8. 在平面直角坐标系$xOy$中,点$P的坐标为(3m,-4m + 4)$,一次函数$y = \frac{4}{3}x + 12的图象与x$轴、$y轴分别相交于点A,B$,若点$P在\triangle AOB$的内部,则$m$的取值范围为 ()
A. $m ＞ -1或m ＜ 0$
B. $-3 ＜ m ＜ 1$
C. $-1 ＜ m ＜ 0$
D. $-1 ≤ m ≤ 1$

C解析:如图所示,可得函数y=$\frac{4}{3}$x+12的图象与坐标轴的交点为A(−9,0),B(0,12).∵点P的坐标为(3m,−4m+4),x=3m,y=−4m+4,∴可得y=−$\frac{4}{3}$x+4.联立$\begin{cases}y = \frac{4}{3}x + 12, \\y = -\frac{4}{3}x + 4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -3, \\y = 8,\end{cases}$∴E(−3,8).
∵点P在△AOB的内部,∴$\begin{cases}-3 ＜ 3m ＜ 0, \\4 ＜ -4m + 4 ＜ 8,\end{cases}$−1＜m＜0,故选C.

9. 如果方程组$\begin{cases}y = -x + 1,\\y = (2k + 1)x - 3\end{cases}$无解,那么直线$y = (-k + 1)x - 3$不经过第______象限.

二　解析:∵方程组$\begin{cases}y = -x + 1, \\y = (2k + 1)x - 3\end{cases}$无解,∴直线y=−x+1与y=(2k+1)x−3平行,∴−1=2k+1,解得k=−1.在直线y=2x−3中,∵2＞0,−3＜0,∴直线y=2x−3经过第一、三、四象限,不经过第二象限

10. 在平面直角坐标系中,若一点的纵、横坐标都是整数,则称该点为整点.设$k$为整数,当直线$y = x - 2与y = kx + k$的交点为整点时,$k$的值为______.

0或2或4或−2　解析:①当k=0时,y=kx+k=0,即为x轴,则直线y=x−2和x轴的交点为(2,0),满足题意,∴k=0;②当k≠0时,$\begin{cases}y = x - 2, \\y = kx + k,\end{cases}$∴x−2=kx+k,∴(k−1)x=−(k+2).∵k,x都是整数,k≠1,k≠0,∴x=$\frac{−(k + 2)}{k - 1}$=−1−$\frac{3}{k - 1}$是整数,∴k−1=±1或±3,∴k=2或k=4或k=−2.综上,k的值为0或2或4或−2.

11. 如图,直线$l_1的表达式为y = -x + 4$,直线$l_2的表达式为y = x - 2$,$l_1和l_2的交点为B$.
(1)直接写出点$B$的坐标.
(2)平行于$y轴的直线交x轴于点M$,交直线$l_1于点E$,交直线$l_2于点F$.
①分别求出当$x = 2和x = 4时EF$的值;
②写出线段$EF的长y与x$的函数表达式,并画出函数图象$L$;
③在②的条件下,如果直线$y = kx + 6与L$只有一个公共点,直接写出$k$的取值范围.

(1)点B的坐标为(3,1).
(2)①如图①,当x=2时,y=−x+4=2,∴E(2,2).当x=2时,y=x−2=0,∴F(2,0),∴EF=2.

如图②,当x=4时,y=−x+4=0,∴E(4,0).当x=4时,y=x−2=2,∴F(4,2),∴EF=2.

②当x≤3时,y=−x+4−(x−2)=−2x+6.当x＞3时,y=x−2−(−x+4)=2x−6,∴线段EF的长y与x的函数表达式为y=$\begin{cases}-2x + 6(x ≤ 3), \\2x - 6(x ＞ 3),\end{cases}$图象如图③所示.

③k≥2或k＜−2.

12. (乐山中考改编)已知直线$l_1:y = (k - 1)x + k + 1和直线l_2:y = kx + k + 2$,其中$k$为不小于 2 的自然数.
(1)当$k = 2$时,直线$l_1,l_2与x轴围成的三角形的面积S_2 = $______;
(2)当$k = 2,3,4,…,2025$时,设直线$l_1,l_2与x轴围成的三角形的面积分别为S_2,S_3,S_4,…,S_{2025}$,则$S_2 + S_3 + S_4 + … + S_{2025} = $______.

