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10. 已知关于$x$的方程$-x+2=2(x-k)$与$2x+1=x+2$的解互为倒数，求$k$的值.
答案
10. $k=\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先求解不含参数的方程$2x+1=x+2$，得到它的解；第二步，根据两个方程的解互为倒数的关系，求出方程$-x+2=2(x-k)$的解；第三步，将求得的解代入含参数$k$的方程，解关于$k$的一元一次方程即可得到$k$的值。
【解析】
1. 解方程$2x+1=x+2$：
移项，得$2x - x = 2 - 1$，
合并同类项，得$x=1$。
2. 因为两个方程的解互为倒数，1的倒数为1，所以方程$-x+2=2(x-k)$的解为$x=1$。
3. 将$x=1$代入$-x+2=2(x-k)$，得：
$\begin{aligned}-1 + 2 &= 2(1 - k)\\1&=2(1 - k)\\\dfrac{1}{2}&=1 - k\\k&=1 - \dfrac{1}{2}\\k&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$k=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次方程、倒数的定义、方程的解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，解题核心是先求出不含参数的方程的解，再利用倒数性质得到含参方程的解，最后代入求参数，是一元一次方程章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步，先求解不含参数的方程$2x+1=x+2$，得到它的解；第二步，根据两个方程的解互为倒数的关系，求出方程$-x+2=2(x-k)$的解；第三步，将求得的解代入含参数$k$的方程，解关于$k$的一元一次方程即可得到$k$的值。
【解析】
1. 解方程$2x+1=x+2$：
移项，得$2x - x = 2 - 1$，
合并同类项，得$x=1$。
2. 因为两个方程的解互为倒数，1的倒数为1，所以方程$-x+2=2(x-k)$的解为$x=1$。
3. 将$x=1$代入$-x+2=2(x-k)$，得：
$\begin{aligned}-1 + 2 &= 2(1 - k)\\1&=2(1 - k)\\\dfrac{1}{2}&=1 - k\\k&=1 - \dfrac{1}{2}\\k&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$k=\dfrac{1}{2}$
【知识点】
解一元一次方程、倒数的定义、方程的解的应用
【点评】
本题属于一元一次方程的基础综合题，解题核心是先求出不含参数的方程的解，再利用倒数性质得到含参方程的解，最后代入求参数，是一元一次方程章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
11. 在做解方程练习时，试卷中有一个方程“$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y + ■$”中的■没印清晰，小聪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当$x=2$时代数式$5(x - 1) - 2(x - 2) - 4$的值相同.”小聪很快补上了这个常数.同学们，你们能补上这个常数吗？
答案
11. 当$x=2$时代数式$5(x-1)-2(x-2)-4=5x-5-2x+4-4=3x-5=3×2-5=1$,即$y=1$,代入方程中得,$2×1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}×1+■$,解得$■=1$. 即这个常数是1.
解析
【分析】要确定■代表的常数，首先需要求出方程的解y的值。根据题意，该方程的解等于x=2时代数式5(x-1)-2(x-2)-4的值，因此第一步先计算x=2时对应代数式的取值，得到y的值；再将y代入含未知常数的方程，即可求出■的数值。
【解析】
第一步：计算x=2时代数式的值
当x=2时，
$\begin{aligned}5(x-1)-2(x-2)-4&=5x-5-2x+4-4\\&=3x-5\\&=3×2 -5\\&=1\end{aligned}$
即方程的解为$y=1$。
第二步：将$y=1$代入方程求■
把$y=1$代入$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y + ■$得：
$2×1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}×1 + ■$
计算左边得$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，右边为$\frac{1}{2}+■$
因此$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+■$，解得$■=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题结合代数式求值与一元一次方程的知识进行考查，解题关键是先根据已知条件求出方程的解，再代入求解未知常数，侧重对基础运算能力和逻辑推理能力的考查，整体思路清晰。
【难度系数】
0.8
【解析】
第一步：计算x=2时代数式的值
当x=2时，
$\begin{aligned}5(x-1)-2(x-2)-4&=5x-5-2x+4-4\\&=3x-5\\&=3×2 -5\\&=1\end{aligned}$
即方程的解为$y=1$。
第二步：将$y=1$代入方程求■
把$y=1$代入$2y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}y + ■$得：
$2×1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}×1 + ■$
计算左边得$2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，右边为$\frac{1}{2}+■$
因此$\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+■$，解得$■=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
代数式求值；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题结合代数式求值与一元一次方程的知识进行考查，解题关键是先根据已知条件求出方程的解，再代入求解未知常数，侧重对基础运算能力和逻辑推理能力的考查，整体思路清晰。
【难度系数】
0.8
12. 数学老师在黑板上书写了一个正确演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
+ $(-2x^2 + \frac{3}{4}x -5) = -2x^2 + \frac{1}{4}x -3$.
