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1.如图，C是线段AB上一点，M，N分别是线段AB和线段CB的中点.若AC=3，NB=2.5，则线段CM的长是（
A.2
B.1.5
C.1
D.0.5
C
）A.2
B.1.5
C.1
D.0.5
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手：首先N是CB的中点，已知NB的长度，可先求出CB的总长；再结合AC的长度，就能求出线段AB的总长度；接着利用M是AB中点的条件，求出AM的长度；最后通过线段的差计算出CM的长度即可。
【解析】
解：
∵N是线段CB的中点，NB=2.5，
∴CB=2NB=2×2.5=5，
又
∵AC=3，
∴AB=AC+CB=3+5=8，
∵M是线段AB的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=AM-AC=4-3=1。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是基础的线段计算题型，解题核心是熟练运用线段中点的性质得到线段的倍分关系，再结合线段的和差运算求解，掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的中点条件入手：首先N是CB的中点，已知NB的长度，可先求出CB的总长；再结合AC的长度，就能求出线段AB的总长度；接着利用M是AB中点的条件，求出AM的长度；最后通过线段的差计算出CM的长度即可。
【解析】
解：
∵N是线段CB的中点，NB=2.5，
∴CB=2NB=2×2.5=5，
又
∵AC=3，
∴AB=AC+CB=3+5=8，
∵M是线段AB的中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=AM-AC=4-3=1。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算
【点评】
本题是基础的线段计算题型，解题核心是熟练运用线段中点的性质得到线段的倍分关系，再结合线段的和差运算求解，掌握相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.(2025江苏南通通州区期末)延长线段AB至点C,使$BC=\frac{1}{3}AB$.反向延长线段AB至点D,使$AD=\frac{1}{2}AC$,E为线段AB的中点,F为线段CD的中点.若AB=12,则线段EF的长为
2
.答案
2. 2
解析 由题意可得示意图如下.因为AB=12,$BC=\frac{1}{3}AB$,所以BC=4.
因为$AD=\frac{1}{2}AC$,
所以$AD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(12+4)=8$,
所以$CD=AD+AB+BC=8+12+4=24$.
因为E为线段AB的中点,F为线段CD的中点,
所以$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$,$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$,
所以$AF=DF-AD=12-8=4$,
所以$EF=AE-AF=6-4=2$.
解析
【分析】
解题时先从已知AB=12的条件入手，首先根据BC与AB的数量关系求出BC的长度，进而得到AC的长度；再结合AD和AC的比例关系求出AD的长度，计算出CD的总长度；之后利用线段中点的性质分别求出AE、DF的长度，推导得到AF的长度，最后通过线段的差求出EF的长度即可。
【解析】
已知$AB=12$，
$\because BC=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore BC=\frac{1}{3}×12=4$，
$\therefore AC=AB+BC=12+4=16$，
$\because AD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}×16=8$，
$\therefore CD=AD+AB+BC=8+12+4=24$，
$\because E$为线段$AB$的中点，$F$为线段$CD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$，
$\therefore AF=DF-AD=12-8=4$，
$\therefore EF=AE-AF=6-4=2$。
【答案】
2
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题关键是结合图形理清各线段的位置和数量关系，按顺序逐步计算各段线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知AB=12的条件入手，首先根据BC与AB的数量关系求出BC的长度，进而得到AC的长度；再结合AD和AC的比例关系求出AD的长度，计算出CD的总长度；之后利用线段中点的性质分别求出AE、DF的长度，推导得到AF的长度，最后通过线段的差求出EF的长度即可。
【解析】
已知$AB=12$，
$\because BC=\frac{1}{3}AB$，
$\therefore BC=\frac{1}{3}×12=4$，
$\therefore AC=AB+BC=12+4=16$，
$\because AD=\frac{1}{2}AC$，
$\therefore AD=\frac{1}{2}×16=8$，
$\therefore CD=AD+AB+BC=8+12+4=24$，
$\because E$为线段$AB$的中点，$F$为线段$CD$的中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$，$DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$，
$\therefore AF=DF-AD=12-8=4$，
$\therefore EF=AE-AF=6-4=2$。
【答案】
2
【知识点】
线段的和差计算，线段中点的定义
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题关键是结合图形理清各线段的位置和数量关系，按顺序逐步计算各段线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
3.(2025山东枣庄滕州市期末)定义:在直线l上的三点A,B,C,若满足$CB=2CA$,则称点C是点A关于点B的“半距点”.若点M,N,P在同一条直线m上,且点P是点M关于点N的半距点,$MN=10$,则线段PM的长为
$\frac{10}{3}$或10
.答案
3. $\frac{10}{3}$或10 解析 分两种情况讨论.
