两种不同位置，避免因考虑不全面出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
9.在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，$AC=4$，以点$C$为圆心，$2\sqrt{3}$为半径作$\odot C$，则$\odot C$与$AB$的位置关系是________。
答案
解：
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴ AB=2AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}$。
∵ ⊙C的半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $CD=r$，
∴ ⊙C与AB的位置关系是相切。
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴ AB=2AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}$。
∵ ⊙C的半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $CD=r$，
∴ ⊙C与AB的位置关系是相切。
解析
【分析】
要判断⊙C与AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。解题步骤可按以下思路展开：第一步，过点C作AB的垂线段CD，CD的长度就是圆心到直线的距离d；第二步，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出斜边AB的长度，再通过勾股定理计算出BC的长度；第三步，用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，求出CD的长度；第四步，对比CD和半径r的大小，得出最终位置关系。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴ AB=2AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}$。
∵ ⊙C的半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $CD=r$，
∴ ⊙C与AB的位置关系是相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆位置关系判定；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是掌握“比较圆心到直线距离与半径大小”的判定方法，解题过程中用到的面积法求高是几何中求垂线段长度的常用技巧，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断⊙C与AB的位置关系，核心是比较圆心C到直线AB的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r则相离，d=r则相切，d＜r则相交。解题步骤可按以下思路展开：第一步，过点C作AB的垂线段CD，CD的长度就是圆心到直线的距离d；第二步，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半求出斜边AB的长度，再通过勾股定理计算出BC的长度；第三步，用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）列等式，求出CD的长度；第四步，对比CD和半径r的大小，得出最终位置关系。
【解析】
过点C作CD⊥AB，垂足为D。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=4，
∴ AB=2AC=8，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC=\frac{1}{2}· AB· CD$，
∴ $CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}$。
∵ ⊙C的半径$r=2\sqrt{3}$，
∴ $CD=r$，
∴ ⊙C与AB的位置关系是相切。
【答案】
相切
【知识点】
直线与圆位置关系判定；含30°角的直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题属于直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是掌握“比较圆心到直线距离与半径大小”的判定方法，解题过程中用到的面积法求高是几何中求垂线段长度的常用技巧，熟练掌握基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，点$D$是$BC$的中点，以$D$为圆心，$2.5$为半径作圆，则$\odot D$与直线$AC$的位置关系是。
答案
相交
解析
【分析】
要判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。本题中圆心为D，目标直线为AC，因此首先需要求D到AC的距离。首先利用等腰三角形三线合一的性质，连接AD可得AD⊥BC，先通过勾股定理算出AD的长度，再用面积法求出D到AC的垂线段长度，最后和半径2.5比较即可得出结论。
【解析】
1. 连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，线段DE的长度就是圆心D到直线AC的距离d。
2. 因为AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，且DC=BC÷2=6÷2=3。
3. 在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
4. 计算△ADC的面积：方法一$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AD×DC=\frac{1}{2}×4×3=6$；方法二$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AC×DE$。
