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8.代数式$5m+\frac{1}{4}$与$5(m-\frac{1}{4})$的值互为相反数，则$m$的值等于
$\frac{1}{10}$
.答案
8. $\frac{1}{10}$
解析
【分析】
本题可根据相反数的性质建立方程求解。首先明确互为相反数的两个数之和为0，由此将两个代数式相加等于0列出关于m的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
∵ 代数式$5m+\frac{1}{4}$与$5(m-\frac{1}{4})$互为相反数，且互为相反数的两数和为0
∴ 可列方程：
$5m+\frac{1}{4} + 5(m-\frac{1}{4}) = 0$
去括号得：
$5m+\frac{1}{4} +5m - \frac{5}{4}=0$
合并同类项得：
$10m -1 = 0$
移项得：
$10m =1$
系数化为1得：
$m=\frac{1}{10}$
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握互为相反数的两数和为0的性质，同时熟练掌握一元一次方程的求解步骤，计算时注意去括号后符号及常数项的计算，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.8
本题可根据相反数的性质建立方程求解。首先明确互为相反数的两个数之和为0，由此将两个代数式相加等于0列出关于m的一元一次方程，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可得到m的值。
【解析】
∵ 代数式$5m+\frac{1}{4}$与$5(m-\frac{1}{4})$互为相反数，且互为相反数的两数和为0
∴ 可列方程：
$5m+\frac{1}{4} + 5(m-\frac{1}{4}) = 0$
去括号得：
$5m+\frac{1}{4} +5m - \frac{5}{4}=0$
合并同类项得：
$10m -1 = 0$
移项得：
$10m =1$
系数化为1得：
$m=\frac{1}{10}$
【答案】
$\frac{1}{10}$
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握互为相反数的两数和为0的性质，同时熟练掌握一元一次方程的求解步骤，计算时注意去括号后符号及常数项的计算，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.8
9. 在梯形面积公式$s=\frac{1}{2}(a+b)h$中，若$s=24,b=5,h=4$，则$a=$
7
。答案
9. 7
解析
【分析】
本题是已知梯形的面积、下底和高，求上底的问题，解题思路如下：首先将已知的s、b、h的数值直接代入梯形面积公式，得到一个关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步计算，即可求出a的值。
【解析】
把$s=24$，$b=5$，$h=4$代入梯形面积公式$s=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$24=\frac{1}{2}× (a+5)× 4$
先计算等式右侧的$\frac{1}{2}×4=2$，化简得：
$24=2(a+5)$
等式两边同时除以2，得：
$12=a+5$
移项计算得：
$a=12-5=7$
【答案】
7
【知识点】
梯形面积公式；解一元一次方程；代入求值
【点评】
本题属于基础计算题，考查对公式的灵活运用能力，只需熟练掌握一元一次方程的解法，准确代入数值计算即可得分，不易出错。
【难度系数】
0.9
本题是已知梯形的面积、下底和高，求上底的问题，解题思路如下：首先将已知的s、b、h的数值直接代入梯形面积公式，得到一个关于a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤逐步计算，即可求出a的值。
【解析】
把$s=24$，$b=5$，$h=4$代入梯形面积公式$s=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$24=\frac{1}{2}× (a+5)× 4$
先计算等式右侧的$\frac{1}{2}×4=2$，化简得：
$24=2(a+5)$
等式两边同时除以2，得：
$12=a+5$
移项计算得：
$a=12-5=7$
【答案】
7
【知识点】
梯形面积公式；解一元一次方程；代入求值
【点评】
本题属于基础计算题，考查对公式的灵活运用能力，只需熟练掌握一元一次方程的解法，准确代入数值计算即可得分，不易出错。
【难度系数】
0.9
10.设k为整数，方程$kx=4-x$的解x为自然数，则k的值为
0,1,3
.答案
10. 0,1,3
解析
【分析】先通过解一元一次方程，将x用含有k的代数式表示，再结合k为整数、x为自然数的条件，可知分母k+1是4的正因数，逐一列举符合条件的因数即可求出k的取值。
