登录
1.「2025湖北中考」一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
方程$x^2-4x+3=0$中,$a=1,b=-4,c=3$,根据一元二次方程根与系数的关系得$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4$,$x_1 · x_2=\frac{c}{a}=3$.故选 D.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题干给出的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带自身符号；第二步，根据韦达定理的公式，分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第三步，将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，由此可判断选项A、B错误；
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，由此可判断选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致两根之和的计算结果出错，只要准确识别各项系数、牢记公式就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：第一步，先明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，从题干给出的方程中准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要带自身符号；第二步，根据韦达定理的公式，分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；第三步，将计算结果和四个选项逐一对比，选出正确结论即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -4x +3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-4$，常数项$c=3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$，由此可判断选项A、B错误；
两根之积：$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$，由此可判断选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题的易错点是容易忽略一次项系数的负号，导致两根之和的计算结果出错，只要准确识别各项系数、牢记公式就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.关于$x$的方程$(x-1)(x+2)-p^2=0$（$p$为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（
A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
C
）A.两个正根
B.两个负根
C.一个正根，一个负根
D.无实数根
答案
原方程可化为$x^2+x-2-p^2=0$,$\therefore b^2-4ac=1+8+4p^2=9+4p^2＞0$,故方程有两个不相等的实数根.根据根与系数的关系,得方程的两个根的积为$-2-p^2＜0$,$\therefore$ 方程有一个正根,一个负根.故选 C.
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况及根的正负，可按以下思路解题：第一步，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断方程是否有实数根；第二步，若方程有实数根，再利用根与系数的关系，通过两根之积、两根之和的符号判断根的正负性：两根之积为负说明两根异号，两根之积为正则两根同号，再结合两根之和的符号进一步判断同正或同负。
【解析】
首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$(x-1)(x+2)-p^2=0$
展开得$x^2 + 2x - x - 2 - p^2 = 0$，即$x^2 + x - (2 + p^2) = 0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-(2+p^2)$
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×[-(2+p^2)] = 1 + 8 + 4p^2 = 9 + 4p^2$
$\because p^2 ≥ 0$，$\therefore 9 + 4p^2 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，排除D选项。
2. 根据根与系数的关系，方程两根之积为：
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-(2+p^2)}{1} = -2 - p^2$
$\because p^2 ≥ 0$，$\therefore -2 - p^2 ＜ 0$，说明两个实数根异号，即方程有一个正根、一个负根。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的相关判断的典型题型，解题核心是先通过判别式确认实数根是否存在，再结合根与系数的关系快速判断根的符号，不需要求出具体根即可得出结论，解题效率更高。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况及根的正负，可按以下思路解题：第一步，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，计算根的判别式Δ，根据Δ的符号判断方程是否有实数根；第二步，若方程有实数根，再利用根与系数的关系，通过两根之积、两根之和的符号判断根的正负性：两根之积为负说明两根异号，两根之积为正则两根同号，再结合两根之和的符号进一步判断同正或同负。
【解析】
首先将原方程展开整理为一元二次方程的一般形式：
$(x-1)(x+2)-p^2=0$
展开得$x^2 + 2x - x - 2 - p^2 = 0$，即$x^2 + x - (2 + p^2) = 0$
其中$a=1$，$b=1$，$c=-(2+p^2)$
1. 计算根的判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×[-(2+p^2)] = 1 + 8 + 4p^2 = 9 + 4p^2$
$\because p^2 ≥ 0$，$\therefore 9 + 4p^2 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根，排除D选项。
2. 根据根与系数的关系，方程两根之积为：
$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-(2+p^2)}{1} = -2 - p^2$
$\because p^2 ≥ 0$，$\therefore -2 - p^2 ＜ 0$，说明两个实数根异号，即方程有一个正根、一个负根。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
根的判别式；根与系数的关系；平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的相关判断的典型题型，解题核心是先通过判别式确认实数根是否存在，再结合根与系数的关系快速判断根的符号，不需要求出具体根即可得出结论，解题效率更高。
【难度系数】
0.8
3.若一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$,则一次函数$y=abx+a+b$的图象一定不经过（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
$\because$ 一元二次方程$x^2-4x-3=0$的两个实数根分别是$a,b$,$\therefore a+b=4$,$ab=-3$,$\therefore y=abx+a+b=-3x+4$,$\therefore$ 该函数的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选 C.