①如图,当点P在线段MN上时,
因为点P是点M关于点N的半距点,$MN=10$,
所以$PN=2PM$,所以$MN=3PM$,
所以$PM=\frac{1}{3}MN=\frac{10}{3}$.
②如图,当点P在线段MN的反向延长线上时,
因为点P是点M关于点N的半距点,$MN=10$,
所以$PN=2PM$,所以$PM=MN=10$.
综上所述,线段PM的长为$\frac{10}{3}$或10.
解析
【分析】
首先要准确理解新定义“半距点”的含义：若点C是点A关于点B的半距点，则满足$CB=2CA$，本题中对应P是M关于N的半距点，因此可得到线段关系$PN=2PM$。其次由于三点在直线上，点P的位置未明确给出，需要分类讨论：一种是点P在线段MN上，另一种是点P在线段MN的反向延长线上（若点P在N的右侧，PN长度小于PM，不满足$PN=2PM$，故排除该情况）。最后针对两种情况分别结合线段的和差关系计算PM的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当点P在线段MN上时，
∵点P是点M关于点N的半距点，$MN=10$，
∴$PN=2PM$，
∴$MN=PM+PN=PM+2PM=3PM=10$，
解得$PM=\frac{10}{3}$。
②当点P在线段MN的反向延长线上时，
∵点P是点M关于点N的半距点，$MN=10$，
∴$PN=2PM$，
又
∵$PN=PM+MN$，
∴$2PM=PM+10$，
解得$PM=10$。
综上所述，线段PM的长为$\frac{10}{3}$或10。
【答案】
$\frac{10}{3}$或10
【知识点】
新定义理解，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查结合新定义的线段长度计算，解题的核心是正确理解“半距点”的定义转化出线段的数量关系，同时要注意直线上点的位置不唯一，需要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先要准确理解新定义“半距点”的含义：若点C是点A关于点B的半距点，则满足$CB=2CA$，本题中对应P是M关于N的半距点，因此可得到线段关系$PN=2PM$。其次由于三点在直线上，点P的位置未明确给出，需要分类讨论：一种是点P在线段MN上，另一种是点P在线段MN的反向延长线上（若点P在N的右侧，PN长度小于PM，不满足$PN=2PM$，故排除该情况）。最后针对两种情况分别结合线段的和差关系计算PM的长度即可。
【解析】
分两种情况讨论：
①当点P在线段MN上时，
∵点P是点M关于点N的半距点，$MN=10$，
∴$PN=2PM$，
∴$MN=PM+PN=PM+2PM=3PM=10$，
解得$PM=\frac{10}{3}$。
②当点P在线段MN的反向延长线上时，
∵点P是点M关于点N的半距点，$MN=10$，
∴$PN=2PM$，
又
∵$PN=PM+MN$，
∴$2PM=PM+10$，
解得$PM=10$。
综上所述，线段PM的长为$\frac{10}{3}$或10。
【答案】
$\frac{10}{3}$或10
【知识点】
新定义理解，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题考查结合新定义的线段长度计算，解题的核心是正确理解“半距点”的定义转化出线段的数量关系，同时要注意直线上点的位置不唯一，需要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.6
4.(2026江西南昌经济技术开发区期末)如图,已知线段AB、线段a和线段b.