【解析】
解：先整理方程$kx=4-x$：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧：$kx + x = 4$
2. 合并同类项：$(k+1)x = 4$
3. 系数化为1（k≠-1，否则方程无解）：$x=\frac{4}{k+1}$
由题意可知，x为自然数，k为整数，因此$\frac{4}{k+1}$是正自然数，即$k+1$是4的正因数。
4的正因数有1、2、4，分别计算：
当$k+1=1$时，$k=0$，此时$x=4$，符合要求；
当$k+1=2$时，$k=1$，此时$x=2$，符合要求；
当$k+1=4$时，$k=3$，此时$x=1$，符合要求；
若$k+1$为负因数，则x为负数，不符合自然数的要求，故舍去。
综上，k的值为0、1、3。
【答案】0,1,3
【知识点】一元一次方程求解，整数与自然数概念，因数应用
【点评】本题属于含参数的一元一次方程问题，解题关键是先把待求未知数用参数表示，再结合限定条件筛选参数，解题时要注意不要遗漏k=0的情况，同时排除会导致x为负数的负因数情况。
【难度系数】0.7
【解析】
解：先整理方程$kx=4-x$：
1. 移项，将含x的项移到等号左侧：$kx + x = 4$
2. 合并同类项：$(k+1)x = 4$
3. 系数化为1（k≠-1，否则方程无解）：$x=\frac{4}{k+1}$
由题意可知，x为自然数，k为整数，因此$\frac{4}{k+1}$是正自然数，即$k+1$是4的正因数。
4的正因数有1、2、4，分别计算：
当$k+1=1$时，$k=0$，此时$x=4$，符合要求；
当$k+1=2$时，$k=1$，此时$x=2$，符合要求；
当$k+1=4$时，$k=3$，此时$x=1$，符合要求；
若$k+1$为负因数，则x为负数，不符合自然数的要求，故舍去。
综上，k的值为0、1、3。
【答案】0,1,3
【知识点】一元一次方程求解，整数与自然数概念，因数应用
【点评】本题属于含参数的一元一次方程问题，解题关键是先把待求未知数用参数表示，再结合限定条件筛选参数，解题时要注意不要遗漏k=0的情况，同时排除会导致x为负数的负因数情况。
【难度系数】0.7
11.已知$x=3$是关于$x$的方程$2mx=nx-3$的解，则$2n-4m$的值是（
A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$
A
）A.2
B.$-2$
C.1
D.$-1$
答案
11. A
解析
【分析】
解题首先要明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。第一步我们把x=3代入原方程，就能得到含有m、n的等式，整理得到m和n的数量关系；再观察所求的代数式2n-4m，发现可以变形为含有前面得到的m、n关系的式子，整体代入即可算出结果，不需要单独求出m和n的具体值。
【解析】
解：
∵x=3是方程$2mx=nx-3$的解
∴将x=3代入方程，得：
$2m×3 = 3n - 3$
即$6m = 3n - 3$
移项整理得：$3n - 6m = 3$
等式两边同时除以3，得：$n - 2m = 1$
对所求代数式变形：$2n - 4m = 2(n - 2m)$
将$n - 2m = 1$代入上式，得：$2×1 = 2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义，代数式化简求值，等式的性质
【点评】
本题解题的核心是利用方程的解的定义得到参数间的数量关系，再通过整体代入的方法计算代数式的值，避免了单独求解参数的麻烦，整体代入思想是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确方程的解的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。第一步我们把x=3代入原方程，就能得到含有m、n的等式，整理得到m和n的数量关系；再观察所求的代数式2n-4m，发现可以变形为含有前面得到的m、n关系的式子，整体代入即可算出结果，不需要单独求出m和n的具体值。
【解析】
解：
∵x=3是方程$2mx=nx-3$的解
∴将x=3代入方程，得：
$2m×3 = 3n - 3$
即$6m = 3n - 3$
移项整理得：$3n - 6m = 3$
等式两边同时除以3，得：$n - 2m = 1$
对所求代数式变形：$2n - 4m = 2(n - 2m)$
将$n - 2m = 1$代入上式，得：$2×1 = 2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义，代数式化简求值，等式的性质
【点评】
本题解题的核心是利用方程的解的定义得到参数间的数量关系，再通过整体代入的方法计算代数式的值，避免了单独求解参数的麻烦，整体代入思想是代数式求值类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
12.当$x=3$时,代数式$5(x+4a)$的值比$4(x-a)$的值的2倍多1,求$a$的值.