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，看到一元二次方程的两根a、b，优先想到根与系数的关系（韦达定理），对应方程的系数求出两根之和a+b、两根之积ab的值；第二步，把求出的a+b和ab代入一次函数表达式，得到具体的函数解析式；第三步，根据一次函数的斜率k和截距b的正负，判断图象经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
将$a+b=4$、$ab=-3$代入一次函数$y=abx+a+b$，得：
$y=-3x+4$
∵ 一次函数$y=-3x+4$中，斜率$k=-3＜0$，截距$b=4＞0$
∴ 该函数图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和一次函数的基础知识点结合考查，解题核心是先利用韦达定理求出一次函数的系数，再结合一次函数图象的象限规律判断，侧重考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：第一步，看到一元二次方程的两根a、b，优先想到根与系数的关系（韦达定理），对应方程的系数求出两根之和a+b、两根之积ab的值；第二步，把求出的a+b和ab代入一次函数表达式，得到具体的函数解析式；第三步，根据一次函数的斜率k和截距b的正负，判断图象经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$x^2 -4x -3=0$的两个实数根分别是$a,b$
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-\frac{-4}{1}=4$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
将$a+b=4$、$ab=-3$代入一次函数$y=abx+a+b$，得：
$y=-3x+4$
∵ 一次函数$y=-3x+4$中，斜率$k=-3＜0$，截距$b=4＞0$
∴ 该函数图象经过第一、二、四象限，一定不经过第三象限
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程和一次函数的基础知识点结合考查，解题核心是先利用韦达定理求出一次函数的系数，再结合一次函数图象的象限规律判断，侧重考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4.「2025四川攀枝花中考」已知$a,b$是方程$x^2 +2x -3=0$的两根，则$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值为
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
。答案
$\because a,b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根,$\therefore a+b=-2$,$ab=-3$,$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$.故答案为$\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
已知a、b是一元二次方程的两根，求代数式的值时，可优先利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算a、b的具体值。首先将所求的分式通分化简，得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，再根据方程求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
$\because a,b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
对所求式子通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
原式$=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，运用整体代入思想即可求解，避免了求解方程根的繁琐步骤，解题核心是将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式。
【难度系数】
0.8
已知a、b是一元二次方程的两根，求代数式的值时，可优先利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算a、b的具体值。首先将所求的分式通分化简，得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}$，再根据方程求出两根之和$a+b$与两根之积$ab$的值，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
$\because a,b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
对所求式子通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
原式$=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，运用整体代入思想即可求解，避免了求解方程根的繁琐步骤，解题核心是将所求代数式转化为含两根之和、两根之积的形式。
【难度系数】
0.8
5. 学科特色教材变式 利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和与两根之积.
(1)$x^2 + 4x = 0$.
(2)$2x^2 - 3x = 5$.
(3)$2x^2 + 3 = x(7x + 1)$.
(1)$x^2 + 4x = 0$.
(2)$2x^2 - 3x = 5$.
(3)$2x^2 + 3 = x(7x + 1)$.
答案
(1)这里$a=1,b=4,c=0$,
$\because \Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×0=16＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-4$,$x_1x_2=0$.
(2)原方程可化为$2x^2-3x-5=0$,这里$a=2,b=-3$,$c=-5$,$\because \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{5}{2}$.
(3)原方程可化为$5x^2+x-3=0$,这里$a=5,b=1,c=-3$,
$\because \Delta=b^2-4ac=1-4×5×(-3)=61＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
$\because \Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×0=16＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-4$,$x_1x_2=0$.
