知识点二 直角三角形的内角的关系
1. 直角三角形的两个锐角.
2. 有两个角的三角形是直角三角形.
3. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成.

1. 互余 2. 互余 3. Rt△ABC

例3 在$△ ABC$中，若$∠ A+∠ B=∠ C$，则$△ ABC$是（）

A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.无法判断
解析 因为$∠ A+∠ B=∠ C$，所以$180°-∠ C=∠ C$。
所以$∠ C=90°$。所以$△ ABC$是直角三角形。
答案 C

C

根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，将已知条件∠A+∠B=∠C代入该式，可得∠C+∠C=180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形。

例4 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ ACB$，CD是$△ ABC$的高，CE是$∠ ACB$的平分线，判断$△ ABC$的形状，并求出$∠ DCE$的度数.

解 因为$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ ACB$，所以$∠ B=2∠ A$，$∠ ACB=3∠ A$. 因为$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，所以$∠ A+2∠ A+3∠ A=180°$. 解得$∠ A=30°$. 所以$∠ ACB=90°$. 所以$△ ABC$为直角三角形. 因为CD是$△ ABC$的高，所以$∠ ACD=90°-30°=60°$. 因为CE是$∠ ACB$的平分线，所以$∠ ACE=\frac{1}{2}×90°=45°$. 所以$∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=60°-45°=15°$.

解：
因为$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ ACB$，
所以$∠ B=2∠ A$，$∠ ACB=3∠ A$。
由三角形内角和定理，得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
代入得$∠ A+2∠ A+3∠ A=180°$，
解得$∠ A=30°$，
所以$∠ ACB=3∠ A=90°$，
因此$△ ABC$是直角三角形。
因为$CD$是$△ ABC$的高，所以$CD⊥ AB$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
因为$CE$是$∠ ACB$的平分线，
所以$∠ ACE=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×90°=45°$，
因此$∠ DCE=∠ ACD-∠ ACE=60°-45°=15°$。
综上，$△ ABC$是直角三角形，$∠ DCE$的度数为$15°$。