1[2026辽宁阜新期中]某同学自主学会了某几何模型，并把它分享给学校里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次所有会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样共有36名同学会做这个模型。若设1名同学每次都能教会$x$名同学，则下列结论错误的是（）

A.第一次后共有$(x+1)$名同学会做这个模型
B.第二次又增加$(x+1)x$名同学会做这个模型
C.依题意可列方程为$1+x+(x+1)x=36$
D.不考虑其他因素，经过三次一共会有180名同学会做这个模型

∵第一次后会做这个模型的总人数为 1+x,
∴第二次后会做这个模型的总人数为1+x+(1+x)x=36,化简得$(1+x)^2=36$,解得$x=5$(负值已舍去),
∴第三次后会做这个模型的总人数为 36+36×5=216,
∴选项 A、B、C 均正确,选项 D 错误. 故选 D.

2[2026湖北武汉校级质检]某种电脑病毒传播非常快,如果有1台电脑被感染,经过2轮感染后就会有81台电脑被感染.
(1)每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑?
(2)若病毒得不到有效控制,经过3轮感染后被感染的电脑会不会超过700台?

(1)设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑. 根据题意得$1+x+(1+x)x=81$,整理得$(1+x)^2=81$,
∴$1+x=±9$,解得$x_1=8$,$x_2=-10$(不符合题意,舍去).
答:每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑.
(2)$81×(1+8)=81×9=729$(台)＞700(台).
答:经过3轮感染后被感染的电脑会超过700台.

3[2026湖北武汉期中]一辆新车购买价为20万元，第一年使用后折旧率为20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同.若第三年年末这辆车折旧后价格为11.56万元，则第二、三年的年折旧率为（）

A.10%
B.15%
C.20%
D.25%

∵新车购买价为20万元,第一年折旧率为20%,
∴第一年后价格为$20×(1-20\%)=16$(万元).设第二、三年的年折旧率为x,则第二年后价格为$16(1-x)$万元,第三年后价格为$16(1-x)^2$万元. 根据题意,得$16(1-x)^2=11.56$,
∴$x=0.15=15\%$或$x=1.85$(舍去),故选 B.

4[2025山西吕梁质检]为开拓市场，某蛋糕生产厂家采用线下和线上两种销售方式销售蛋糕，厂长统计了今年6月份和8月份线上销售量占总销售量的百分比，并绘制成如图所示的两幅扇形统计图，由统计图可知，线上销售量占比的月平均增长率为。

设线上销售量占比的月平均增长率为x. 根据题意,得$25\%(1+x)^2=30.25\%$,解得$x_1=0.1=10\%$,$x_2=-2.1$(不合题意,舍去),
∴线上销售量占比的月平均增长率为10%. 故答案为10%.

5 距期末考试还有20天的时候，为鼓舞干劲，班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言，小明所在的“战无不胜”学习小组共写了30份留言，则该学习小组共有学生（）

A.4人
B.5人
C.6人
D.7人

设该学习小组共有学生x人,则每人需写$(x-1)$份拼搏进取的留言. 依题意得$x(x-1)=30$,整理得$x^2-x-30=0$,解得$x_1=6$,$x_2=-5$(不合题意,舍去). 故选 C.

6（新考法[2026宁夏银川期中]问题：某次同学聚会，所有到会同学都互相握1次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有x人，则根据题意，可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=45$。
拓展：我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线，如：四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条。
(1)六边形的对角线有条，七边形的对角线有条。
(2)多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由。

(1)
∵六边形的每个顶点可以与另外3个顶点连接形成对角线,
∴每个顶点可以形成3条对角线,
∴六边形的对角线数量为$\frac{6×3}{2}=9$(条).
∵七边形的每个顶点可以与另外4个顶点连接形成对角线,
∴每个顶点可以形成4条对角线,
∴七边形的对角线数量为$\frac{7×4}{2}=14$(条). 故答案为9,14.
(2)可以.
∵在n边形中,每个顶点可以与$(n-3)$个顶点连接形成对角线,
∴每个顶点可以形成$(n-3)$条对角线,
∴n边形的对角线数量为$\frac{n(n-3)}{2}$条. 当对角线数量为27条时,可以得到方程$\frac{n(n-3)}{2}=27$,化简为$n^2-3n-54=0$,解得$n=9$或$n=-6$.
∵n为正整数,
∴$n=9$,即多边形的边数为9.