知识点一 三角形的内角和定理
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于.

180°

例1 将一副三角尺按如图所示的位置放置，$∠ COD$的度数是（）


A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
解析 由题意，得$∠ A = 30°$，$∠ DFE = 45°$，所以$∠ AOF = 180° - ∠ A - ∠ DFE = 180° - 30° - 45° = 105°$.所以$∠ COD = ∠ AOF = 105°$.
答案 A

A

由题意得∠A=30°，∠DFE=45°，在△AOF中，根据三角形内角和为180°，可得∠AOF=180°-∠A-∠DFE=180°-30°-45°=105°，由对顶角相等得∠COD=∠AOF=105°。

例2 如图，已知$∠ ACB=100°$，$AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，则$∠ AOB$的度数为________。

解析 因为$AO$平分$∠ BAC$，$BO$平分$∠ ABC$，所以$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$。因为$∠ AOB=180° - ∠ OAB - ∠ OBA = 180° - \frac{1}{2}∠ BAC - \frac{1}{2}∠ ABC = 180° - \frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=180° - \frac{1}{2}(180° - ∠ ACB)=90° + \frac{1}{2}∠ ACB$，所以当$∠ ACB=100°$时，$∠ AOB=90° + \frac{1}{2}×100°=140°$。
答案 $140°$

$\boldsymbol{140°}$

解：
∵ AO平分∠BAC，BO平分∠ABC，
∴ ∠OAB = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA = $\frac{1}{2}$∠ABC。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠BAC + ∠ABC = 180° - ∠ACB。
在△AOB中，由三角形内角和定理得：
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°，
∴ ∠AOB = 180° - (∠OAB + ∠OBA)
= 180° - $\frac{1}{2}$(∠BAC + ∠ABC)
= 180° - $\frac{1}{2}$(180° - ∠ACB)
= 90° + $\frac{1}{2}$∠ACB。
∵ ∠ACB = 100°，
∴ ∠AOB = 90° + $\frac{1}{2}$×100° = 140°。