（1）求手捂住的多项式；
（2）若$x$满足方程$3x -5 = -x +3$，求手捂住的多项式的值；
（3）若手捂住的多项式的值与多项式$-\frac{1}{2}x +1$的值互为相反数，请求$x$的值.
+ $(-2x^2 + \frac{3}{4}x -5) = -2x^2 + \frac{1}{4}x -3$.（1）求手捂住的多项式；
（2）若$x$满足方程$3x -5 = -x +3$，求手捂住的多项式的值；
（3）若手捂住的多项式的值与多项式$-\frac{1}{2}x +1$的值互为相反数，请求$x$的值.
答案
12. (1) $-2x^2+\dfrac{1}{4}x-3-(-2x^2+\dfrac{3}{4}x-5)=-2x^2+\dfrac{1}{4}x-3+2x^2-\dfrac{3}{4}x+5=-\dfrac{1}{2}x+2$,即手捂住的多项式为$-\dfrac{1}{2}x+2$.
(2) $3x-5=-x+3$,解得$x=2$,则$-\dfrac{1}{2}x+2=-\dfrac{1}{2}×2+2=1$.
(3) $\because$手捂住的多项式的值与多项式$-\dfrac{1}{2}x+1$的值互为相反数,$\therefore -\dfrac{1}{2}x+2-\dfrac{1}{2}x+1=0$,解得$x=3$.
(2) $3x-5=-x+3$,解得$x=2$,则$-\dfrac{1}{2}x+2=-\dfrac{1}{2}×2+2=1$.
(3) $\because$手捂住的多项式的值与多项式$-\dfrac{1}{2}x+1$的值互为相反数,$\therefore -\dfrac{1}{2}x+2-\dfrac{1}{2}x+1=0$,解得$x=3$.
解析
【分析】
（1）已知两个多项式的和以及其中一个加数，求捂住的多项式，只需用和减去已知的加数即可，计算时遵循去括号法则、合并同类项规则即可得到结果；
（2）先求解给定的一元一次方程得到x的值，再将x代入第（1）问求出的多项式中计算即可；
（3）根据互为相反数的两个数和为0，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的取值。
【解析】
（1）根据题意，捂住的多项式为：
$\begin{aligned}&-2x^2+\frac{1}{4}x-3-(-2x^2+\frac{3}{4}x-5)\\=&-2x^2+\frac{1}{4}x-3+2x^2-\frac{3}{4}x+5\\=&-\frac{1}{2}x+2\end{aligned}$
（2）解方程$3x-5=-x+3$：
移项得$3x+x=3+5$，
合并同类项得$4x=8$，
系数化为1得$x=2$，
将$x=2$代入$-\frac{1}{2}x+2$得：
$-\frac{1}{2}×2+2=1$。
（3）由互为相反数的两数和为0，可列方程：
$(-\frac{1}{2}x+2)+(-\frac{1}{2}x+1)=0$，
合并同类项得$-x+3=0$，
解得$x=3$。
【答案】
（1）$-\dfrac{1}{2}x+2$；
（2）$1$；
（3）$3$
【知识点】
整式的加减，解一元一次方程，相反数的性质
【点评】
本题是基础综合题，结合了整式运算与一元一次方程的相关知识点，解题时注意去括号的符号变化，认真计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
（1）已知两个多项式的和以及其中一个加数，求捂住的多项式，只需用和减去已知的加数即可，计算时遵循去括号法则、合并同类项规则即可得到结果；
（2）先求解给定的一元一次方程得到x的值，再将x代入第（1）问求出的多项式中计算即可；
（3）根据互为相反数的两个数和为0，列出关于x的一元一次方程，解方程即可得到x的取值。
