10. 已知线段$CD$，延长$CD$到点$B$，使$DB=\frac{1}{2}CD$，再反向延长$CD$到点$A$，使$AC=CD$，若$AB=10\ \mathrm{cm}$，则$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}.$

4 解析:设$DB=x\ \mathrm{cm}$,则$CD=2x\ \mathrm{cm}$,$AC=2x\ \mathrm{cm}$,则$x+2x+2x=10$,$x=2$.$CD=4\ \mathrm{cm}.$

【分析】
这是一道线段长度计算的题目，解题时可先梳理各点的位置顺序：从左到右依次为A、C、D、B，线段AB由AC、CD、DB三段拼接而成。题目给出了不同线段之间的倍数关系，适合用设未知数列方程的方法求解：先把最短的线段DB设为未知数，再用含未知数的式子表示出CD、AC的长度，最后根据AB的总长度列方程计算即可。
【解析】
解：设$DB=x\ \mathrm{cm}$，
∵$DB=\frac{1}{2}CD$，
∴$CD=2x\ \mathrm{cm}$，
又
∵$AC=CD$，
∴$AC=2x\ \mathrm{cm}$，
由线段的和差关系可得：$AB=AC+CD+DB$，
将$AB=10\ \mathrm{cm}$及各段长度代入得：
$2x+2x+x=10$
合并同类项得$5x=10$，
解得$x=2$，
∴$CD=2x=2×2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
4
【知识点】
线段的和差运算；一元一次方程的应用；线段的延长线
【点评】
本题是线段运算的常规题型，解题核心是准确梳理各线段的位置与数量关系，借助方程思想把几何计算转化为代数方程求解，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.8

11. 如图，线段AB表示一条绳子，现从点P处将绳子剪成两段，其中一段长为30 cm.

（1）若P为AB的中点，则剪断前的绳长为 cm；
（2）若AP=$\frac{3}{5}$BP，则剪断前的绳长为 cm.

(1) 60 (2) 48 或 80

【分析】
（1）第一问已知P是AB的中点，根据线段中点的性质，中点将线段分成长度相等的两段，即AB=2AP=2BP，已知其中一段长30cm，直接乘2即可得到总绳长。
（2）第二问给出了AP和BP的比例关系，但未说明30cm是AP还是BP的长度，因此需要分类讨论：①AP长30cm；②BP长30cm，先根据比例关系分别求出两段线段的长度，再求和即可得到总绳长。
【解析】
（1）
∵P为AB的中点
∴AB=2AP=2BP
已知剪断后其中一段长为30cm，因此AB=2×30=60（cm）
（2）设BP的长度为x cm，由AP=$\frac{3}{5}$BP，可得AP=$\frac{3}{5}x$ cm
总绳长AB=AP+BP=$\frac{3}{5}x + x = \frac{8}{5}x$ cm
分两种情况讨论：
①若AP=30cm，即$\frac{3}{5}x=30$，解得$x=50$
此时AB=$\frac{8}{5}×50=80$（cm）
②若BP=30cm，即$x=30$
此时AB=$\frac{8}{5}×30=48$（cm）
综上，剪断前绳长为48cm或80cm。
【答案】
（1）60；（2）48或80
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，第一问直接考查线段中点的性质，难度较低；第二问需要注意题干未明确30cm对应的线段，需分类计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7

1. 已知线段$AB$，延长$AB$至点$C$，使$BC=\frac{1}{3}AB$，$D$是线段$AC$的中点.
（1）若$DC=2$，则求$BD$的长；
（2）试探究线段$BD$，$BC$间的数量关系，并说明理由.

(1) $\because BC=\frac{1}{3}AB,\therefore AB=3BC,\therefore AC=AB+BC=3BC+BC=4BC. \because D$ 是线段$AC$的中点,$DC=2,\therefore AD=DC=2,\therefore AC=AD+DC=2+2=4,\therefore 4BC=4,\therefore BC=1,\therefore BD=DC-BC=2-1=1.$ (2) $BD=BC$.理由如下：由(1)可知,$AC=4BC. \because D$ 是线段$AC$的中点,$\therefore AD=DC=\frac{1}{2}AC. \because BD+BC=DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4BC=2BC,\therefore BD=BC.$

【分析】
（1）解题时首先利用线段中点的性质，结合已知DC的长度求出AC的总长；再根据BC和AB的比例关系，将AC转化为用BC表示的式子，求出BC的长度；最后根据线段的和差关系，用DC减去BC即可得到BD的长度。
（2）探究BD和BC的数量关系时，先沿用第一问的推导思路，将AC用BC表示，再结合中点性质得到DC与BC的关系，最后通过DC=BD+BC的和差关系，化简即可得到二者的数量关系。
【解析】
(1) 解：$\because BC=\frac{1}{3}AB$，$\therefore AB=3BC$，
$\therefore AC=AB+BC=3BC+BC=4BC$。
$\because D$是线段$AC$的中点，$DC=2$，
$\therefore AD=DC=2$，$AC=AD+DC=2+2=4$，
$\therefore 4BC=4$，解得$BC=1$，
$\therefore BD=DC-BC=2-1=1$。
(2) 线段$BD$和$BC$的数量关系为$BD=BC$，理由如下：
由(1)可得$AC=4BC$，
$\because D$是线段$AC$的中点，
$\therefore DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4BC=2BC$，
又$\because DC=BD+BC$，
$\therefore BD+BC=2BC$，
$\therefore BD=BC$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{BD=BC}$
【知识点】
线段中点定义，线段和差运算，线段数量关系探究
【点评】
本题属于线段计算的基础题型，解题核心是通过已知的线段比例关系和中点性质，将不同线段用同一基准线段表示，再结合线段的和差关系求解或推导结论，用代数思路表示线段长度可以更清晰梳理各线段的关联，降低解题难度。
【难度系数】
0.8

2. 如图，A,B,C,D四点在同一直线上，B是AC的中点，AC=2x−y，BD=3x+2y. 求：
（1）AD两点间的距离（用含x,y的代数式表示）；
（2）若CD两点间的距离为20，y=5，求x的值.

