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4. 如图,点C在数轴上且$AC:BC=1:5$,求点C对应的数. 
答案
分两种情况:(1) 点 C 在线段 AB 上,设$AC=x,BC=5x,x+5x=10+14,$解得$x=4$,点 C 对应的数是$-6.$ (2) 点 C 在 BA 的延长线上,设$AC=x,BC=5x$,则$5x-x=10+14,$解得$x=6$,点 C 对应的数是$-16.$ 综上所述,点 C 对应的数是$-6$ 或$-16.$
解析
【分析】
首先计算线段AB的长度，数轴上A对应-10，B对应14，可得AB的长为$14-(-10)=24$。题目未明确点C的位置，由$AC:BC=1:5$可知$AC＜BC$，因此排除C在AB延长线的情况（此时$AC＞BC$，不符合比例），只需分两种情况讨论：①点C在线段AB上，此时$AC+BC=AB$；②点C在BA的延长线上（即A的左侧），此时$BC-AC=AB$。分别设$AC=x$，$BC=5x$，根据两种情况的线段和差关系列方程求解，再结合A点对应的数计算C对应的数即可。
【解析】
先计算AB的长度：$AB = 14 - (-10) = 24$，由$AC:BC=1:5$，设$AC=x$，则$BC=5x$，分两种情况讨论：
(1) 当点C在线段AB上时，线段和满足$AC+BC=AB$，代入得：
$x + 5x = 24$
解得$x=4$
则点C对应的数为$-10 + 4 = -6$
(2) 当点C在BA的延长线上时，线段差满足$BC - AC = AB$，代入得：
$5x - x = 24$
解得$x=6$
则点C对应的数为$-10 - 6 = -16$
综上所述，点C对应的数为-6或-16。
【答案】
$-6$或$-16$
【知识点】
数轴的应用；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏点C在线段BA延长线上的情况，解题时若题目未明确点的位置，需结合已知的线段比例关系，全面考虑所有符合条件的点的位置，结合数轴的性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.6
首先计算线段AB的长度，数轴上A对应-10，B对应14，可得AB的长为$14-(-10)=24$。题目未明确点C的位置，由$AC:BC=1:5$可知$AC＜BC$，因此排除C在AB延长线的情况（此时$AC＞BC$，不符合比例），只需分两种情况讨论：①点C在线段AB上，此时$AC+BC=AB$；②点C在BA的延长线上（即A的左侧），此时$BC-AC=AB$。分别设$AC=x$，$BC=5x$，根据两种情况的线段和差关系列方程求解，再结合A点对应的数计算C对应的数即可。
【解析】
先计算AB的长度：$AB = 14 - (-10) = 24$，由$AC:BC=1:5$，设$AC=x$，则$BC=5x$，分两种情况讨论：
(1) 当点C在线段AB上时，线段和满足$AC+BC=AB$，代入得：
$x + 5x = 24$
解得$x=4$
则点C对应的数为$-10 + 4 = -6$
(2) 当点C在BA的延长线上时，线段差满足$BC - AC = AB$，代入得：
$5x - x = 24$
解得$x=6$
则点C对应的数为$-10 - 6 = -16$
综上所述，点C对应的数为-6或-16。
【答案】
$-6$或$-16$
【知识点】
数轴的应用；线段和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是遗漏点C在线段BA延长线上的情况，解题时若题目未明确点的位置，需结合已知的线段比例关系，全面考虑所有符合条件的点的位置，结合数轴的性质列方程求解即可。
【难度系数】
0.6
5. 如图，点A,B,C,D在同一直线上，已知$AB=\frac{1}{3}AC$，$BC=\frac{2}{3}CD$，且E,F分别是AC,BD的中点，若$EF=8$，求AF的长。
答案
设$AB=a,\because AB=\frac{1}{3}AC,\therefore AC=3a,BC=AC-AB=2a.$ 又$\because BC=\frac{2}{3}CD,\therefore CD=3a. \because E,F$ 分别是$AC,BD$ 的中点,$\therefore AE=CE=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}a,BF=DF=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}a,\therefore EF=AD-AE-DF=6a-\frac{3}{2}a-\frac{5}{2}a=2a=8,$解得$a=4,\therefore AF=AD-DF=6a-\frac{5}{2}a=\frac{7}{2}a=14.$
