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1[2025青海中考]若$x=1$是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，则$c$的值为
3
.答案
若x=1是一元二次方程x²-4x+c=0的一个根，则1²-4×1+c=0，解得c=3。故答案为3。
2[2025贵州中考]一元二次方程$x^2 -1=0$的根是
$x_1 = 1, x_2 = -1$
答案
∵x²-1=0，
∴x²=1，
∴x₁=1，x₂=-1，故答案为$x_1 = 1, x_2 = -1$。
3 [2025 黑龙江齐齐哈尔中考]解方程：$x^2 -7x=-12$
答案
整理得$x^2 -7x + 12 = 0$，因式分解得$(x-4)(x-3)=0$，所以$x-4=0$或$x-3=0$，解得$x_1=4$，$x_2=3$。
4[2025安徽中考]下列方程中,有两个不相等的实数根的是（
A.$x^2+1=0$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x^2+x+1=0$
D.$x^2+x-1=0$
D
）A.$x^2+1=0$
B.$x^2-2x+1=0$
C.$x^2+x+1=0$
D.$x^2+x-1=0$
答案
A选项，Δ=-4＜0，故方程没有实数根；B选项，Δ=0，故方程有两个相等的实数根；C选项，Δ=-3＜0，故方程没有实数根；D选项，Δ=5＞0，故方程有两个不相等的实数根。故选D。
5[2025 四川内江中考]若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根,则实数a的取值范围是 (
A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
C
)A.$a≤2$
B.$a＜2$
C.$a≤2$且$a≠1$
D.$a＜2$且$a≠1$
答案
∵关于x的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根，
∴$\begin{cases}a-1≠0,\\Δ=2^2-4(a-1)×1≥0,\end{cases}$解得$a≤2$且$a≠1$，
∴实数a的取值范围是$a≤2$且$a≠1$。故选C。
6[2025 北京中考]若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + 2x + 1 = 0 $ 有两个相等的实数根,则实数 $ a $ 的值为 (
A.-4
B.-1
C.1
D.4
C
)A.-4
B.-1
C.1
D.4
答案
∵关于x的一元二次方程$ax^2+2x+1=0$有两个相等的实数根，
∴Δ=0且$a≠0$，
∴$2^2-4a=0$且$a≠0$，
∴$a=1$。故选C。
7[2025河北中考]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
方程$x(x+2)-3=0$，整理得$x^2+2x-3=0$，
∴两根之和$m=-2＜0$，两根之积$n=-3＜0$，
∴点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于第三象限。故选C。
∴两根之和$m=-2＜0$，两根之积$n=-3＜0$，
∴点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于第三象限。故选C。
8[2025 四川泸州中考]若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
.答案
将$x=α$代入原方程得$2α^2-6α-1=0$，
∴$2α^2-6α=1$。
∵一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β$，
∴$α+β=3$，
∴$2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$。故答案为10。
∴$2α^2-6α=1$。
∵一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根为$α,β$，
∴$α+β=3$，
∴$2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$。故答案为10。
9[2025四川南充中考]设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得$m^2=6$，
∴$m=±\sqrt{6}$，
∴$(x-1)(x-2)=6$，即$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$，
∴$x_2=4$，$m=±\sqrt{6}$。
(2)证明：
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$，即$x^2-3x+2-m^2=0$，
∴$Δ=4m^2+1＞0$，
∴无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根为$x_1,x_2$。
∵$x_1+x_2=3$，$x_1·x_2=2-m^2$，
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1·x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$。
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
∴$m=±\sqrt{6}$，
∴$(x-1)(x-2)=6$，即$x^2-3x-4=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$，
∴$x_2=4$，$m=±\sqrt{6}$。
(2)证明：
∵方程$(x-1)(x-2)=m^2$，即$x^2-3x+2-m^2=0$，
∴$Δ=4m^2+1＞0$，
∴无论m为何值，原方程都有两个不相等的实数根为$x_1,x_2$。
∵$x_1+x_2=3$，$x_1·x_2=2-m^2$，
∴$(x_1-1)(x_2-1)=x_1·x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$。
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
10[2025福建中考]为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示。设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（
A.$5x^2 = 6$
B.$5(1+x^2) = 6$
C.$x(5-x) = 6$
D.$5(1+x)^2 = 6$
C
）A.$5x^2 = 6$
B.$5(1+x^2) = 6$
C.$x(5-x) = 6$
D.$5(1+x)^2 = 6$
答案
已知矩形的一边长为x米，则另一边长为$(5-x)$米。根据矩形的面积为6平方米可列方程为$x(5-x)=6$。故选C。
11[2025 四川泸州中考]某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率;
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x。根据题意得$125(1-x)^2=80$，解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=1.8$(不符合题意，舍去)。答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%。
(2)设购进y件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品。根据题意得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$，解得$y≥40$，
∴y的最小值为40。答：最少购进40件甲种商品。
(2)设购进y件甲种商品，则购进$(100-y)$件乙种商品。根据题意得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$，解得$y≥40$，
∴y的最小值为40。答：最少购进40件甲种商品。