(1)1　(2)$\frac{4048}{2025}$　解析:(1)当y=0时,有(k−1)x+k+1=0,解得x=−1−$\frac{2}{k - 1}$,∴直线$l_1$与x轴的交点坐标为(−1−$\frac{2}{k - 1}$,0),同理可得出直线$l_2$与x轴的交点坐标为(−1−$\frac{2}{k}$,0),∴两直线与x轴交点间的距离d=−1−$\frac{2}{k}$−(−1−$\frac{2}{k - 1}$)=$\frac{2}{k - 1}$−$\frac{2}{k}$联立直线$l_1$,$l_2$,得$\begin{cases}y = (k - 1)x + k + 1, \\y = kx + k + 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = -1, \\y = 2,\end{cases}$∴直线$l_1$,$l_2$的交点坐标为(−1,2).当k=2时,d=$\frac{2}{k - 1}$−$\frac{2}{k}$=1,∴$S_2$=$\frac{1}{2}$×2d=d=1.
(2)当k=3时,$S_3$=$\frac{2}{2}$−$\frac{2}{3}$;当k=4时,$S_4$=$\frac{2}{3}$−$\frac{2}{4}$;...;当k=2025时,$S_{2025}$=$\frac{2}{2024}$−$\frac{2}{2025}$,∴$S_2 + S_3 + S_4 + \cdots + S_{2025}$=$\frac{2}{1}$−$\frac{2}{2}$+$\frac{2}{2}$−$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$−$\frac{2}{4}$+...+$\frac{2}{2024}$−$\frac{2}{2025}$=$\frac{2}{1}$−$\frac{2}{2025}$=2−$\frac{2}{2025}$=$\frac{4048}{2025}$.

13. (2025·宁波期中)如图①,一辆货车从南京出发匀速驶往上海,途经苏州;同时,一辆轿车从苏州出发匀速驶往南京,到达南京后停留 1 小时,然后原速返回苏州,两车同时到达目的地.设货车行驶$x$h 时,货车与苏州的距离为$y_1$km,轿车与苏州的距离为$y_2$km,$y_1,y_2与x$的函数图象如图②所示.
(1)货车的速度是______km/h,轿车的速度是______km/h;
(2)通过计算,分别解释点$G,H$的实际意义;
(3)设轿车、货车间的距离为$s$km,在图③中画出$s与x$的函数图象(标明必要的数据).

(1)70　105　解析:根据题图②可知,货车的速度为$\frac{210}{3}$=70(km/h),轿车的速度为$\frac{420}{5 - 1}$=105(km/h).
(2)设AB所在直线的函数表达式为y=kx+b,则$\begin{cases}b = 210, \\3k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -70, \\b = 210.\end{cases}$∴AB所在直线的函数表达式为y=−70x+210(0≤x≤3),∵货车的速度为70km/h,∴BC所在直线的函数表达式为y=70(x−3)=70x−210(3＜x≤5).∵轿车的速度为105km/h,∴$\frac{210}{105}$=2(h).∴D(2,210),E(3,210).∴OD所在直线的函数表达式为y=105x(0≤x≤2).设EF所在直线的函数表达式为y=mx+n,则$\begin{cases}3m + n = 210, \\5m + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = -105, \\n = 525.\end{cases}$∴EF所在直线的函数表达式为y=−105x+525(3≤x≤5).由$\begin{cases}y = -70x + 210, \\y = 105x,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 1.2, \\y = 126,\end{cases}$∴G(1.2,126).由$\begin{cases}y = 70x - 210, \\y = -105x + 525,\end{cases}$得$\begin{cases}x = 4.2, \\y = 84,\end{cases}$∴H(4.2,84).∴点G的实际意义为轿车与货车出发1.2h时，在南京与苏州之间，距离苏州126km的地方相遇;点H的实际意义为轿车与货车出发4.2h时,轿车在南京与苏州之间,货车在苏州与上海之间,两车都距离苏州84km.
(3)由题意可知,南京到苏州210km,苏州到上海2×70=140(km).如图所示