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图.(不要求写作法,但要保留作图痕迹)
①延长线段AB至点C,使BC=a;
②反向延长线段AB至点D,使AD=b.
(2)在(1)的条件下,如果AB=8,a=6,b=10,且E为线段CD的中点,求线段AE的长.
(1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图.(不要求写作法,但要保留作图痕迹)
①延长线段AB至点C,使BC=a;
②反向延长线段AB至点D,使AD=b.
(2)在(1)的条件下,如果AB=8,a=6,b=10,且E为线段CD的中点,求线段AE的长.
答案
4. 解:(1)①如图,线段BC即为所求.
②如图,线段AD即为所求.
(2)因为AB=8,a=6,b=10,
所以AD=10,$CD=AB+a+b=8+6+10=24$.
因为E为线段CD的中点,
所以$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$,
所以$AE=DE-AD=12-10=2$.
解析
【分析】
(1)对于作图题：①延长线段AB到C，需先沿AB方向延长AB，再用圆规截取与a等长的线段，以B为圆心画弧确定点C即可；②反向延长AB即沿BA方向延长，用圆规截取与b等长的线段，以A为圆心画弧确定点D即可。(2)对于计算问题：首先明确四个点的共线顺序为D、A、B、C，先计算线段CD的总长度，再根据线段中点的性质求出DE的长度，最后通过线段的差关系计算AE的长度即可。
【解析】
(1)①将直尺与线段AB对齐，沿AB向B点外侧延长，用圆规量取线段a的长度，以B为圆心、a长为半径画弧，与AB延长线的交点即为C，线段BC即为所求；②将直尺与线段AB对齐，沿BA向A点外侧延长，用圆规量取线段b的长度，以A为圆心、b长为半径画弧，与BA延长线的交点即为D，线段AD即为所求。
(2)解：由题意得AB=8，BC=a=6，AD=b=10，
∵D、A、B、C四点共线，
∴$CD = AD + AB + BC = 10 + 8 + 6 = 24$，
∵E是CD的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$，
∴$AE=DE-AD=12-10=2$。
【答案】
(1)①②作图如图所示；
(2)线段AE的长为2。
【知识点】
尺规作线段，线段和差计算，线段中点定义
【点评】
本题属于几何基础题，结合了尺规作图操作与线段计算，解题的关键是理清各点在直线上的排列顺序，正确运用线段和差与中点的性质进行计算，避免加减关系混淆。
【难度系数】
0.8
(1)对于作图题：①延长线段AB到C，需先沿AB方向延长AB，再用圆规截取与a等长的线段，以B为圆心画弧确定点C即可；②反向延长AB即沿BA方向延长，用圆规截取与b等长的线段，以A为圆心画弧确定点D即可。(2)对于计算问题：首先明确四个点的共线顺序为D、A、B、C，先计算线段CD的总长度，再根据线段中点的性质求出DE的长度，最后通过线段的差关系计算AE的长度即可。
【解析】
(1)①将直尺与线段AB对齐，沿AB向B点外侧延长，用圆规量取线段a的长度，以B为圆心、a长为半径画弧，与AB延长线的交点即为C，线段BC即为所求；②将直尺与线段AB对齐，沿BA向A点外侧延长，用圆规量取线段b的长度，以A为圆心、b长为半径画弧，与BA延长线的交点即为D，线段AD即为所求。
(2)解：由题意得AB=8，BC=a=6，AD=b=10，
∵D、A、B、C四点共线，
∴$CD = AD + AB + BC = 10 + 8 + 6 = 24$，
∵E是CD的中点，
∴$DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×24=12$，
∴$AE=DE-AD=12-10=2$。
【答案】
(1)①②作图如图所示
；(2)线段AE的长为2。
【知识点】
尺规作线段，线段和差计算，线段中点定义
【点评】
本题属于几何基础题，结合了尺规作图操作与线段计算，解题的关键是理清各点在直线上的排列顺序，正确运用线段和差与中点的性质进行计算，避免加减关系混淆。
【难度系数】
0.8
5.线段AB上有两点P,Q,点P将线段AB分成两部分,其中AP:PB=2:3,点Q也将线段AB分成两部分,其中AQ:QB=4:1.若PQ=3,求线段AP和线段QB的长.