答案
12. $a=\frac{5}{14}$
解析
【分析】
解题时首先要读懂题意，提取题目中的数量关系：当x=3时，代数式$5(x+4a)$的值等于$4(x-a)$的值的2倍再加1。我们先将x=3代入两个代数式，把原问题转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算即可求出a的值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$5(x+4a) = 2×4(x-a) + 1$
把$x=3$代入方程，得：
$5×(3+4a) = 8×(3 - a) + 1$
去括号，得：
$15 + 20a = 24 - 8a + 1$
合并等号右侧常数项，得：
$15 + 20a = 25 - 8a$
移项，得：
$20a + 8a = 25 - 15$
合并同类项，得：
$28a = 10$
系数化为1，得：
$a = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$
【答案】
$a=\frac{5}{14}$
【知识点】
列一元一次方程；代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题核心是根据文字描述的数量关系建立方程，重点考查一元一次方程的解法，解题时需注意找准等量关系，计算时遵循运算规则，避免移项变号、去括号漏乘等错误。
【难度系数】
0.75
解题时首先要读懂题意，提取题目中的数量关系：当x=3时，代数式$5(x+4a)$的值等于$4(x-a)$的值的2倍再加1。我们先将x=3代入两个代数式，把原问题转化为只含有未知数a的一元一次方程，再按照解一元一次方程的步骤（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算即可求出a的值。
【解析】
解：根据题意可列方程：
$5(x+4a) = 2×4(x-a) + 1$
把$x=3$代入方程，得：
$5×(3+4a) = 8×(3 - a) + 1$
去括号，得：
$15 + 20a = 24 - 8a + 1$
合并等号右侧常数项，得：
$15 + 20a = 25 - 8a$
移项，得：
$20a + 8a = 25 - 15$
合并同类项，得：
$28a = 10$
系数化为1，得：
$a = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$
【答案】
$a=\frac{5}{14}$
【知识点】
列一元一次方程；代数式求值；解一元一次方程
【点评】
本题核心是根据文字描述的数量关系建立方程，重点考查一元一次方程的解法，解题时需注意找准等量关系，计算时遵循运算规则，避免移项变号、去括号漏乘等错误。
【难度系数】
0.75
13. 解方程：$\frac{3}{4}[\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}) - 8] - \frac{3}{2}x = 1.$
答案
13. $x=-\frac{29}{4}$
解析
【分析】
观察方程结构，发现中括号外的$\frac{3}{4}$与中括号内的$\frac{4}{3}$互为倒数，因此优先利用乘法分配律去掉中括号，可直接消去分数简化计算，之后再按去小括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤解一元一次方程即可。
【解析】
解：先去中括号，利用乘法分配律计算：
$\frac{3}{4}×\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}) + \frac{3}{4}×(-8) - \frac{3}{2}x =1$
化简得：$\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} -6 - \frac{3}{2}x =1$
移项，将含$x$的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号：
$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}x = 1 + \frac{1}{4} +6$
合并同类项：
$-x = \frac{29}{4}$
系数化为1，两边同时乘$-1$：
$x=-\frac{29}{4}$
【答案】
$x=-\frac{29}{4}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 乘法分配律 3. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的典型题，解题时可先观察方程的系数特点，选择更简便的去括号顺序，能有效减少计算量，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.6
观察方程结构，发现中括号外的$\frac{3}{4}$与中括号内的$\frac{4}{3}$互为倒数，因此优先利用乘法分配律去掉中括号，可直接消去分数简化计算，之后再按去小括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤解一元一次方程即可。
【解析】
解：先去中括号，利用乘法分配律计算：
$\frac{3}{4}×\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}) + \frac{3}{4}×(-8) - \frac{3}{2}x =1$
化简得：$\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} -6 - \frac{3}{2}x =1$
移项，将含$x$的项留在等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号：
$\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}x = 1 + \frac{1}{4} +6$
合并同类项：
$-x = \frac{29}{4}$
系数化为1，两边同时乘$-1$：
$x=-\frac{29}{4}$
【答案】
$x=-\frac{29}{4}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法 2. 乘法分配律 3. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程求解的典型题，解题时可先观察方程的系数特点，选择更简便的去括号顺序，能有效减少计算量，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.6
14. 数学家欧拉最先把关于$ x $的多项式记作$ f(x) $.例如:$ f(x)=x^2 + x -1 $,当$ x=a $时,多项式的值用$ f(a) $来表示,即$ f(a)=a^2 +a -1 $;当$ x=3 $时,$ f(3)=3^2 +3 -1=11 $.
(1)已知$ f(x)=x^2 -2x +3 $,求$ f(1) $的值.
(2)已知$ f(x)=mx^2 -2x -m $,当$ f(-3)=m -1 $时,求$ m $的值.
(3)已知$ f(x)=kx^2 -ax -bk $ ($ a,b $为常数),对于任意有理数$ k $,总有$ f(-2)=-2 $,求$ a,b $的值.
(1)已知$ f(x)=x^2 -2x +3 $,求$ f(1) $的值.
(2)已知$ f(x)=mx^2 -2x -m $,当$ f(-3)=m -1 $时,求$ m $的值.