解析
【分析】
本题属于线段和差与中点性质的综合计算题，解题可按以下思路展开：首先观察已知的线段比例关系，选择最小线段AB设为参数a，将AC、BC、CD、AD等所有线段都用含a的式子表示；再结合线段中点的性质，表示出中点分线段得到的两条等长线段的长度；接着根据EF的已知长度，找到EF与参数a的等量关系建立方程，解出a的值；最后利用线段和差关系代入a的值求出AF的长度即可。
【解析】
解：设$ AB = a $，
∵ $ AB=\frac{1}{3}AC $，
∴ $ AC = 3AB = 3a $，
则 $ BC = AC - AB = 3a - a = 2a $，
又
∵ $ BC=\frac{2}{3}CD $，
∴ $ CD = \frac{3}{2}BC = \frac{3}{2}×2a = 3a $，
因此整条线段长 $ AD = AB + BC + CD = a + 2a + 3a = 6a $，
∵ E是AC的中点，
∴ $ AE = CE = \frac{1}{2}AC = \frac{3}{2}a $，
∵ F是BD的中点，且 $ BD = BC + CD = 2a + 3a = 5a $，
∴ $ BF = DF = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{2}a $，
由线段的和差关系可得：$ EF = AD - AE - DF $，代入得：
$ EF = 6a - \frac{3}{2}a - \frac{5}{2}a = 2a $，
已知$ EF = 8 $，
∴ $ 2a = 8 $，解得 $ a = 4 $，
则 $ AF = AD - DF = 6a - \frac{5}{2}a = \frac{7}{2}a $，
将$ a=4 $代入得：$ AF = \frac{7}{2}×4 = 14 $。
【答案】
$\boxed{14}$
【知识点】
线段中点定义、线段和差运算、参数法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型常规题，核心方法是通过设参数将所有线段统一为同一字母的表达式，结合中点性质和线段的位置关系建立等量关系求解，解题时需注意梳理清楚各线段的位置关系，避免和差运算出错。
【难度系数】
0.6
本题属于线段和差与中点性质的综合计算题，解题可按以下思路展开：首先观察已知的线段比例关系，选择最小线段AB设为参数a，将AC、BC、CD、AD等所有线段都用含a的式子表示；再结合线段中点的性质，表示出中点分线段得到的两条等长线段的长度；接着根据EF的已知长度，找到EF与参数a的等量关系建立方程，解出a的值；最后利用线段和差关系代入a的值求出AF的长度即可。
【解析】
解：设$ AB = a $，
∵ $ AB=\frac{1}{3}AC $，
∴ $ AC = 3AB = 3a $，
则 $ BC = AC - AB = 3a - a = 2a $，
又
∵ $ BC=\frac{2}{3}CD $，
∴ $ CD = \frac{3}{2}BC = \frac{3}{2}×2a = 3a $，
因此整条线段长 $ AD = AB + BC + CD = a + 2a + 3a = 6a $，
∵ E是AC的中点，
∴ $ AE = CE = \frac{1}{2}AC = \frac{3}{2}a $，
∵ F是BD的中点，且 $ BD = BC + CD = 2a + 3a = 5a $，
∴ $ BF = DF = \frac{1}{2}BD = \frac{5}{2}a $，
由线段的和差关系可得：$ EF = AD - AE - DF $，代入得：
$ EF = 6a - \frac{3}{2}a - \frac{5}{2}a = 2a $，
已知$ EF = 8 $，
∴ $ 2a = 8 $，解得 $ a = 4 $，
则 $ AF = AD - DF = 6a - \frac{5}{2}a = \frac{7}{2}a $，
将$ a=4 $代入得：$ AF = \frac{7}{2}×4 = 14 $。
【答案】
$\boxed{14}$
【知识点】
线段中点定义、线段和差运算、参数法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型常规题，核心方法是通过设参数将所有线段统一为同一字母的表达式，结合中点性质和线段的位置关系建立等量关系求解，解题时需注意梳理清楚各线段的位置关系，避免和差运算出错。
【难度系数】
0.6
6. 如图，E是线段AB的中点，C是EB上一点，$AC=12$.
