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基础知识·预习
问题1 什么是切线长？
问题2 从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度有什么关系？
问题3 连接圆外一点和圆心，所得的线段能否平分过圆外这一点所作的圆的两条切线的夹角？
问题1 什么是切线长？
问题2 从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度有什么关系？
问题3 连接圆外一点和圆心，所得的线段能否平分过圆外这一点所作的圆的两条切线的夹角？
答案
1. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 能，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
2. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 能，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
解析
【分析】
这三道题均围绕切线长相关基础知识点设置，解题思路如下：1. 回答问题1时需明确“切线长”是可度量的线段长度，要和不可度量的切线（直线）做好区分，准确表述其定义；2. 回答问题2、3时可借助全等三角形的判定推导结论：设圆外一点向圆引两条切线，连接圆心与两个切点、连接圆心与圆外点，可得到两个共斜边的直角三角形，利用半径相等、公共边相等，通过HL判定两直角三角形全等，即可推出切线长的数量关系，以及连线与切线夹角的关系。
【解析】
1. 切线是与圆只有一个公共点的直线，长度无法度量；经过圆外一点作圆的切线，该点到切点之间的线段是可度量的，这条线段的长度就叫做这点到圆的切线长。
2. 设圆O外一点P，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP。由切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，即△OPA和△OPB均为直角三角形；又OA=OB（同圆的半径相等），OP为公共边，因此Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），可得PA=PB，即两条切线长相等。
3. 由上述Rt△OPA≌Rt△OPB的结论，可得对应角∠OPA=∠OPB，即线段OP平分∠APB，因此圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
【答案】
1. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 能，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【知识点】
切线长的定义，切线长定理，直角三角形全等判定
【点评】
本题是切线长相关的基础概念类题目，旨在帮助学生理解切线长的定义，掌握切线长定理的核心结论，为后续运用该定理解决复杂几何问题打好基础。
【难度系数】
0.9
这三道题均围绕切线长相关基础知识点设置，解题思路如下：1. 回答问题1时需明确“切线长”是可度量的线段长度，要和不可度量的切线（直线）做好区分，准确表述其定义；2. 回答问题2、3时可借助全等三角形的判定推导结论：设圆外一点向圆引两条切线，连接圆心与两个切点、连接圆心与圆外点，可得到两个共斜边的直角三角形，利用半径相等、公共边相等，通过HL判定两直角三角形全等，即可推出切线长的数量关系，以及连线与切线夹角的关系。
【解析】
1. 切线是与圆只有一个公共点的直线，长度无法度量；经过圆外一点作圆的切线，该点到切点之间的线段是可度量的，这条线段的长度就叫做这点到圆的切线长。
2. 设圆O外一点P，过P作圆O的两条切线，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP。由切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，即△OPA和△OPB均为直角三角形；又OA=OB（同圆的半径相等），OP为公共边，因此Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），可得PA=PB，即两条切线长相等。
3. 由上述Rt△OPA≌Rt△OPB的结论，可得对应角∠OPA=∠OPB，即线段OP平分∠APB，因此圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
【答案】
1. 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
2. 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
3. 能，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
【知识点】
切线长的定义，切线长定理，直角三角形全等判定
【点评】
本题是切线长相关的基础概念类题目，旨在帮助学生理解切线长的定义，掌握切线长定理的核心结论，为后续运用该定理解决复杂几何问题打好基础。
【难度系数】
0.9
【典型例题】如图，P为$\odot O$外一点，PA，PB均与$\odot O$相切，切点分别是A，B，BC是$\odot O$的直径，连接AB，AC，OP，AB与OP相交于点D.求证：
(1)$∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$AC// OP$.
【证明】(1)$\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$∠ APB = 2∠ APO = 2∠ BPO$.
易证$△ ADP≌△ BDP$.
$\therefore∠ ADP=∠ BDP=90°$.
$\therefore∠ BPO+∠ ABP=90°$.
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB⊥ PB$.
$\therefore∠ PBO=90°$.
$\therefore∠ ABC+∠ ABP=90°$.
$\therefore∠ ABC=∠ BPO$.
$\therefore∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ BAC=90°$.
由(1)知，$∠ ADP=90°$.
$\therefore∠ BAC=∠ ADP$.
$\therefore AC// OP$.
规律方法 如图，PA，PB都与$\odot O$相切.在此图形中，$△ PAB$，$△ OAB$都是等腰三角形；OP平分$∠ AOB$，PO平分$∠ APB$；$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OP⊥ AB$.
(1)$∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$AC// OP$.
【证明】(1)$\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$∠ APB = 2∠ APO = 2∠ BPO$.
易证$△ ADP≌△ BDP$.
$\therefore∠ ADP=∠ BDP=90°$.
$\therefore∠ BPO+∠ ABP=90°$.
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB⊥ PB$.
$\therefore∠ PBO=90°$.