5. 联立面积等式：$\frac{1}{2}×5×DE=6$，解得$DE=\frac{12}{5}=2.4$。
6. 已知⊙D半径r=2.5，因为2.4＜2.5，即d＜r，所以⊙D与直线AC相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是掌握位置关系的判定规则，灵活运用等腰三角形性质和面积法求点到直线的距离，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
要判断圆与直线的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：若d＜r则相交，d=r则相切，d＞r则相离。本题中圆心为D，目标直线为AC，因此首先需要求D到AC的距离。首先利用等腰三角形三线合一的性质，连接AD可得AD⊥BC，先通过勾股定理算出AD的长度，再用面积法求出D到AC的垂线段长度，最后和半径2.5比较即可得出结论。
【解析】
1. 连接AD，过点D作DE⊥AC于点E，线段DE的长度就是圆心D到直线AC的距离d。
2. 因为AB=AC，D是BC中点，根据等腰三角形三线合一，得AD⊥BC，且DC=BC÷2=6÷2=3。
3. 在Rt△ADC中，AC=5，DC=3，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
4. 计算△ADC的面积：方法一$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AD×DC=\frac{1}{2}×4×3=6$；方法二$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×AC×DE$。
5. 联立面积等式：$\frac{1}{2}×5×DE=6$，解得$DE=\frac{12}{5}=2.4$。
6. 已知⊙D半径r=2.5，因为2.4＜2.5，即d＜r，所以⊙D与直线AC相交。
【答案】
相交
【知识点】
直线与圆的位置关系判定；等腰三角形三线合一；勾股定理
【点评】
本题是直线与圆位置关系判定的基础题型，解题关键是掌握位置关系的判定规则，灵活运用等腰三角形性质和面积法求点到直线的距离，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.7
11.以点$P(1,2)$为圆心，$r$为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，则$r$应满足
（）
A.$r=2$或$\sqrt{5}$
B.$r=2$
C.$r=\sqrt{5}$
D.$2＜r＜\sqrt{5}$
（）
A.$r=2$或$\sqrt{5}$
B.$r=2$
C.$r=\sqrt{5}$
D.$2＜r＜\sqrt{5}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先明确圆与坐标轴恰好有3个交点的两类情形：①圆与其中一条坐标轴相切，同时与另一条坐标轴相交，无公共交点，总交点数为1+2=3；②圆经过原点，此时圆与x轴、y轴各有2个交点，原点为公共交点，总交点数为2+2-1=3。接下来结合点P的坐标，分别计算对应情形下的半径，排除不符合的情况即可得到答案。
【解析】
首先计算点P(1,2)到各位置的距离：
1. 点P到x轴的距离为纵坐标的绝对值：$d_x=2$；到y轴的距离为横坐标的绝对值：$d_y=1$；到原点的距离由两点间距离公式得：$d_0=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 分析第一种情形（与一条轴相切，与另一条相交）：
若圆与y轴相切，则$r=d_y=1$，此时$r=1 ＜ d_x=2$，圆与x轴无交点，总交点仅1个，不符合题意；
若圆与x轴相切，则$r=d_x=2$，此时$r=2 ＞ d_y=1$，圆与y轴有2个交点，总交点数为1+2=3，符合题意。
3. 分析第二种情形（圆过原点）：
此时$r=d_0=\sqrt{5}$，代入验证：圆与x轴交于$(0,0)$、$(2,0)$，与y轴交于$(0,0)$、$(0,4)$，去重后共3个交点，符合题意。
综上，$r$应满足$r=2$或$\sqrt{5}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 点到坐标轴的距离
3. 两点间距离公式
【点评】
本题考查分类讨论思想在圆与直线位置关系中的应用，解题的关键是不遗漏“圆过原点”这一特殊情形，结合几何性质分析可快速得出结果，避免盲目计算。
【难度系数】
0.7
解题时先明确圆与坐标轴恰好有3个交点的两类情形：①圆与其中一条坐标轴相切，同时与另一条坐标轴相交，无公共交点，总交点数为1+2=3；②圆经过原点，此时圆与x轴、y轴各有2个交点，原点为公共交点，总交点数为2+2-1=3。接下来结合点P的坐标，分别计算对应情形下的半径，排除不符合的情况即可得到答案。
【解析】
首先计算点P(1,2)到各位置的距离：
1. 点P到x轴的距离为纵坐标的绝对值：$d_x=2$；到y轴的距离为横坐标的绝对值：$d_y=1$；到原点的距离由两点间距离公式得：$d_0=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
2. 分析第一种情形（与一条轴相切，与另一条相交）：
若圆与y轴相切，则$r=d_y=1$，此时$r=1 ＜ d_x=2$，圆与x轴无交点，总交点仅1个，不符合题意；
若圆与x轴相切，则$r=d_x=2$，此时$r=2 ＞ d_y=1$，圆与y轴有2个交点，总交点数为1+2=3，符合题意。
3. 分析第二种情形（圆过原点）：
此时$r=d_0=\sqrt{5}$，代入验证：圆与x轴交于$(0,0)$、$(2,0)$，与y轴交于$(0,0)$、$(0,4)$，去重后共3个交点，符合题意。
综上，$r$应满足$r=2$或$\sqrt{5}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 点到坐标轴的距离
3. 两点间距离公式
【点评】
本题考查分类讨论思想在圆与直线位置关系中的应用，解题的关键是不遗漏“圆过原点”这一特殊情形，结合几何性质分析可快速得出结果，避免盲目计算。
【难度系数】
0.7
12.已知半径为r的$\odot P$的圆心在直线$y=-2x+1$上运动.