(2)原方程可化为$2x^2-3x-5=0$,这里$a=2,b=-3$,$c=-5$,$\because \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{5}{2}$.
(3)原方程可化为$5x^2+x-3=0$,这里$a=5,b=1,c=-3$,
$\because \Delta=b^2-4ac=1-4×5×(-3)=61＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
解析
【分析】
使用一元二次方程根与系数的关系解题时，首先要将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程是否存在实数根，只有当$\Delta≥0$时，才能利用韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算两根和与积。解题按“化一般式→确定a、b、c→计算判别式→代公式求值”的步骤推进即可。
【解析】
(1)这里$a=1,b=4,c=0$,
$\because \Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×0=16＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-4$,$x_1x_2=0$.
(2)原方程可化为$2x^2-3x-5=0$,这里$a=2,b=-3$,$c=-5$,
$\because \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{5}{2}$.
(3)原方程可化为$5x^2+x-3=0$,这里$a=5,b=1,c=-3$,
$\because \Delta=b^2-4ac=1-4×5×(-3)=61＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
【答案】
(1)两根之和为$-4$，两根之积为$0$；
(2)两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$-\frac{5}{2}$；
(3)两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意先将方程化为一般形式，准确识别各项系数的符号，且必须先验证方程有实数根后再代入公式计算，避免因忽略前提条件或系数符号出错导致失分。
【难度系数】
0.8
使用一元二次方程根与系数的关系解题时，首先要将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程是否存在实数根，只有当$\Delta≥0$时，才能利用韦达定理：若方程两根为$x_1,x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$计算两根和与积。解题按“化一般式→确定a、b、c→计算判别式→代公式求值”的步骤推进即可。
【解析】
(1)这里$a=1,b=4,c=0$,
$\because \Delta=b^2-4ac=4^2-4×1×0=16＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=-4$,$x_1x_2=0$.
(2)原方程可化为$2x^2-3x-5=0$,这里$a=2,b=-3$,$c=-5$,
$\because \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-5)=49＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=\frac{3}{2}$,$x_1x_2=-\frac{5}{2}$.
(3)原方程可化为$5x^2+x-3=0$,这里$a=5,b=1,c=-3$,
$\because \Delta=b^2-4ac=1-4×5×(-3)=61＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根为$x_1,x_2$,
则$x_1+x_2=-\frac{1}{5}$,$x_1x_2=-\frac{3}{5}$.
【答案】
(1)两根之和为$-4$，两根之积为$0$；
(2)两根之和为$\frac{3}{2}$，两根之积为$-\frac{5}{2}$；
(3)两根之和为$-\frac{1}{5}$，两根之积为$-\frac{3}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
3. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意先将方程化为一般形式，准确识别各项系数的符号，且必须先验证方程有实数根后再代入公式计算，避免因忽略前提条件或系数符号出错导致失分。
【难度系数】
0.8
6. 聚焦 中考 代数推理 「2025四川南充中考」设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
(1)【解法一】$\because$ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$,即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=2-m^2$.
$\because x_1=-1$,$\therefore x_2=3-x_1=4$,$\therefore x_1 · x_2=-4$,
$\therefore m^2=2-x_1 · x_2=6$,$\therefore m=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
【解法二】把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$.
$\therefore (x+1)(x-4)=0$.
$\therefore x_1=-1$,$x_2=4$.
$\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
$\because$ 方程$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=2-m^2$.
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1 · x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2≥0$,
$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=2-m^2$.
$\because x_1=-1$,$\therefore x_2=3-x_1=4$,$\therefore x_1 · x_2=-4$,
$\therefore m^2=2-x_1 · x_2=6$,$\therefore m=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
【解法二】把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$.
$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$.
$\therefore (x+1)(x-4)=0$.
$\therefore x_1=-1$,$x_2=4$.
$\therefore x_2=4$,$m=\pm\sqrt{6}$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.
$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,
$\therefore$ 方程有两个不相等的实数根.
$\because$ 方程$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1 · x_2=2-m^2$.
$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1 · x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.
