6. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O.有下列结论:
①$OA=OC$;②$∠ BAD=∠ BCD$;③$AC⊥ BD$;④平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中一定正确的个数是 ()

A.1
B.2
C.3
D.4

B

【分析】
解题时先回忆平行四边形的基本性质，以及轴对称、中心对称图形的定义，再逐一判断四个结论是否成立，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析各结论：
1. 平行四边形的对角线互相平分，对角线AC、BD交于点O，因此$OA=OC$，结论①正确；
2. 平行四边形的两组对角分别相等，$∠ BAD$和$∠ BCD$是平行四边形的一组对角，因此$∠ BAD=∠ BCD$，结论②正确；
3. 仅特殊的平行四边形（菱形、正方形）的对角线互相垂直，普通平行四边形对角线不具备垂直的性质，题目未说明ABCD是特殊平行四边形，因此结论③错误；
4. 平行四边形的对称中心是对角线交点，属于中心对称图形，但普通平行四边形没有对称轴，不属于轴对称图形，仅特殊平行四边形才同时是轴对称图形，因此结论④错误。
综上，正确的结论有①②共2个。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；轴对称图形；中心对称图形
【点评】
本题考查平行四边形的基础性质，解题时要注意区分普通平行四边形和特殊平行四边形的性质差异，不要将特殊图形的性质直接套用到普通图形上。
【难度系数】
0.7

7.如图,在小正三角形组成的网格中,有3个小正三角形被涂黑,请你再涂黑1个小正三角形,使它与原来被涂黑的小正三角形组成的新图案:
(1)是轴对称图形,不是中心对称图形(在图1中作);
(2)是中心对称图形,不是轴对称图形(在图2中作);
(3)既是轴对称图形,又是中心对称图形(在图3中作).

解：
答案不唯一，符合要求即可，参考作图方案如下：
(1) 在图1中，涂黑正六边形网格最顶端的空白小正三角形，所得新图案存在竖直过中心的对称轴，是轴对称图形，绕图形中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形。
(2) 在图2中，涂黑与原有左侧上方涂黑小正三角形关于正六边形中心成中心对称的空白小正三角形，所得新图案绕图形中心旋转180°后与自身重合，不存在对称轴，不是轴对称图形。
(3) 在图3中，涂黑正六边形网格最底端的空白小正三角形，所得新图案既存在竖直过中心的对称轴，绕图形中心旋转180°后也能与自身重合，既是轴对称图形，又是中心对称图形。

【分析】
解题前先明确两个核心定义：①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合；②中心对称图形：绕图形的中心旋转180°后，能与自身重合。
针对三个要求分别思考：
(1)要满足轴对称、非中心对称：先确定一条对称轴（比如竖直过正六边形中心的直线），选择对称轴附近的空白小三角形涂黑，保证对折后重合，同时旋转180°后无法重合即可；
(2)要满足中心对称、非轴对称：先找到已有涂黑三角形关于正六边形中心的对称点，涂黑该位置的空白三角形，保证旋转180°后重合，且不存在能让图形对折重合的直线；
(3)要同时满足轴对称和中心对称：选择的涂黑位置既要符合某条对称轴的对称要求，也要符合中心对称的旋转重合要求，保证两个性质都满足。
【解析】
我们分别按照定义验证操作：
(1) 图1中，涂黑正六边形网格最顶端的空白小正三角形：沿竖直过中心的直线对折，图案两侧完全重合，是轴对称图形；将图案绕中心旋转180°后，涂黑部分无法和原涂黑部分重合，因此不是中心对称图形，符合要求。
(2) 图2中，找到原有左侧上方涂黑小正三角形关于正六边形中心的中心对称位置，涂黑该位置的空白小正三角形：将图案绕中心旋转180°后，所有涂黑部分都能和原涂黑部分重合，是中心对称图形；不存在任何一条直线能让图案对折后两侧完全重合，因此不是轴对称图形，符合要求。
(3) 图3中，涂黑正六边形网格最底端的空白小正三角形：沿竖直过中心的直线对折，图案两侧完全重合，是轴对称图形；同时绕中心旋转180°后，涂黑部分也能和原涂黑部分重合，是中心对称图形，符合要求。
注：答案不唯一，只要满足对应性质的作图均正确。
【答案】
答案不唯一，参考方案如下：
(1) 涂黑图1正六边形最顶端的空白小正三角形；
(2) 涂黑图2中与左侧上方涂黑小正三角形关于中心对称的空白小正三角形；
(3) 涂黑图3正六边形最底端的空白小正三角形。
【知识点】
轴对称图形，中心对称图形，图案设计
【点评】
本题属于开放性作图题，核心考查对轴对称、中心对称图形概念的掌握，需要结合图形特征灵活选择作图位置，能有效锻炼空间想象能力和动手操作能力。
【难度系数】
0.7