(1)若$\odot P$的半径为2,$\odot P$与x轴相切,则点P的坐标为________;
(2)若$\odot P$的半径为3,$\odot P$与y轴相切,则点P的坐标为________;
(3)$\odot P$能否与x轴和y轴同时相切?若能,请写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
(1)若$\odot P$的半径为2,$\odot P$与x轴相切,则点P的坐标为________;
(2)若$\odot P$的半径为3,$\odot P$与y轴相切,则点P的坐标为________;
(3)$\odot P$能否与x轴和y轴同时相切?若能,请写出点P的坐标;若不能,请说明理由.
答案
解：
(1) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与x轴相切，半径为2，
∴点P到x轴的距离等于半径2，即$|-2x+1|=2$。
当$-2x+1=2$时，解得$x=-\frac{1}{2}$；
当$-2x+1=-2$时，解得$x=\frac{3}{2}$。
∴点P的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{1}{2},2)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-2)}$。
(2) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与y轴相切，半径为3，
∴点P到y轴的距离等于半径3，即$|x|=3$。
当$x=3$时，$y=-2×3+1=-5$；
当$x=-3$时，$y=-2×(-3)+1=7$。
∴点P的坐标为$\boldsymbol{(3,-5)}$或$\boldsymbol{(-3,7)}$。
(3) 能。
若$\odot P$与x轴、y轴同时相切，则点P到x轴和y轴的距离相等，且都等于半径r，即$|x|=|y|$。
又∵点P在直线$y=-2x+1$上，分两种情况讨论：
① 当$x=y$时，代入$y=-2x+1$，得$x=-2x+1$，解得$x=\frac{1}{3}$，则$y=\frac{1}{3}$，符合要求；
② 当$x=-y$时，代入$y=-2x+1$，得$-x=-2x+1$，解得$x=1$，则$y=-1$，符合要求。
∴点P的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},\frac{1}{3})}$或$\boldsymbol{(1,-1)}$。
(1) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与x轴相切，半径为2，
∴点P到x轴的距离等于半径2，即$|-2x+1|=2$。
当$-2x+1=2$时，解得$x=-\frac{1}{2}$；
当$-2x+1=-2$时，解得$x=\frac{3}{2}$。
∴点P的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{1}{2},2)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-2)}$。
(2) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与y轴相切，半径为3，
∴点P到y轴的距离等于半径3，即$|x|=3$。
当$x=3$时，$y=-2×3+1=-5$；
当$x=-3$时，$y=-2×(-3)+1=7$。
∴点P的坐标为$\boldsymbol{(3,-5)}$或$\boldsymbol{(-3,7)}$。
(3) 能。
若$\odot P$与x轴、y轴同时相切，则点P到x轴和y轴的距离相等，且都等于半径r，即$|x|=|y|$。
又∵点P在直线$y=-2x+1$上，分两种情况讨论：
① 当$x=y$时，代入$y=-2x+1$，得$x=-2x+1$，解得$x=\frac{1}{3}$，则$y=\frac{1}{3}$，符合要求；
② 当$x=-y$时，代入$y=-2x+1$，得$-x=-2x+1$，解得$x=1$，则$y=-1$，符合要求。
∴点P的坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},\frac{1}{3})}$或$\boldsymbol{(1,-1)}$。
解析
【分析】
本题为一次函数与圆相切的综合应用题，解题思路如下：首先，圆心P在直线$y=-2x+1$上，因此可设点P坐标为$(x,-2x+1)$；其次，根据圆与直线相切的性质：圆心到切线的距离等于半径，结合坐标轴的特征列方程：和x轴相切时，圆心到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，和y轴相切时等于横坐标的绝对值，同时和两坐标轴相切时横、纵坐标的绝对值相等；最后，解绝对值方程时需分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与x轴相切，半径为2，
∴点P到x轴的距离等于半径2，即$|-2x+1|=2$。
当$-2x+1=2$时，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时$y=2$；
当$-2x+1=-2$时，解得$x=\frac{3}{2}$，此时$y=-2$。
∴点P的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$或$(\frac{3}{2},-2)$。
(2) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与y轴相切，半径为3，
∴点P到y轴的距离等于半径3，即$|x|=3$。
当$x=3$时，$y=-2×3+1=-5$；
当$x=-3$时，$y=-2×(-3)+1=7$。
∴点P的坐标为$(3,-5)$或$(-3,7)$。
