1. (2025·茂名期中)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $ y = kx + 2 $ 的图象与 $ x $ 轴交点为 $ A(-2,0) $,与 $ y $ 轴交点为 $ B $,且与正比例函数 $ y = mx $ 的图象交于点 $ C(2,4) $.
(1)求 $ m $ 的值及一次函数 $ y = kx + 2 $ 的表达式;
(2)若 $ P $ 是 $ x $ 轴上一点,且 $ \triangle PBC $ 的面积是 6,直接写出点 $ P $ 的坐标.

(1) 把 $ C(2,4) $ 代入 $ y = mx $ 得，$ 4 = 2m $，$ \therefore m = 2 $。$ \because $ 一次函数 $ y = kx + 2 $ 的图象与 $ x $ 轴交点为 $ A(-2,0) $，$ \therefore -2k + 2 = 0 $，$ \therefore k = 1 $，$ \therefore $ 直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = x + 2 $。
(2) 点 $ P $ 的坐标为 $ (-8,0) $ 或 $ (4,0) $ 解析：把 $ x = 0 $ 代入 $ y = x + 2 $，得 $ y = 2 $，$ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (0,2) $。$ \because $ 点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一点，且 $ \triangle BPC $ 的面积为 $ 6 $，$ \therefore S_{\triangle BPC} = S_{\triangle APC} - S_{\triangle ABP} = \frac{1}{2} \times AP \times 4 - \frac{1}{2} \times AP \times 2 = 6 $，$ \therefore AP = 6 $。又 $ \because $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $，$ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (-8,0) $ 或 $ (4,0) $。

2. 已知一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图象经过点 $ (0,-2) $,且与两坐标轴围成三角形的面积为 3,求此一次函数表达式.

$ \because $ 一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图象过点 $ (0,-2) $，$ \therefore b = -2 $。
设一次函数与 $ x $ 轴的交点是 $ (a,0) $，则 $ \frac{1}{2} \times 2 \times |a| = 3 $，解得 $ a = 3 $ 或 $ -3 $。把 $ (3,0) $ 代入 $ y = kx - 2 $，得 $ 3k - 2 = 0 $，解得 $ k = \frac{2}{3} $，则函数的表达式是 $ y = \frac{2}{3}x - 2 $；把 $ (-3,0) $ 代入 $ y = kx - 2 $，得 $ -3k - 2 = 0 $，解得 $ k = -\frac{2}{3} $，则函数的表达式是 $ y = -\frac{2}{3}x - 2 $。则此一次函数表达式为 $ y = -\frac{2}{3}x - 2 $ 或 $ y = \frac{2}{3}x - 2 $。

3. (2025·毕节期末)如图,在平面直角坐标系中,过点 $ C(0,6) $ 的直线 $ AC $ 与直线 $ OA $ 相交于点 $ A(4,2) $.
(1)求直线 $ AC $ 的表达式.
(2)求 $ \triangle OAC $ 的面积.
(3)动点 $ M $ 在线段 $ OA $ 和射线 $ AC $ 上运动,是否存在点 $ M $,使 $ \triangle OMC $ 的面积是 $ \triangle OAC $ 的面积的 $ \frac{1}{2} $? 若存在,求出此时点 $ M $ 的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 设直线 $ AC $ 的表达式是 $ y = kx + b $，根据题意得 $ \begin{cases} 4k + b = 2 \\ b = 6 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = -1 \\ b = 6 \end{cases} $，则直线 $ AC $ 的表达式是 $ y = -x + 6 $。
(2) $ \because C(0,6) $，$ A(4,2) $，$ \therefore OC = 6 $，$ \therefore S_{\triangle OAC} = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12 $。
(3) 存在。设直线 $ OA $ 的表达式是 $ y = mx $，则 $ 4m = 2 $，解得 $ m = \frac{1}{2} $。
则直线 $ OA $ 的表达式是 $ y = \frac{1}{2}x $。$ \because \triangle OMC $ 的面积是 $ \triangle OAC $ 的面积的 $ \frac{1}{2} $ 时，$ \therefore M $ 到 $ y $ 轴的距离是 $ \frac{1}{2} \times 4 = 2 $，$ \therefore $ 点 $ M $ 的横坐标为 $ 2 $ 或 $ -2 $。
当 $ M $ 的横坐标是 $ 2 $ 时，在 $ y = \frac{1}{2}x $ 中，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 1 $，则 $ M $ 的坐标是 $ (2,1) $。在 $ y = -x + 6 $ 中，当 $ x = 2 $ 时，则 $ y = 4 $，则 $ M $ 的坐标是 $ (2,4) $。则 $ M $ 的坐标是 $ M_1(2,1) $ 或 $ M_2(2,4) $。
当 $ M $ 的横坐标是 $ -2 $ 时，在 $ y = -x + 6 $ 中，当 $ x = -2 $ 时，$ y = 8 $，则 $ M $ 的坐标是 $ (-2,8) $。
综上所述，$ M $ 的坐标是 $ (2,1) $ 或 $ (2,4) $ 或 $ (-2,8) $。