$\because m^2≥0$,
$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
(1) 第一小问可从两个角度思考：一是将已知根$x_1=-1$直接代入原方程，先求出$m$的值，再解整理后的一元二次方程得到另一根$x_2$；二是先将原方程化为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系先求出两根之和，代入$x_1$的取值快速得到$x_2$，再结合两根之积计算$m$的取值。
(2) 第二小问先将原方程整理为一般形式，通过根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式，再将待证的代数式$(x_1-1)(x_2-1)$展开化简，代入两根和与积的结果，最后利用平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解法一：
∵ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$，且$x_1,x_2$是该方程的两根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$。
∵ $x_1=-1$，
∴ $x_2=3-x_1=3-(-1)=4$，
∴ $x_1 · x_2=-1×4=-4$，
代入两根之积的表达式得：$-4=2-m^2$，解得$m^2=6$，
∴ $m=\pm\sqrt{6}$。
解法二：
把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，
得$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
∴ $m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：
将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
先判断根的情况：$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
∵ $x_1,x_2$是方程$x^2-3x+2-m^2=0$的两根，
∴ $x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - x_1 - x_2 +1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，
代入$x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2 -3 +1 = -m^2$，
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
3. 平方的非负性
【点评】
本题属于代数推理类基础题型，围绕一元二次方程的核心知识点设置，既考查了方程解的代入运算、一元二次方程的求解方法，也考查了根与系数关系的应用以及利用非负性证明不等式的能力，解题时需注意代数式展开化简的准确性，灵活选择解题方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 第一小问可从两个角度思考：一是将已知根$x_1=-1$直接代入原方程，先求出$m$的值，再解整理后的一元二次方程得到另一根$x_2$；二是先将原方程化为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系先求出两根之和，代入$x_1$的取值快速得到$x_2$，再结合两根之积计算$m$的取值。
(2) 第二小问先将原方程整理为一般形式，通过根与系数的关系得到两根之和、两根之积的表达式，再将待证的代数式$(x_1-1)(x_2-1)$展开化简，代入两根和与积的结果，最后利用平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解法一：
∵ 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$，且$x_1,x_2$是该方程的两根，
∴ 根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$。
∵ $x_1=-1$，
∴ $x_2=3-x_1=3-(-1)=4$，
∴ $x_1 · x_2=-1×4=-4$，
代入两根之积的表达式得：$-4=2-m^2$，解得$m^2=6$，
∴ $m=\pm\sqrt{6}$。
解法二：
把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，
得$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$，
∴ $m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，
解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：
将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
先判断根的情况：$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1＞0$，
∴ 方程总有两个不相等的实数根。
∵ $x_1,x_2$是方程$x^2-3x+2-m^2=0$的两根，
∴ $x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 - x_1 - x_2 +1 = x_1x_2 - (x_1+x_2) +1$，
代入$x_1+x_2=3$，$x_1 · x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2 -3 +1 = -m^2$，
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$m^2≥0$，
∴ $-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立，$(x_1-1)(x_2-1)≤0$。
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
3. 平方的非负性
【点评】
本题属于代数推理类基础题型，围绕一元二次方程的核心知识点设置，既考查了方程解的代入运算、一元二次方程的求解方法，也考查了根与系数关系的应用以及利用非负性证明不等式的能力，解题时需注意代数式展开化简的准确性，灵活选择解题方法可提升解题效率。
【难度系数】
0.7
7.「2025四川乐山中考，★☆」若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2x_2 + x_1x_2^2$的值为（
A.-1
B.1
C.-2
D.2
C
）A.-1
B.1
C.-2
D.2
答案
$\because$ 方程$x^2-x-2=0$的两个根是$x_1$和$x_2$,$\therefore x_1+x_2=1$,$x_1x_2=-2$,$\therefore x_1^2x_2+x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)=-2×1=-2$.故选 C.