(3) 能，理由如下：
若$\odot P$与x轴、y轴同时相切，则点P到x轴和y轴的距离相等，且都等于半径r，即$|x|=|y|$。
又
∵点P在直线$y=-2x+1$上，分两种情况讨论：
① 当$x=y$时，代入$y=-2x+1$，得$x=-2x+1$，解得$x=\frac{1}{3}$，则$y=\frac{1}{3}$；
② 当$x=-y$时，代入$y=-2x+1$，得$-x=-2x+1$，解得$x=1$，则$y=-1$。
∴点P的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$或$(1,-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-\frac{1}{2},2)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-2)}$
(2) $\boldsymbol{(3,-5)}$或$\boldsymbol{(-3,7)}$
(3) 能，点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},\frac{1}{3})}$或$\boldsymbol{(1,-1)}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；一次函数图象上点的坐标特征；绝对值方程求解
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础常考题，解题核心是抓住“相切时圆心到切线的距离等于半径”这一性质，求解绝对值方程时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数与圆相切的综合应用题，解题思路如下：首先，圆心P在直线$y=-2x+1$上，因此可设点P坐标为$(x,-2x+1)$；其次，根据圆与直线相切的性质：圆心到切线的距离等于半径，结合坐标轴的特征列方程：和x轴相切时，圆心到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，和y轴相切时等于横坐标的绝对值，同时和两坐标轴相切时横、纵坐标的绝对值相等；最后，解绝对值方程时需分正负两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与x轴相切，半径为2，
∴点P到x轴的距离等于半径2，即$|-2x+1|=2$。
当$-2x+1=2$时，解得$x=-\frac{1}{2}$，此时$y=2$；
当$-2x+1=-2$时，解得$x=\frac{3}{2}$，此时$y=-2$。
∴点P的坐标为$(-\frac{1}{2},2)$或$(\frac{3}{2},-2)$。
(2) 设点P的坐标为$(x, -2x+1)$。
∵$\odot P$与y轴相切，半径为3，
∴点P到y轴的距离等于半径3，即$|x|=3$。
当$x=3$时，$y=-2×3+1=-5$；
当$x=-3$时，$y=-2×(-3)+1=7$。
∴点P的坐标为$(3,-5)$或$(-3,7)$。
(3) 能，理由如下：
若$\odot P$与x轴、y轴同时相切，则点P到x轴和y轴的距离相等，且都等于半径r，即$|x|=|y|$。
又
∵点P在直线$y=-2x+1$上，分两种情况讨论：
① 当$x=y$时，代入$y=-2x+1$，得$x=-2x+1$，解得$x=\frac{1}{3}$，则$y=\frac{1}{3}$；
② 当$x=-y$时，代入$y=-2x+1$，得$-x=-2x+1$，解得$x=1$，则$y=-1$。
∴点P的坐标为$(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$或$(1,-1)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-\frac{1}{2},2)}$或$\boldsymbol{(\frac{3}{2},-2)}$
(2) $\boldsymbol{(3,-5)}$或$\boldsymbol{(-3,7)}$
(3) 能，点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{1}{3},\frac{1}{3})}$或$\boldsymbol{(1,-1)}$
【知识点】
直线与圆相切的性质；一次函数图象上点的坐标特征；绝对值方程求解
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础常考题，解题核心是抓住“相切时圆心到切线的距离等于半径”这一性质，求解绝对值方程时注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
13. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C=60°$，点$O$为$BC$上一点，$OB=2$，$AC=3$，以$O$为圆心，$r$为半径的$\odot O$与$△ ABC$的一边相切，求$r$的值。
答案
解：
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，
∴ ∠B=30°，
∵ AC=3，
∴ BC=2AC=6，
∵ OB=2，
∴ OC=BC-OB=4。
分两种情况讨论：
1. 当⊙O与AB边相切时，
过点O作OD⊥AB于点D，
∵ OD⊥AB，AC⊥AB，
∴ OD//AC，
在Rt△OBD中，∠B=30°，OB=2，
∴ OD=OB·sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1，
此时r=OD=1。
2. 当⊙O与AC边相切时，
过点O作OE⊥AC于点E，
∵ OE⊥AC，AB⊥AC，
∴ OE//AB，
在Rt△OCE中，∠C=60°，OC=4，
∴ OE=OC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
