8.如图3-2-36,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,P₁,P₂,P₃,P₄,P₅是△DEF边上的5个格点,请按要求完成下列各题:
(1)试证明△ABC为直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的3个顶点为P₁,P₂,P₃,P₄,P₅中的3个格点并且与△ABC相似.(要求:不写作法与证明)

图3-2-36

8.(1)证明:$\because AB^2=2^2+4^2=20,BC^2=3^2+4^2=25,AC^2=1^2+2^2=5,$
$\therefore BC^2=AB^2+AC^2.$
$\therefore △ ABC$为直角三角形.
(2)解:$△ ABC$和$△ DEF$相似.
理由:由勾股定理可得$DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF=2\sqrt{10},AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,$
$\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}.$
$\therefore △ ABC ∽ △ DEF.$
(3)解:如图,$△ P_4P_5P_2$即为所求.
理由:连接$P_2P_5,P_2P_4,P_4P_5$,

由勾股定理得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,P_5P_2=\sqrt{10},P_4P_2=\sqrt{2},P_4P_5=2\sqrt{2},$
$\therefore \frac{P_5P_2}{BC}=\frac{P_4P_5}{AB}=\frac{P_4P_2}{AC}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$
$\therefore △ ABC ∽ △ P_4P_5P_2.$

9.如图 3-2-37，已知$AB// DE$，$AC// DF$，$BC// EF$.求证：$△ DEF ∽ △ ABC$.

证明略

1.如图3-2-38，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的，叫作黄金比，即$\frac{AC}{AB}=$≈。

1. $\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}$；黄金分割点；AC与AB的比；$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；0.618

2.一条线段有个黄金分割点.

2. 2