答案
5. 解:设AP=2x,则PB=3x,AQ=4x,QB=x,
由题意得4x-2x=3. 解得x=1.5.
进而2x=3.
所以线段AP的长为3,线段QB的长为1.5.
由题意得4x-2x=3. 解得x=1.5.
进而2x=3.
所以线段AP的长为3,线段QB的长为1.5.
解析
【分析】
遇到含有比例关系的线段计算问题，通常采用设“每份长度为x”的方法，将各段线段用含x的代数式表示。首先观察题目给出的两个比例，可发现两个比例均把线段AB分成了5等份，因此每份长度相同，可统一设未知数。再结合线段的位置关系，确定PQ是AQ与AP的差，据此建立方程求解x，最后代入求出AP和QB的长度即可。
【解析】
解：设每份线段长度为x，
∵ AP:PB=2:3，
∴ AP=2x，PB=3x，
∵ AQ:QB=4:1，
∴ AQ=4x，QB=x，
由线段和差关系可得：PQ = AQ - AP，
已知PQ=3，代入得：$4x - 2x = 3$，
解得：$x=1.5$，
∴ $AP=2x=2×1.5=3$，$QB=x=1.5$。
【答案】
线段AP的长为3，线段QB的长为1.5。
【知识点】
线段和差计算；比例线段应用；一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题关键是利用比例设未知数简化未知线段的表达，再结合线段的和差关系建立方程求解，该方法是解决线段比例类计算问题的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75
遇到含有比例关系的线段计算问题，通常采用设“每份长度为x”的方法，将各段线段用含x的代数式表示。首先观察题目给出的两个比例，可发现两个比例均把线段AB分成了5等份，因此每份长度相同，可统一设未知数。再结合线段的位置关系，确定PQ是AQ与AP的差，据此建立方程求解x，最后代入求出AP和QB的长度即可。
【解析】
解：设每份线段长度为x，
∵ AP:PB=2:3，
∴ AP=2x，PB=3x，
∵ AQ:QB=4:1，
∴ AQ=4x，QB=x，
由线段和差关系可得：PQ = AQ - AP，
已知PQ=3，代入得：$4x - 2x = 3$，
解得：$x=1.5$，
∴ $AP=2x=2×1.5=3$，$QB=x=1.5$。
【答案】
线段AP的长为3，线段QB的长为1.5。
【知识点】
线段和差计算；比例线段应用；一元一次方程应用
【点评】
本题是线段计算的典型题型，解题关键是利用比例设未知数简化未知线段的表达，再结合线段的和差关系建立方程求解，该方法是解决线段比例类计算问题的常用思路，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75
6.(2025浙江湖州长兴县期末)已知点B在线段AC上,点D在线段AB上.
(1)如图1,若AB=6,BC=4,D为线段AC的中点,求线段DB的长;
(2)如图2,若AB=4BD,DC=3BD,E为线段AB的中点,EC=12,求线段AC的长.
(1)如图1,若AB=6,BC=4,D为线段AC的中点,求线段DB的长;
(2)如图2,若AB=4BD,DC=3BD,E为线段AB的中点,EC=12,求线段AC的长.
答案
6. 解:(1)因为AB=6,BC=4,
所以AC=AB+BC=6+4=10.
因为D为线段AC的中点,
所以$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$,
所以$DB=DC-BC=5-4=1$.
(2)设BD=x,则AB=4x,DC=3x.
因为E为线段AB的中点,
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x$.