此时r=OE=2$\sqrt{3}$。
综上，r的值为1或$2\sqrt{3}$。
在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=60°，
∴ ∠B=30°，
∵ AC=3，
∴ BC=2AC=6，
∵ OB=2，
∴ OC=BC-OB=4。
分两种情况讨论：
1. 当⊙O与AB边相切时，
过点O作OD⊥AB于点D，
∵ OD⊥AB，AC⊥AB，
∴ OD//AC，
在Rt△OBD中，∠B=30°，OB=2，
∴ OD=OB·sin30°=2×$\frac{1}{2}$=1，
此时r=OD=1。
2. 当⊙O与AC边相切时，
过点O作OE⊥AC于点E，
∵ OE⊥AC，AB⊥AC，
∴ OE//AB，
在Rt△OCE中，∠C=60°，OC=4，
∴ OE=OC·sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
此时r=OE=2$\sqrt{3}$。
综上，r的值为1或$2\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解题时首先利用直角三角形的内角和、30°角直角三角形的性质求出BC、OC的长度。由于⊙O在BC边上，和△ABC的边相切存在两种情况：与AB边相切、与AC边相切，需分类讨论。每种情况中，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，过O作对应边的垂线段，再利用三角函数求出垂线段长度即可得到r的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C=60°$，
$\therefore ∠ B=180°-90°-60°=30°$，
$\because AC=3$，30°角所对直角边等于斜边的一半，
$\therefore BC=2AC=6$，
又$\because OB=2$，
$\therefore OC=BC-OB=6-2=4$。
分两种情况讨论：
1. 当$\odot O$与AB边相切时，
过点O作$OD⊥ AB$于点D，根据切线的性质，OD即为$\odot O$的半径r，
$\because ∠ A=90°$即$AC⊥ AB$，$OD⊥ AB$，
$\therefore OD// AC$，
在$\mathrm{Rt}△OBD$中，$∠ B=30°$，$OB=2$，
$\therefore r=OD=OB· \sin30°=2× \frac{1}{2}=1$。
2. 当$\odot O$与AC边相切时，
过点O作$OE⊥ AC$于点E，根据切线的性质，OE即为$\odot O$的半径r，
$\because ∠ A=90°$即$AB⊥ AC$，$OE⊥ AC$，
$\therefore OE// AB$，
在$\mathrm{Rt}△OCE$中，$∠ C=60°$，$OC=4$，
$\therefore r=OE=OC· \sin60°=4× \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
综上，r的值为1或$2\sqrt{3}$。
【答案】
1或$2\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题解题关键是结合图形对圆的相切情况进行分类讨论，避免漏解，核心是理解“圆心到切线的距离等于半径”，再结合直角三角形的边角关系求解，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用直角三角形的内角和、30°角直角三角形的性质求出BC、OC的长度。由于⊙O在BC边上，和△ABC的边相切存在两种情况：与AB边相切、与AC边相切，需分类讨论。每种情况中，根据切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，过O作对应边的垂线段，再利用三角函数求出垂线段长度即可得到r的值。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C=60°$，
$\therefore ∠ B=180°-90°-60°=30°$，
$\because AC=3$，30°角所对直角边等于斜边的一半，
$\therefore BC=2AC=6$，
又$\because OB=2$，
$\therefore OC=BC-OB=6-2=4$。
分两种情况讨论：
1. 当$\odot O$与AB边相切时，
过点O作$OD⊥ AB$于点D，根据切线的性质，OD即为$\odot O$的半径r，
$\because ∠ A=90°$即$AC⊥ AB$，$OD⊥ AB$，
$\therefore OD// AC$，
在$\mathrm{Rt}△OBD$中，$∠ B=30°$，$OB=2$，
$\therefore r=OD=OB· \sin30°=2× \frac{1}{2}=1$。
2. 当$\odot O$与AC边相切时，
过点O作$OE⊥ AC$于点E，根据切线的性质，OE即为$\odot O$的半径r，
$\because ∠ A=90°$即$AB⊥ AC$，$OE⊥ AC$，
$\therefore OE// AB$，
在$\mathrm{Rt}△OCE$中，$∠ C=60°$，$OC=4$，
$\therefore r=OE=OC· \sin60°=4× \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
综上，r的值为1或$2\sqrt{3}$。
【答案】
1或$2\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形性质，切线的性质，解直角三角形
【点评】
本题解题关键是结合图形对圆的相切情况进行分类讨论，避免漏解，核心是理解“圆心到切线的距离等于半径”，再结合直角三角形的边角关系求解，属于基础几何综合题。
【难度系数】
0.6
