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12. 「2024 安徽芜湖期末」用四张形状、大小完全相同的小长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，若点 $ A(1.8, 4.2) $，则点 $ B $ 的坐标是
$(-4.2,1.2)$
.答案
12. 答案 $(-4.2,1.2)$
解析 设小长方形纸片的长为$x$，宽为$y$，依题意得$\begin{cases}x - y = 1.8,\\x + y = 4.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 1.2.\end{cases}$$\because$点$B$在第二象限，$\therefore$点$B$的坐标为$(-4.2,1.2)$.
解析 设小长方形纸片的长为$x$，宽为$y$，依题意得$\begin{cases}x - y = 1.8,\\x + y = 4.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 3,\\y = 1.2.\end{cases}$$\because$点$B$在第二象限，$\therefore$点$B$的坐标为$(-4.2,1.2)$.
三、解答题（共 40 分）
13. （8 分）
（1）用代入法解方程组：$ \begin{cases} 2x - y = 7, \\ x + y = 5. \end{cases} $
（2）用加减法解方程组：$ \begin{cases} 2x + 3y = 4, \\ 4x - 9y = 3. \end{cases} $
13. （8 分）
（1）用代入法解方程组：$ \begin{cases} 2x - y = 7, \\ x + y = 5. \end{cases} $
（2）用加减法解方程组：$ \begin{cases} 2x + 3y = 4, \\ 4x - 9y = 3. \end{cases} $
答案
13. 解析 （1）$\begin{cases}2x - y = 7①,\\x + y = 5②,\end{cases}$由②得$x = 5 - y$③，把③代入①，得$2(5 - y) - y = 7$，解得$y = 1$.把$y = 1$代入③，得$x = 5 - 1 = 4$.所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 4,\\y = 1.\end{cases}$
（2）$\begin{cases}2x + 3y = 4①,\\4x - 9y = 3②,\end{cases}$①$×2$，得$4x + 6y = 8$③，③-②，得$15y = 5$，解得$y = \frac{1}{3}$.把$y = \frac{1}{3}$代入①，得$2x + 3×\frac{1}{3} = 4$，解得$x = \frac{3}{2}$.所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{3}{2},\\y = \frac{1}{3}.\end{cases}$
（2）$\begin{cases}2x + 3y = 4①,\\4x - 9y = 3②,\end{cases}$①$×2$，得$4x + 6y = 8$③，③-②，得$15y = 5$，解得$y = \frac{1}{3}$.把$y = \frac{1}{3}$代入①，得$2x + 3×\frac{1}{3} = 4$，解得$x = \frac{3}{2}$.所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{3}{2},\\y = \frac{1}{3}.\end{cases}$
14. （10 分）已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $ \begin{cases} 2x - 3y = -10, \\ ax + by = 14 \end{cases} $ 和方程组 $ \begin{cases} 3x + 2y = 11, \\ ay - bx = 5 \end{cases} $ 的解相同.
（1）求这两个方程组的相同解.
（2）求 $ 2a + b $ 的立方根.
（1）求这两个方程组的相同解.
（2）求 $ 2a + b $ 的立方根.
答案
14. 解析 （1）根据题意，得$\begin{cases}2x - 3y = - 10,\\3x + 2y = 11,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = 4.\end{cases}$故两方程组的相同解为$\begin{cases}x = 1,\\y = 4.\end{cases}$
（2）$\because\begin{cases}x = 1,\\y = 4,\end{cases}\therefore\begin{cases}a + 4b = 14,\\4a - b = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 3.\end{cases}$$\therefore 2a + b = 2×2 + 3 = 7$.$\therefore 2a + b$的立方根为$\sqrt[3]{7}$.
（2）$\because\begin{cases}x = 1,\\y = 4,\end{cases}\therefore\begin{cases}a + 4b = 14,\\4a - b = 5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 3.\end{cases}$$\therefore 2a + b = 2×2 + 3 = 7$.$\therefore 2a + b$的立方根为$\sqrt[3]{7}$.
15. 「2025 上海崇明期中」（10 分）某学校组织甲、乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动. 如果甲班做 2 小时，乙班再做 3 小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做 3 小时，乙班再做 6 小时，恰好完成全部工作的 $ \dfrac{7}{8} $. 若单独完成这项工作，甲、乙两班各需多少时间？
答案
15. 解析 设甲班每小时的工作效率为$x$，乙班每小时的工作效率为$y$，根据题意得$\begin{cases}2x + 3y = \frac{1}{2},\\3x + 6y = \frac{7}{8},\end{cases}$解得$\begin{cases}x = \frac{1}{8},\\y = \frac{1}{12}.\end{cases}$则甲班单独完成需要$1÷\frac{1}{8} = 8$（小时），乙班单独完成需要$1÷\frac{1}{12} = 12$（小时）.
16. 「2025 浙江绍兴期中」（12 分）小林在某商店购买商品 A，B 若干次（每次 A，B 两种商品都购买），其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品 A，B 有打折优惠. 三次购买商品 A，B 的数量和费用如下表：
（1）求商品 A，B 的标价.
（2）若第三次购买时商品 A，B 的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？
（3）在（2）的折扣下，若小林第四次购买共花了 1200 元，则小林有哪几种购买方案？
（1）求商品 A，B 的标价.
（2）若第三次购买时商品 A，B 的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？
（3）在（2）的折扣下，若小林第四次购买共花了 1200 元，则小林有哪几种购买方案？
答案
16. 解析 （1）设商品A的标价为$x$元/个，商品B的标价为$y$元/个，根据题意得$\begin{cases}6x + 5y = 980,\\3x + 7y = 940,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 80,\\y = 100.\end{cases}$答：商品A的标价为$80$元/个，商品B的标价为$100$元/个.
（2）$1216÷(80×9 + 100×8)×10 = 8$.答：商店是打$8$折出售这两种商品的.
（3）设小林购买$m$个商品A，$n$个商品B，根据题意得$80×0.8m + 100×0.8n = 1200$，$\therefore n = -\frac{4m}{5} + 15$.$\because m,n$均为正整数，$\therefore m = 5,n = 11$或$m = 10,n = 7$或$m = 15,n = 3$.答：小林有三种购买方案，方案一：购买$5$个商品A，$11$个商品B；方案二：购买$10$个商品A，$7$个商品B；方案三：购买$15$个商品A，$3$个商品B.
（2）$1216÷(80×9 + 100×8)×10 = 8$.答：商店是打$8$折出售这两种商品的.
（3）设小林购买$m$个商品A，$n$个商品B，根据题意得$80×0.8m + 100×0.8n = 1200$，$\therefore n = -\frac{4m}{5} + 15$.$\because m,n$均为正整数，$\therefore m = 5,n = 11$或$m = 10,n = 7$或$m = 15,n = 3$.答：小林有三种购买方案，方案一：购买$5$个商品A，$11$个商品B；方案二：购买$10$个商品A，$7$个商品B；方案三：购买$15$个商品A，$3$个商品B.