4. 如图,直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = -\frac{3}{4}x + 6 $,交 $ x $ 轴、 $ y $ 轴分别于 $ B,A $ 两点,点 $ D $ 坐标为 $ (-4,0) $,点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上, $ CD $ 交 $ y $ 轴于点 $ E $.
(1)求点 $ A,B $ 的坐标;
(2)若 $ CD = CB $,求点 $ C $ 的坐标;
(3)若 $ \triangle ACE $ 与 $ \triangle DOE $ 的面积相等,在直线 $ AB $ 上有点 $ P $,满足 $ \triangle DOC $ 与 $ \triangle DPC $ 的面积相等,求点 $ P $ 的坐标.

(1) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = -\frac{3}{4}x + 6 = 6 $，$ \therefore A(0,6) $。
当 $ y = 0 $ 时，$ -\frac{3}{4}x + 6 = 0 $，解得 $ x = 8 $，$ \therefore B(8,0) $。
(2) 过点 $ C $ 作 $ CH \perp x $ 轴于点 $ H $，如图
$ \because CD = CB $，$ \therefore DH = BH = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \times [8 - (-4)] = 6 $，$ \therefore OH = OB - BH = 2 $。当 $ x = 2 $ 时，$ y = -\frac{3}{4}x + 6 = \frac{9}{2} $，$ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (2,\frac{9}{2}) $。

(3) $ \because \triangle ACE $ 与 $ \triangle DOE $ 的面积相等，$ \therefore \triangle AOC $ 与 $ \triangle COD $ 的面积相等，连接 $ AD $。$ \therefore AD // OC $。设 $ AD $ 所在直线的表达式为 $ y = kx + b $，把 $ A(0,6) $，$ D(-4,0) $ 分别代入，得 $ \begin{cases} b = 6 \\ -4k + b = 0 \end{cases} $，解得 $ \begin{cases} k = \frac{3}{2} \\ b = 6 \end{cases} $，$ \therefore $ 直线 $ AD $ 的表达式为 $ y = \frac{3}{2}x + 6 $。$ \therefore $ 直线 $ OC $ 的表达式为 $ y = \frac{3}{2}x $。解方程组 $ \begin{cases} y = -\frac{3}{4}x + 6 \\ y = \frac{3}{2}x \end{cases} $ 得 $ \begin{cases} x = \frac{8}{3} \\ y = 4 \end{cases} $，$ \therefore C(\frac{8}{3},4) $。设 $ P(t,-\frac{3}{4}t + 6) $。当点 $ P $ 在点 $ C $ 下方时，$ S_{\triangle PCD} = S_{\triangle BCD} - S_{\triangle PBD} $。$ \because \triangle DOC $ 与 $ \triangle DPC $ 的面积相等，$ \therefore \frac{1}{2} \times 12 \times 4 - \frac{1}{2} \times 12 \times (-\frac{3}{4}t + 6) = 8 $，解得 $ t = \frac{40}{9} $。此时点 $ P $ 坐标为 $ (\frac{40}{9},\frac{8}{3}) $。当点 $ P $ 在点 $ C $ 上方时，$ S_{\triangle PCD} = S_{\triangle PBD} - S_{\triangle CBD} $。
$ \because \triangle DOC $ 与 $ \triangle DPC $ 的面积相等，$ \therefore \frac{1}{2} \times 12 \times (-\frac{3}{4}t + 6) - \frac{1}{2} \times 12 \times 4 = 8 $，解得 $ t = \frac{8}{9} $。此时点 $ P $ 坐标为 $ (\frac{8}{9},\frac{16}{3}) $。综上所述，点 $ P $ 坐标为 $ (\frac{40}{9},\frac{8}{3}) $ 或 $ (\frac{8}{9},\frac{16}{3}) $。