三、解答题(共40分)
11. (12分)如图,四边形ABCD的四个顶点都在$\odot O$上,DB平分$∠ ADC$,连接OC,且$OC⊥ BD$.
(1)求证:$AB=CD$.
(2)若$CD=5$,$BD=8$,求$\odot O$的半径.

(1)证明：
因为$DB$平分$\angle ADC，$所以$\angle ADB = \angle CDB，$根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可得$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}。$ 又因为$OC\perp BD，$根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的弧，所以$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}，$则$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}，$再根据同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所以$AB = CD。$ (2)解：连接$OB，$$OC$与$BD$交于点$E。$ 因为$OC\perp BD，$所以$BE = DE=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\times8 = 4。$ 在$Rt\triangle CDE$中，根据勾股定理$CE=\sqrt{CD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3。$ 设$\odot O$的半径为$r，$则$OE=r - 3。$ 在$Rt\triangle OBE$中，根据勾股定理$OB^{2}=OE^{2}+BE^{2}，$即$r^{2}=4^{2}+(r - 3)^{2}。$ 展开得$r^{2}=16+r^{2}-6r + 9，$ 移项可得$6r=25，$ 解得$r=\frac{25}{6}，$所以$\odot O$的半径是$\frac{25}{6}。$ ;

12. (14 分)如图, AB 是$\odot O$的直径, C 为$\odot O$上一点, 连接 AC、BC, 过点 O 作$OD ⊥ BC$于点 D, 延长 OD 交$\odot O$于点 E, 连接 AE.
(1)求证:$OE // AC$.
(2)若$AC=1,AB=4$,求 AE 的长.

(1)证明：
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}，$即$AC\perp BC。$ 又因为$OD\perp BC，$所以$AC// OE。$ (2)解：连接$BE。$ 因为$AB$是直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}，$$\angle AEB = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{4^{2}-1^{2}}=\sqrt{15}。$ 因为$OD\perp BC，$$OE$是$\odot O$的半径，所以$CD = BD=\frac{\sqrt{15}}{2}，$$OD$为$\triangle ABC$的中位线，则$OD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}。$ 因为$OE = 2，$所以$DE = OE - OD=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}。$ 在$Rt\triangle BDE$中，根据勾股定理$BE=\sqrt{BD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{15}}{2})^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{15 + 9}{4}}=\sqrt{6}。$ 在$Rt\triangle ABE$中，根据勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{4^{2}-(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{16 - 6}=\sqrt{10}。$ ;

13. (14分)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD//BC,以CD为直径的⊙O与边BC交于点E,与对角线BD交于点F,连接DE、CF.
(1)请判断四边形ABED的形状,并说明理由.
(2)若AD=3,2DF=BF,∠ABD=30°,求⊙O的半径.

解: (1)四边形$ABED$是矩形。 理由：因为$CD$是$\odot O$的直径，所以$\angle CED = 90^{\circ}，$则$\angle BED=180^{\circ}-\angle CED = 180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}。$ 因为$AD// BC，$所以$\angle ABC+\angle A = 180^{\circ}，$又因为$\angle A = 90^{\circ}，$所以$\angle ABC = 90^{\circ}。$ 所以四边形$ABED$是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。 (2)因为$\angle A = 90^{\circ}，$$\angle ABD = 30^{\circ}，$所以$BD = 2AD=2\times3 = 6。$ 因为$2DF = BF，$所以$BF = 4，$$DF = 2。$ 因为四边形$ABED$是矩形，所以$\angle FDE=\angle ABD = 30^{\circ}，$则$\angle FCE=\angle FDE = 30^{\circ}。$ 因为$CD$是$\odot O$的直径，所以$\angle CFD = 90^{\circ}，$则$\angle BFC = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle BCF$中，$CF=\sqrt{3}BF = 4\sqrt{3}。$ 在$Rt\triangle CDF$中，根据勾股定理$CD=\sqrt{CF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{(4\sqrt{3})^{2}+2^{2}}=\sqrt{48 + 4}=2\sqrt{13}，$所以$\odot O$的半径是$\sqrt{13}。$