登录
1. 对于抛物线$y=-2(x+1)^2+3$，下列说法正确的是（
A.对称轴是直线$x=1$
B.顶点坐标为$(1,3)$
C.当$x=-1$时，$y$取最大值3
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
C
）A.对称轴是直线$x=1$
B.顶点坐标为$(1,3)$
C.当$x=-1$时，$y$取最大值3
D.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的含义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断最值和增减性，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
抛物线的解析式为顶点式$y=-2(x+1)^2+3$，可变形为$y=-2[x-(-1)]^2+3$，其中$a=-2＜0$，$h=-1$，$k=3$。
选项A：对称轴为直线$x=h=-1$，不是$x=1$，故A错误；
选项B：顶点坐标为$(h,k)=(-1,3)$，不是$(1,3)$，故B错误；
选项C：由于$a=-2＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，因此当$x=-1$时，$y$取最大值$3$，故C正确；
选项D：抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
顶点式二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，易错点是容易混淆顶点式中$h$的符号，只要牢记参数对应的几何意义，结合开口方向分析即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式的图象与性质，解题时先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$中各参数的含义：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，再结合开口方向判断最值和增减性，逐一验证四个选项即可得出正确答案。
【解析】
抛物线的解析式为顶点式$y=-2(x+1)^2+3$，可变形为$y=-2[x-(-1)]^2+3$，其中$a=-2＜0$，$h=-1$，$k=3$。
选项A：对称轴为直线$x=h=-1$，不是$x=1$，故A错误；
选项B：顶点坐标为$(h,k)=(-1,3)$，不是$(1,3)$，故B错误；
选项C：由于$a=-2＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，因此当$x=-1$时，$y$取最大值$3$，故C正确；
选项D：抛物线开口向下，在对称轴右侧（即$x＞-1$时），$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
顶点式二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式基本性质的掌握，易错点是容易混淆顶点式中$h$的符号，只要牢记参数对应的几何意义，结合开口方向分析即可正确求解。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】将抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 先向左平移 3 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，可以得到抛物线 。
【答案】$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
规律方法 一般地，抛物线 $y=a(x-h)^2 +k$ 与 $y=ax^2$ 的形状相同，位置不同。把抛物线 $y=ax^2$ 向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线 $y=a(x-h)^2 +k$。平移的方向、距离要根据 $h,k$ 的值来决定。
【答案】$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4$
规律方法 一般地，抛物线 $y=a(x-h)^2 +k$ 与 $y=ax^2$ 的形状相同，位置不同。把抛物线 $y=ax^2$ 向上(或向下)、向左(或向右)平移，可以得到抛物线 $y=a(x-h)^2 +k$。平移的方向、距离要根据 $h,k$ 的值来决定。
答案
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4}$
解析
【分析】
遇到抛物线平移类问题，首先回忆二次函数平移的核心规律“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量x进行操作，向左平移n个单位就将x替换为x+n，向右平移n个单位就将x替换为x-n；上下平移是对函数整体进行操作，向上平移m个单位就整体加m，向下平移m个单位就整体减m。接下来按照题目给出的平移顺序，逐步对原解析式做变换即可得到结果。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$
1. 第一步执行向左平移3个单位长度的操作：根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+3$，得到平移后的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$；
2. 第二步执行向下平移4个单位长度的操作：根据“上加下减”的规律，在上述解析式的基础上整体减去4，最终得到平移后的抛物线解析式。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础常规题型，核心考查对平移规则的理解与应用，解题时要注意区分左右平移是针对自变量x的变换，上下平移是针对函数整体的变换，避免混淆变换对象即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
遇到抛物线平移类问题，首先回忆二次函数平移的核心规律“左加右减，上加下减”：其中左右平移是对自变量x进行操作，向左平移n个单位就将x替换为x+n，向右平移n个单位就将x替换为x-n；上下平移是对函数整体进行操作，向上平移m个单位就整体加m，向下平移m个单位就整体减m。接下来按照题目给出的平移顺序，逐步对原解析式做变换即可得到结果。
【解析】
已知原抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2$
1. 第一步执行向左平移3个单位长度的操作：根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+3$，得到平移后的解析式为$y=-\frac{1}{2}(x+3)^2$；
2. 第二步执行向下平移4个单位长度的操作：根据“上加下减”的规律，在上述解析式的基础上整体减去4，最终得到平移后的抛物线解析式。
【答案】
$\boldsymbol{y=-\frac{1}{2}(x+3)^2 -4}$
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础常规题型，核心考查对平移规则的理解与应用，解题时要注意区分左右平移是针对自变量x的变换，上下平移是针对函数整体的变换，避免混淆变换对象即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
2. 要将抛物线 $y=2(x-2)^2+1$ 平移得到抛物线 $y=2(x+1)^2-1$，可以 （
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
D.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
B
）A.先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度
D.先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
答案
2. B
解析
【分析】
解决二次函数平移问题有两种常用思路：一是抛物线平移时形状不变（即a不变），平移本质是顶点的平移，只要找到两个抛物线的顶点坐标，对比顶点的平移规律即可得到抛物线的平移方式；二是直接利用平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”，对比两个解析式的变化推导平移步骤。
【解析】
方法一：通过顶点坐标判断
抛物线$y=2(x-2)^2+1$的顶点坐标为$(2,1)$，抛物线$y=2(x+1)^2-1$的顶点坐标为$(-1,-1)$。
横坐标变化：从2到-1，$2-(-1)=3$，说明顶点向左平移了3个单位长度；
纵坐标变化：从1到-1，$1-(-1)=2$，说明顶点向下平移了2个单位长度。
因此平移方式为先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度。
方法二：通过平移口诀验证
对原抛物线$y=2(x-2)^2+1$，先向左平移3个单位，将自变量$x$替换为$x+3$，得：
$y=2[(x+3)-2]^2+1=2(x+1)^2+1$
再向下平移2个单位，将整体减去2，得：
$y=2(x+1)^2+1-2=2(x+1)^2-1$，和目标解析式一致，验证成立。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础考查题，两种解题方法都紧扣核心规律，熟练掌握平移口诀或顶点平移的本质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解决二次函数平移问题有两种常用思路：一是抛物线平移时形状不变（即a不变），平移本质是顶点的平移，只要找到两个抛物线的顶点坐标，对比顶点的平移规律即可得到抛物线的平移方式；二是直接利用平移口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”，对比两个解析式的变化推导平移步骤。
【解析】
方法一：通过顶点坐标判断
抛物线$y=2(x-2)^2+1$的顶点坐标为$(2,1)$，抛物线$y=2(x+1)^2-1$的顶点坐标为$(-1,-1)$。
横坐标变化：从2到-1，$2-(-1)=3$，说明顶点向左平移了3个单位长度；
纵坐标变化：从1到-1，$1-(-1)=2$，说明顶点向下平移了2个单位长度。
因此平移方式为先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度。
方法二：通过平移口诀验证
对原抛物线$y=2(x-2)^2+1$，先向左平移3个单位，将自变量$x$替换为$x+3$，得：
$y=2[(x+3)-2]^2+1=2(x+1)^2+1$
再向下平移2个单位，将整体减去2，得：
$y=2(x+1)^2+1-2=2(x+1)^2-1$，和目标解析式一致，验证成立。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数顶点式的性质
2.二次函数图象的平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础考查题，两种解题方法都紧扣核心规律，熟练掌握平移口诀或顶点平移的本质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