(1) $AB=\frac{2x-y}{2}=x-\frac{1}{2}y,AD=x-\frac{1}{2}y+3x+2y=4x+\frac{3}{2}y.$ (2) $CD=3x+2y-(x-\frac{1}{2}y)=2x+\frac{5}{2}y,\therefore 2x+\frac{5}{2}×5=20,$解得$x=\frac{15}{4}.$

【分析】
（1）要求AD的距离，观察线段图可知AD可拆分为AB与BD的和，其中BD的表达式已知，因此只需先求出AB的长度。已知B是AC的中点，根据线段中点的性质，AB等于AC的一半，代入AC的代数式即可算出AB，再将AB与BD的代数式合并同类项，就能得到AD的表达式。
（2）要求x的值，已知CD=20、y=5，首先要得到CD的代数式：观察线段可知CD=BD-BC，BC和AB长度相等（中点性质），代入对应代数式化简得到CD关于x、y的表达式，再将已知数值代入列一元一次方程，解方程即可求出x的值。
【解析】
（1）
∵B是AC的中点，$AC=2x-y$
∴$AB=BC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(2x-y)=x-\frac{1}{2}y$
又
∵$BD=3x+2y$，$AD=AB+BD$
∴$AD=(x-\frac{1}{2}y)+(3x+2y)=4x+\frac{3}{2}y$
（2）
∵$CD=BD-BC$
代入$BD=3x+2y$，$BC=x-\frac{1}{2}y$得：
$CD=(3x+2y)-(x-\frac{1}{2}y)=2x+\frac{5}{2}y$
已知$CD=20$，$y=5$，代入上式得：
$2x+\frac{5}{2}×5=20$
即$2x+\frac{25}{2}=20$
移项计算得$2x=20-\frac{25}{2}=\frac{15}{2}$
解得$x=\frac{15}{4}$
【答案】
（1）$4x+\frac{3}{2}y$；（2）$x=\frac{15}{4}$
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；一元一次方程的解法
【点评】
本题是线段运算的基础题型，核心是结合图形理清各线段之间的和差关系，结合中点性质将未知线段用已知代数式表示，第二问通过建立方程求解参数，只要能准确识别线段关系就能顺利解题。
【难度系数】
0.75

3. 如图,已知 C 为线段 AB 上一点,D,E 分别是 AC,AB 的中点.
(1) 当 AB=20 cm,BC=8 cm,求 AD 的长度;
(2) 若 AD=5 cm,CE=$\frac{1}{3}$BC,求 CE 的长度.

(1) $\because AB=20\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm},\therefore AC=AB-BC=20-8=12(\mathrm{cm}).$ 又$\because D$ 是$AC$的中点,$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm}).$ (2) $\because CE=\frac{1}{3}BC,\therefore BC=3CE,\therefore BE=BC+CE=3CE+CE=4CE. \because E$ 是$AB$的中点,$\therefore AE=BE=4CE. \because AD=5\ \mathrm{cm},D$ 是$AC$的中点,$\therefore AC=2AD=2×5=10(\mathrm{cm}). \because AC=AE+CE,\therefore 10=4CE+CE,$解得$CE=2(\mathrm{cm}).$

【分析】
(1) 要求AD的长度，已知D是AC的中点，根据中点性质，AD是AC的一半，因此需要先求出AC的长度。已知AB和BC的长度，根据线段和差关系，AC=AB-BC，代入数值算出AC后即可求出AD。
(2) 要求CE的长度，已知AD的长度和D是AC的中点，可先求出AC的总长。结合CE和BC的倍数关系，将BE、AE都用CE表示，再根据E是AB中点得到AE=BE，最后利用AC=AE+CE建立等式，解方程即可求出CE的长度。
【解析】
(1) $\because AB=20\ \mathrm{cm},BC=8\ \mathrm{cm}$，根据线段差的运算可得：
$AC=AB-BC=20-8=12(\mathrm{cm})$
又$\because D$是$AC$的中点，根据线段中点的性质：
$\therefore AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6(\mathrm{cm})$
(2) $\because CE=\frac{1}{3}BC$，$\therefore BC=3CE$，因此：
$BE=BC+CE=3CE+CE=4CE$
$\because E$是$AB$的中点，根据线段中点的性质，$\therefore AE=BE=4CE$
$\because AD=5\ \mathrm{cm},D$是$AC$的中点，因此：
$AC=2AD=2×5=10(\mathrm{cm})$
又$\because AC=AE+CE$，将$AE=4CE$、$AC=10\mathrm{cm}$代入得：
$10=4CE+CE$
解得$CE=2(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $\boxed{6\ \mathrm{cm}}$；(2) $\boxed{2\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
线段中点性质，线段和差运算，线段长度求解
【点评】
本题是线段运算的常规题型，侧重考察线段中点性质的应用和线段和差关系的转化，第二问需要将相关线段用同一未知量表示，通过建立等量关系求解，理清线段间的数量关系是解题的核心。
【难度系数】
0.8