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例1 如图3-2-39，乐器上的一根弦$AB=80$ cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则$AC=$
小结反思 此题考查黄金分割点，根据黄金比进行计算.
变式训练 已知点C把线段AB黄金分割，且$AC＜CB$，那么下列等式成立的是（
A.$AC^2=CB· AB$
B.$CB^2=AC· AB$
C.$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{AB}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
$40\sqrt{5}-40$
cm，$DC=$$80\sqrt{5}-160$
cm.小结反思 此题考查黄金分割点，根据黄金比进行计算.
变式训练 已知点C把线段AB黄金分割，且$AC＜CB$，那么下列等式成立的是（
B
）.A.$AC^2=CB· AB$
B.$CB^2=AC· AB$
C.$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{AB}{AC}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
答案
例1. $AC=40\sqrt{5}-40$ cm，$DC=80\sqrt{5}-160$ cm
变式训练. B
变式训练. B
＞例2 如图3-2-40,以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.
(1)求AM,DM的长;
(2)求证:$AM^2=AD· DM$;
(3)根据(2)的结论,你能找出图中的黄金分割点吗?
思路提示 (1)由勾股定理求PD,根据$AM=AF=PF-PA=PD-PA$,$DM=AD-AM$求解.(2)由(1)计算的数据进行证明.(3)根据(2)的结论得$\frac{AM}{AD}=\frac{DM}{AM}$,根据黄金分割的概念,M是AD的黄金分割点.
尝试解答
图3-2-40
小结反思 此题综合考查正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念.先求得线段AM,DM的长,然后求得线段AM和AD,DM和AM之间的比,再根据黄金分割的概念进行判断.
(1)求AM,DM的长;
(2)求证:$AM^2=AD· DM$;
(3)根据(2)的结论,你能找出图中的黄金分割点吗?
思路提示 (1)由勾股定理求PD,根据$AM=AF=PF-PA=PD-PA$,$DM=AD-AM$求解.(2)由(1)计算的数据进行证明.(3)根据(2)的结论得$\frac{AM}{AD}=\frac{DM}{AM}$,根据黄金分割的概念,M是AD的黄金分割点.
尝试解答
图3-2-40
小结反思 此题综合考查正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念.先求得线段AM,DM的长,然后求得线段AM和AD,DM和AM之间的比,再根据黄金分割的概念进行判断.
答案
1. $PD=\sqrt{AD^2+AP^2}=\sqrt{5}$，$AM=\sqrt{5}-1$，$DM=3-\sqrt{5}$
2. 证明：$\because AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$，$AD· DM=2(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，$\therefore AM^2=AD· DM$
3. M是AD的黄金分割点
2. 证明：$\because AM^2=(\sqrt{5}-1)^2=6-2\sqrt{5}$，$AD· DM=2(3-\sqrt{5})=6-2\sqrt{5}$，$\therefore AM^2=AD· DM$
3. M是AD的黄金分割点