【解析】
（1）根据题意，捂住的多项式为：
$\begin{aligned}&-2x^2+\frac{1}{4}x-3-(-2x^2+\frac{3}{4}x-5)\\=&-2x^2+\frac{1}{4}x-3+2x^2-\frac{3}{4}x+5\\=&-\frac{1}{2}x+2\end{aligned}$
（2）解方程$3x-5=-x+3$：
移项得$3x+x=3+5$，
合并同类项得$4x=8$，
系数化为1得$x=2$，
将$x=2$代入$-\frac{1}{2}x+2$得：
$-\frac{1}{2}×2+2=1$。
（3）由互为相反数的两数和为0，可列方程：
$(-\frac{1}{2}x+2)+(-\frac{1}{2}x+1)=0$，
合并同类项得$-x+3=0$，
解得$x=3$。
【答案】
（1）$-\dfrac{1}{2}x+2$；
（2）$1$；
（3）$3$
【知识点】
整式的加减，解一元一次方程，相反数的性质
【点评】
本题是基础综合题，结合了整式运算与一元一次方程的相关知识点，解题时注意去括号的符号变化，认真计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
13. 《九章算术》是我国古代的第一部自成体系的数学专著，其中的许多数学问题是世界上记载最早的，其中有一道“盈不足术”的问题：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数几何？译文为现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还多余3元；每人出7元，还差4元。共有几人？
答案
13. 设共有$x$人,由题意,得$8x-3=7x+4$,解得$x=7$.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题的核心是找到题目中的不变量——物品的总价。我们可以先设共有x人，分别用两种出钱的情况表示出物品的总价：每人出8元时多3元，总价就是总出钱数减去多余的3元；每人出7元时差4元，总价就是总出钱数加上还差的4元。再根据两种方式计算出的总价相等列出方程，求解方程即可得到人数。
【解析】
解：设共有$x$人，根据物品总价不变列方程：
$8x-3=7x+4$
移项，得：
$8x-7x=4+3$
合并同类项，得：
$x=7$
【答案】
共有7人
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
3. 找等量关系列方程
【点评】
本题以我国古代数学典籍《九章算术》的“盈不足术”问题为背景，渗透了传统数学文化，考查学生将实际问题转化为数学方程的能力，解题的关键是抓住物品总价不变这一隐含等量关系。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题的核心是找到题目中的不变量——物品的总价。我们可以先设共有x人，分别用两种出钱的情况表示出物品的总价：每人出8元时多3元，总价就是总出钱数减去多余的3元；每人出7元时差4元，总价就是总出钱数加上还差的4元。再根据两种方式计算出的总价相等列出方程，求解方程即可得到人数。
【解析】
解：设共有$x$人，根据物品总价不变列方程：
$8x-3=7x+4$
移项，得：
$8x-7x=4+3$
合并同类项，得：
$x=7$
【答案】
共有7人
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 解一元一次方程
3. 找等量关系列方程
【点评】
本题以我国古代数学典籍《九章算术》的“盈不足术”问题为背景，渗透了传统数学文化，考查学生将实际问题转化为数学方程的能力，解题的关键是抓住物品总价不变这一隐含等量关系。
【难度系数】
0.8