（1）若F为CB的中点，且$BC=4$，求EF的长；
（2）若$EC:CB=1:4$，求AB的长.
（1）若F为CB的中点，且$BC=4$，求EF的长；
（2）若$EC:CB=1:4$，求AB的长.
答案
(1) 6 (2) 因为$EC:CB=1:4$,设$EC=x$,则$CB=4x$,因为 E 是线段 AB 的中点,所以$AE=BE$,所以$AE=5x,AC=6x=12$,解得$x=2$,所以$AB=10x=20.$
解析
【分析】
（1）先根据线段中点的定义求出CF的长度，再结合已知AC和BC的长度求出AB的总长，利用E是AB中点求出AE的长度，进而计算EC的长度，最后根据EF=EC+CF即可求出EF的长。
（2）遇到线段比例关系时，先设未知数表示各段线段长度，结合E是AB中点得到AE与BE相等，用含未知数的式子表示出AC的长度，再根据AC=12列方程求出未知数的值，最后计算AB的总长度。
【解析】
（1）解：
∵ F是CB的中点，BC=4，
∴ $CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
∵ $AC=12$，$BC=4$，
∴ $AB=AC+BC=12+4=16$。
∵ E是AB的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
∴ $EC=AC-AE=12-8=4$。
∴ $EF=EC+CF=4+2=6$。
（2）解：
∵ $EC:CB=1:4$，设$EC=x$，则$CB=4x$，
∴ $EB=EC+CB=x+4x=5x$。
∵ E是线段AB的中点，
∴ $AE=EB=5x$，
∴ $AC=AE+EC=5x+x=6x$。
又
∵ $AC=12$，
∴ $6x=12$，解得$x=2$，
∴ $AB=2AE=2×5x=10x=10×2=20$。
【答案】
（1）$\boxed{6}$；（2）$\boxed{20}$
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、比例的应用
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，核心考查线段中点的性质和线段和差的计算方法，解题的关键是结合图形理清各线段的位置和数量关系，遇到比例类线段问题时用设未知数的方法可快速梳理关系、简化计算。
【难度系数】
0.75
（1）先根据线段中点的定义求出CF的长度，再结合已知AC和BC的长度求出AB的总长，利用E是AB中点求出AE的长度，进而计算EC的长度，最后根据EF=EC+CF即可求出EF的长。
（2）遇到线段比例关系时，先设未知数表示各段线段长度，结合E是AB中点得到AE与BE相等，用含未知数的式子表示出AC的长度，再根据AC=12列方程求出未知数的值，最后计算AB的总长度。
【解析】
（1）解：
∵ F是CB的中点，BC=4，
∴ $CF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
∵ $AC=12$，$BC=4$，
∴ $AB=AC+BC=12+4=16$。
∵ E是AB的中点，
∴ $AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16=8$。
∴ $EC=AC-AE=12-8=4$。
∴ $EF=EC+CF=4+2=6$。
（2）解：
∵ $EC:CB=1:4$，设$EC=x$，则$CB=4x$，
∴ $EB=EC+CB=x+4x=5x$。
∵ E是线段AB的中点，
∴ $AE=EB=5x$，
∴ $AC=AE+EC=5x+x=6x$。
又
∵ $AC=12$，
∴ $6x=12$，解得$x=2$，
∴ $AB=2AE=2×5x=10x=10×2=20$。
【答案】
（1）$\boxed{6}$；（2）$\boxed{20}$
【知识点】
线段中点定义、线段和差计算、比例的应用
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，核心考查线段中点的性质和线段和差的计算方法，解题的关键是结合图形理清各线段的位置和数量关系，遇到比例类线段问题时用设未知数的方法可快速梳理关系、简化计算。
【难度系数】
0.75
7. 如图，A,B,C,D四点在同一条直线上.
（1）若AB=CD.
① 比较线段的大小:AC
② 若$BC=\frac{3}{4}AC$,且$AC=16\ \mathrm{cm}$,则AD的长为
（2）若线段AD被点B,C分成了$2:3:4$三部分,且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18 cm,求AD的长.
（1）若AB=CD.