(3)已知$ f(x)=kx^2 -ax -bk $ ($ a,b $为常数),对于任意有理数$ k $,总有$ f(-2)=-2 $,求$ a,b $的值.
答案
14. (1)2 (2)$m=-1$ (3)$a=-1,b=4$
解析
【分析】
本题围绕新定义的多项式求值符号$f(x)$展开，解题核心是将括号内的取值代入多项式中$x$的位置进行运算：
(1) 直接将$x=1$代入给定多项式，按有理数运算规则计算即可；
(2) 先将$x=-3$代入含参数$m$的多项式，得到关于$m$的一元一次方程，再解方程求出$m$；
(3) 先将$x=-2$代入含参数$k,a,b$的多项式，整理为含$k$的项和常数项相加的形式，由于对任意有理数$k$式子的值都为$-2$，说明含$k$项的系数必须为$0$，常数项等于$-2$，据此列方程组求解$a,b$即可。
【解析】
(1) 把$x=1$代入$f(x)=x^2-2x+3$，得：
$f(1)=1^2 - 2×1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
(2) 把$x=-3$代入$f(x)=mx^2-2x-m$，得：
$f(-3)=m×(-3)^2 - 2×(-3) - m = 9m + 6 - m = 8m + 6$
由题意$f(-3)=m-1$，列方程：
$8m + 6 = m - 1$
移项得：$8m - m = -1 - 6$
合并同类项得：$7m = -7$
解得：$m = -1$
(3) 把$x=-2$代入$f(x)=kx^2 - ax - bk$，得：
$f(-2)=k×(-2)^2 - a×(-2) - bk = 4k + 2a - bk = (4 - b)k + 2a$
$\because$ 对于任意有理数$k$，总有$f(-2)=-2$，即式子的值与$k$的取值无关
$\therefore$ 含$k$项的系数为$0$，常数项为$-2$，可得：
$\begin{cases}4 - b = 0 \\ 2a = -2 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}b = 4 \\ a = -1 \end{cases}$
【答案】
(1)2；(2)$m=-1$；(3)$a=-1,b=4$
【知识点】
代数式求值、解一元一次方程、多项式恒成立条件
【点评】
本题以数学史中的函数符号为背景设计问题，难度梯度清晰，前两问侧重基础运算，第三小问的易错点是对“任意有理数$k$都成立”的理解，需掌握此类问题的核心处理方法：与哪个参数无关，就令该参数的系数为0。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义的多项式求值符号$f(x)$展开，解题核心是将括号内的取值代入多项式中$x$的位置进行运算：
(1) 直接将$x=1$代入给定多项式，按有理数运算规则计算即可；
(2) 先将$x=-3$代入含参数$m$的多项式，得到关于$m$的一元一次方程，再解方程求出$m$；
(3) 先将$x=-2$代入含参数$k,a,b$的多项式，整理为含$k$的项和常数项相加的形式，由于对任意有理数$k$式子的值都为$-2$，说明含$k$项的系数必须为$0$，常数项等于$-2$，据此列方程组求解$a,b$即可。
【解析】
(1) 把$x=1$代入$f(x)=x^2-2x+3$，得：
$f(1)=1^2 - 2×1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
(2) 把$x=-3$代入$f(x)=mx^2-2x-m$，得：
$f(-3)=m×(-3)^2 - 2×(-3) - m = 9m + 6 - m = 8m + 6$
由题意$f(-3)=m-1$，列方程：
$8m + 6 = m - 1$
移项得：$8m - m = -1 - 6$
合并同类项得：$7m = -7$
解得：$m = -1$
(3) 把$x=-2$代入$f(x)=kx^2 - ax - bk$，得：
$f(-2)=k×(-2)^2 - a×(-2) - bk = 4k + 2a - bk = (4 - b)k + 2a$
$\because$ 对于任意有理数$k$，总有$f(-2)=-2$，即式子的值与$k$的取值无关
$\therefore$ 含$k$项的系数为$0$，常数项为$-2$，可得：
$\begin{cases}4 - b = 0 \\ 2a = -2 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}b = 4 \\ a = -1 \end{cases}$
【答案】
(1)2；(2)$m=-1$；(3)$a=-1,b=4$
【知识点】
代数式求值、解一元一次方程、多项式恒成立条件
【点评】
本题以数学史中的函数符号为背景设计问题，难度梯度清晰，前两问侧重基础运算，第三小问的易错点是对“任意有理数$k$都成立”的理解，需掌握此类问题的核心处理方法：与哪个参数无关，就令该参数的系数为0。
【难度系数】
0.7