8.正方形、长方形、线段、等边三角形和平行四边形这五种图形中，不是中心对称图形的是。

等边三角形

【分析】
解题时首先要明确中心对称图形的定义：在平面内，将一个图形绕某一个固定点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形。接下来我们依次对五种图形按照定义逐一判断即可得到答案。
【解析】
根据中心对称图形的定义逐一判断：
1. 正方形：绕其对角线的交点旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形；
2. 长方形：绕其对角线的交点旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形；
3. 线段：绕其中点旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形；
4. 等边三角形：无论绕哪个点旋转180°，都无法和原图形重合，不属于中心对称图形；
5. 平行四边形：绕其对角线的交点旋转180°后可与自身重合，属于中心对称图形。
因此不是中心对称图形的是等边三角形。
【答案】
等边三角形
【知识点】
1.中心对称图形的定义 2.常见几何图形的对称性
【点评】
本题是基础类题型，重点考查中心对称图形的识别，解题核心是准确掌握中心对称图形的判断标准，注意不要将轴对称图形和中心对称图形的性质混淆，等边三角形是典型的轴对称图形而非中心对称图形。
【难度系数】
0.8

9.如图，点A，B，C是格点，请用无刻度的直尺按要求在网格中作图，并标明字母.
(1)作四边形ABDC，使四边形ABDC为中心对称图形，且D为格点；
(2)以AC为边作四边形ACMN，使四边形ACMN既是中心对称图形，又是轴对称图形，且M，N均为格点.

解：
(1) 根据平行四边形是中心对称图形的性质，取格点D，使得$AB// CD$且$AB=CD$，连接$BD$、$CD$，得到的平行四边形$ABDC$即为所求中心对称图形，D为符合要求的格点。
(2) 根据正方形既是中心对称图形又是轴对称图形的性质，取格点M、N，使得四边形$ACMN$为以$AC$为边的正方形，依次连接各边，得到的四边形$ACMN$即为所求，M、N均为符合要求的格点。
注：两问作图结果均不唯一，满足对应要求即可。

【分析】
(1) 要构造中心对称的四边形ABDC，首先回忆中心对称四边形的常见类型，平行四边形属于中心对称图形，因此只需构造平行四边形ABDC即可。我们可以利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的性质，结合网格平移的特点，找到满足AB平行且等于CD的格点D，就能得到符合要求的图形。
(2) 要构造的四边形ACMN同时满足中心对称和轴对称，说明该四边形是特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形均符合该对称性要求），结合网格格点的特征，构造以AC为边的正方形更容易实现，先确定AC的长度和倾斜方向，找到与AC垂直且长度相等的边对应的格点，即可确定M、N的位置。两问答案均不唯一，满足对应性质即可。
【解析】
(1) 首先观察AB的位置，确定AB的平移规律：若将点B平移到点A，需向右平移2个单位，向上平移1个单位。将点C按照相同的平移规律移动，得到格点D，此时AB和CD平行且相等，连接BD、CD，得到平行四边形ABDC，平行四边形是中心对称图形，符合题目要求。
(2) 先分析AC的特征：设每个小方格的边长为1，AC的水平距离为4，竖直距离为2，长度为√(4²+2²)=√20，与AC垂直的线段的水平距离应为2，竖直距离应为4，长度同样为√20。从点C出发沿垂直于AC的方向找到格点M，再从点A出发沿相同方向找到格点N，依次连接A、C、M、N，得到正方形ACMN，正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题目要求。
注：两问作图方法不唯一，符合要求即可。
【答案】
(1) 根据平行四边形是中心对称图形的性质，取格点D，使得$AB// CD$且$AB=CD$，连接$BD$、$CD$，得到的平行四边形$ABDC$即为所求中心对称图形，D为符合要求的格点。
(2) 根据正方形既是中心对称图形又是轴对称图形的性质，取格点M、N，使得四边形$ACMN$为以$AC$为边的正方形，依次连接各边，得到的四边形$ACMN$即为所求，M、N均为符合要求的格点。
注：两问作图结果均不唯一，满足对应要求即可。
【知识点】
1. 中心对称图形
2. 轴对称图形
3. 特殊平行四边形的性质
【点评】
本题结合网格作图考查对图形对称性的理解与运用，需要熟练掌握平行四边形、正方形等特殊四边形的对称性特征，解题时可借助平移、找垂直线段等方法确定格点位置，题目开放性较强，能有效锻炼作图能力和知识灵活运用能力。
【难度系数】
0.7