① 比较线段的大小:AC
=
BD(填“＞”“＜”或“=”);② 若$BC=\frac{3}{4}AC$,且$AC=16\ \mathrm{cm}$,则AD的长为
20
$\mathrm{cm}$;（2）若线段AD被点B,C分成了$2:3:4$三部分,且AB的中点M和CD的中点N之间的距离是18 cm,求AD的长.
答案
(1) ① = ② 20 (2) 27 cm
解析
【分析】
（1）① 要比较AC和BD的大小，观察线段组成可知AC=AB+BC，BD=BC+CD，已知AB=CD，根据等式性质，两边同时加相同线段BC，等式仍然成立，即可得到二者的大小关系；
（1）② 先根据AC的长度和BC与AC的数量关系算出BC的长度，再用AC减BC得到AB的长度，结合AB=CD得到CD的长度，最后根据AD=AC+CD代入数值计算即可；
（2）题目给出线段AD被分成2:3:4三部分，可采用设参数的方法，设每份长度为x，分别表示出AB、BC、CD的长度，再根据中点的性质表示出MB、CN的长度，由MN=MB+BC+CN=18cm列方程求出x，最后计算AD的总长度即可。
【解析】
（1）① 因为AB=CD，根据等式的性质，两边同时加BC可得：AB+BC=CD+BC，即AC=BD，故填“=”；
② 已知AC=16cm，$BC=\frac{3}{4}AC$，则$BC=\frac{3}{4}×16=12\mathrm{cm}$，因此AB=AC-BC=16-12=4cm，又因为AB=CD，所以CD=4cm，故AD=AC+CD=16+4=20cm；
（2）解：设AB=2x cm，BC=3x cm，CD=4x cm，则AD=2x+3x+4x=9x cm。
因为M是AB的中点，所以$MB=\frac{1}{2}AB=x$cm；
因为N是CD的中点，所以$CN=\frac{1}{2}CD=2x$cm；
由题意得MN=MB+BC+CN=x+3x+2x=6x=18，
解得x=3，
所以AD=9x=9×3=27cm。
【答案】
(1) ① = ② 20；(2) 27 cm
【知识点】
线段的和差运算、线段中点的性质、比例线段计算
【点评】
本题是线段运算的常规题型，既考察了线段和差、中点的基础应用，也考察了用设参法解决比例类线段问题的能力，解题时注意结合图形理清各线段之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.7
（1）① 要比较AC和BD的大小，观察线段组成可知AC=AB+BC，BD=BC+CD，已知AB=CD，根据等式性质，两边同时加相同线段BC，等式仍然成立，即可得到二者的大小关系；
（1）② 先根据AC的长度和BC与AC的数量关系算出BC的长度，再用AC减BC得到AB的长度，结合AB=CD得到CD的长度，最后根据AD=AC+CD代入数值计算即可；
（2）题目给出线段AD被分成2:3:4三部分，可采用设参数的方法，设每份长度为x，分别表示出AB、BC、CD的长度，再根据中点的性质表示出MB、CN的长度，由MN=MB+BC+CN=18cm列方程求出x，最后计算AD的总长度即可。
【解析】
（1）① 因为AB=CD，根据等式的性质，两边同时加BC可得：AB+BC=CD+BC，即AC=BD，故填“=”；
② 已知AC=16cm，$BC=\frac{3}{4}AC$，则$BC=\frac{3}{4}×16=12\mathrm{cm}$，因此AB=AC-BC=16-12=4cm，又因为AB=CD，所以CD=4cm，故AD=AC+CD=16+4=20cm；
（2）解：设AB=2x cm，BC=3x cm，CD=4x cm，则AD=2x+3x+4x=9x cm。
因为M是AB的中点，所以$MB=\frac{1}{2}AB=x$cm；
因为N是CD的中点，所以$CN=\frac{1}{2}CD=2x$cm；
由题意得MN=MB+BC+CN=x+3x+2x=6x=18，
解得x=3，
所以AD=9x=9×3=27cm。
【答案】
(1) ① = ② 20；(2) 27 cm
【知识点】
线段的和差运算、线段中点的性质、比例线段计算
【点评】
本题是线段运算的常规题型，既考察了线段和差、中点的基础应用，也考察了用设参法解决比例类线段问题的能力，解题时注意结合图形理清各线段之间的数量关系即可。
【难度系数】
0.7