$\therefore∠ ABC+∠ ABP=90°$.
$\therefore∠ ABC=∠ BPO$.
$\therefore∠ APB=2∠ ABC$.
(2)$\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore∠ BAC=90°$.
由(1)知，$∠ ADP=90°$.
$\therefore∠ BAC=∠ ADP$.
$\therefore AC// OP$.
规律方法 如图，PA，PB都与$\odot O$相切.在此图形中，$△ PAB$，$△ OAB$都是等腰三角形；OP平分$∠ AOB$，PO平分$∠ APB$；$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，$OP⊥ AB$.
答案
证明：
(1) $\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$PO$平分$∠ APB$，即$∠ APB = 2∠ BPO$。
$\therefore PO ⊥ AB$，即$∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB ⊥ PB$，
$\therefore ∠ PBO = 90°$，
即$∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2) $\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$。
由(1)知$∠ ADP = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ ADP$，
$\therefore AC // OP$。
(1) $\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$PO$平分$∠ APB$，即$∠ APB = 2∠ BPO$。
$\therefore PO ⊥ AB$，即$∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB ⊥ PB$，
$\therefore ∠ PBO = 90°$，
即$∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2) $\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$。
由(1)知$∠ ADP = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ ADP$，
$\therefore AC // OP$。
解析
【分析】
(1) 证明角的倍分关系可先拆分大角，再证明小角相等：根据切线长定理可知PO平分∠APB，即∠APB=2∠BPO，因此只需证∠BPO=∠ABC即可。观察两个角均与∠ABP互余：由切线性质得PB⊥OB，可推出∠ABC+∠ABP=90°；由等腰△PAB三线合一得PO⊥AB，可推出∠BPO+∠ABP=90°，根据同角的余角相等即可得∠BPO=∠ABC，代入后即可完成证明。
(2) 证明两直线平行可通过角的等量关系推导：根据直径所对圆周角为直角，可得∠BAC=90°，结合第(1)问已证的OP⊥AB即∠ADP=90°，可得两个同位角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) $\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$PO$平分$∠ APB$，即$∠ APB = 2∠ BPO$。
$\therefore PO ⊥ AB$，即$∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB ⊥ PB$，
$\therefore ∠ PBO = 90°$，
即$∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2) $\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$。
由(1)知$∠ ADP = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ ADP$，
$\therefore AC // OP$。
【答案】
(1) $∠ APB=2∠ ABC$得证；(2) $AC// OP$得证，证明过程见解析。
【知识点】
切线长定理；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合证明题，属于圆章节的典型常规题型，核心考察切线相关性质与平行线判定的结合应用，解题关键是熟练运用切线长定理、直径所对圆周角为直角的性质，通过角的等量代换完成推导，掌握此类题型的推导逻辑对后续圆的综合题学习有很大帮助。
【难度系数】
0.75
(1) 证明角的倍分关系可先拆分大角，再证明小角相等：根据切线长定理可知PO平分∠APB，即∠APB=2∠BPO，因此只需证∠BPO=∠ABC即可。观察两个角均与∠ABP互余：由切线性质得PB⊥OB，可推出∠ABC+∠ABP=90°；由等腰△PAB三线合一得PO⊥AB，可推出∠BPO+∠ABP=90°，根据同角的余角相等即可得∠BPO=∠ABC，代入后即可完成证明。
(2) 证明两直线平行可通过角的等量关系推导：根据直径所对圆周角为直角，可得∠BAC=90°，结合第(1)问已证的OP⊥AB即∠ADP=90°，可得两个同位角相等，即可判定两直线平行。
【解析】
(1) $\because PA$，$PB$均与$\odot O$相切，切点分别为$A$，$B$，
$\therefore PA = PB$，$PO$平分$∠ APB$，即$∠ APB = 2∠ BPO$。
$\therefore PO ⊥ AB$，即$∠ BDP = 90°$，
$\therefore ∠ BPO + ∠ ABP = 90°$。
$\because PB$与$\odot O$相切于点$B$，
$\therefore OB ⊥ PB$，
$\therefore ∠ PBO = 90°$，
即$∠ ABC + ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BPO$，
$\therefore ∠ APB = 2∠ ABC$。
(2) $\because BC$是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ BAC = 90°$。
由(1)知$∠ ADP = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ ADP$，
$\therefore AC // OP$。
【答案】
(1) $∠ APB=2∠ ABC$得证；(2) $AC// OP$得证，证明过程见解析。
【知识点】
切线长定理；圆周角定理；平行线的判定
【点评】
本题是圆的基础综合证明题，属于圆章节的典型常规题型，核心考察切线相关性质与平行线判定的结合应用，解题关键是熟练运用切线长定理、直径所对圆周角为直角的性质，通过角的等量代换完成推导，掌握此类题型的推导逻辑对后续圆的综合题学习有很大帮助。
【难度系数】
0.75