因为EC=BE+BC,
所以$EC=BE+DC-BD=2x+3x-x=4x$.
因为EC=12,
即4x=12,可得x=3.
所以$AC=AB+DC-BD=4x+3x-x=6x=6×3=18$.
所以AC=AB+BC=6+4=10.
因为D为线段AC的中点,
所以$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$,
所以$DB=DC-BC=5-4=1$.
(2)设BD=x,则AB=4x,DC=3x.
因为E为线段AB的中点,
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x$.
因为EC=BE+BC,
所以$EC=BE+DC-BD=2x+3x-x=4x$.
因为EC=12,
即4x=12,可得x=3.
所以$AC=AB+DC-BD=4x+3x-x=6x=6×3=18$.
解析
【分析】
(1) 要求线段DB的长，首先根据已知的AB、BC长度求出AC的总长，再利用D是AC中点的性质求出DC的长度，最后根据线段差的关系，用DC减去BC就能得到DB的长度。
(2) 题目中AB、DC都与BD存在倍数关系，还有E是AB中点、EC长度已知的条件，可采用设参数的方法：设BD长度为x，将AB、DC都用含x的代数式表示，结合中点性质得到BE的长度，再根据EC的组成列关于x的方程，解出x后再计算AC的总长即可。
【解析】
(1) 已知AB=6，BC=4，
所以$AC = AB + BC = 6 + 4 = 10$，
因为D为线段AC的中点，
所以$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，
所以$DB = DC - BC = 5 - 4 = 1$。
(2) 设$BD=x$，由题意得$AB=4x$，$DC=3x$，
因为E为线段AB的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x$，
又因为$EC = BE + BC$，且$BC = DC - BD$，
所以$EC = BE + DC - BD = 2x + 3x - x = 4x$，
已知$EC=12$，即$4x=12$，解得$x=3$，
所以$AC = AB + BC = AB + DC - BD = 4x + 3x - x = 6x = 6×3 = 18$。
【答案】
(1) 线段DB的长为1；(2) 线段AC的长为18。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问侧重基础，直接利用线段和差关系与中点性质即可求解；第二问通过设参数将未知线段统一用未知数表示，结合已知条件建立方程求解，是解决含倍数关系的线段计算问题的常用方法，实用性较强，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
(1) 要求线段DB的长，首先根据已知的AB、BC长度求出AC的总长，再利用D是AC中点的性质求出DC的长度，最后根据线段差的关系，用DC减去BC就能得到DB的长度。
(2) 题目中AB、DC都与BD存在倍数关系，还有E是AB中点、EC长度已知的条件，可采用设参数的方法：设BD长度为x，将AB、DC都用含x的代数式表示，结合中点性质得到BE的长度，再根据EC的组成列关于x的方程，解出x后再计算AC的总长即可。
【解析】
(1) 已知AB=6，BC=4，
所以$AC = AB + BC = 6 + 4 = 10$，
因为D为线段AC的中点，
所以$DC=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，
所以$DB = DC - BC = 5 - 4 = 1$。
(2) 设$BD=x$，由题意得$AB=4x$，$DC=3x$，
因为E为线段AB的中点，
所以$BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4x=2x$，
又因为$EC = BE + BC$，且$BC = DC - BD$，
所以$EC = BE + DC - BD = 2x + 3x - x = 4x$，
已知$EC=12$，即$4x=12$，解得$x=3$，
所以$AC = AB + BC = AB + DC - BD = 4x + 3x - x = 6x = 6×3 = 18$。
【答案】
(1) 线段DB的长为1；(2) 线段AC的长为18。
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，方程法求线段长
【点评】
本题是线段计算的典型题型，第一问侧重基础，直接利用线段和差关系与中点性质即可求解；第二问通过设参数将未知线段统一用未知数表示，结合已知条件建立方程求解，是解决含倍数关系的线段计算问题的常用方法，实用性较强，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.75