解析
【分析】
看到所求代数式是关于方程两根的对称式，无需单独求解方程的根，可先将代数式因式分解变形为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，整体代入计算即可，能大幅简化运算步骤。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，其中$a=1,b=-1,c=-2$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$。
对所求代数式因式分解：$x_1^2x_2 + x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$，
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入得：原式$=-2×1=-2$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查根与系数关系的灵活应用，掌握代数式的变形技巧和整体代入的思想，即可快速解题，避免了求解方程根的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
看到所求代数式是关于方程两根的对称式，无需单独求解方程的根，可先将代数式因式分解变形为含两根之和、两根之积的形式，再利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，整体代入计算即可，能大幅简化运算步骤。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
已知方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，其中$a=1,b=-1,c=-2$，因此可得：
$x_1+x_2=-\frac{-1}{1}=1$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$。
对所求代数式因式分解：$x_1^2x_2 + x_1x_2^2=x_1x_2(x_1+x_2)$，
将$x_1+x_2=1$，$x_1x_2=-2$代入得：原式$=-2×1=-2$。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系
2.因式分解的应用
【点评】
本题属于基础题，重点考查根与系数关系的灵活应用，掌握代数式的变形技巧和整体代入的思想，即可快速解题，避免了求解方程根的繁琐过程。
【难度系数】
0.8
8.「2025山东东营中考，★☆」若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2-25x-1=0$的两个实数根，则代数式$x_1^2-24x_1+x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.-1
C
）A.0
B.25
C.26
D.-1
答案
$\because x_1$是方程$x^2-25x-1=0$的实数根,
$\therefore x_1^2-25x_1-1=0$,$\therefore x_1^2=25x_1+1$,
$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25x_1+1-24x_1+x_2=x_1+x_2+1$,
$\because x_1+x_2=25$,
$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25+1=26$.
故选 C.
$\therefore x_1^2-25x_1-1=0$,$\therefore x_1^2=25x_1+1$,
$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25x_1+1-24x_1+x_2=x_1+x_2+1$,
$\because x_1+x_2=25$,
$\therefore x_1^2-24x_1+x_2=25+1=26$.
故选 C.
解析
【分析】
本题直接求解方程的根再代入计算较为繁琐，可按以下思路推导：①利用一元二次方程根的定义，将根$x_1$代入原方程，得到$x_1^2$关于$x_1$的一次表达式，实现降次；②将降次后的式子代入所求代数式化简，会出现两根之和$x_1+x_2$的形式；③利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵$x_1$是方程$x^2-25x-1=0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得$x_1^2-25x_1-1=0$，整理得$x_1^2=25x_1+1$，
将$x_1^2=25x_1+1$代入代数式$x_1^2-24x_1+x_2$得：
原式$=25x_1+1-24x_1+x_2=x_1+x_2+1$，
∵$x_1,x_2$是方程$x^2-25x-1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=25$，
∴原式$=25+1=26$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合题，核心解题技巧是利用方程根的定义对高次项降次，避免了直接求解方程根的复杂运算，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
本题直接求解方程的根再代入计算较为繁琐，可按以下思路推导：①利用一元二次方程根的定义，将根$x_1$代入原方程，得到$x_1^2$关于$x_1$的一次表达式，实现降次；②将降次后的式子代入所求代数式化简，会出现两根之和$x_1+x_2$的形式；③利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵$x_1$是方程$x^2-25x-1=0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得$x_1^2-25x_1-1=0$，整理得$x_1^2=25x_1+1$，
将$x_1^2=25x_1+1$代入代数式$x_1^2-24x_1+x_2$得：
原式$=25x_1+1-24x_1+x_2=x_1+x_2+1$，
∵$x_1,x_2$是方程$x^2-25x-1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=25$，
∴原式$=25+1=26$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；代数式化简
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础综合题，核心解题技巧是利用方程根的定义对高次项降次，避免了直接求解方程根的复杂运算，是该模块的常考题型。
【难度系数】
0.8
9.「2026广东广州天省实验学校月考，★☆」若实数a,b分别满足$a^2 - 4a + 1 = 0, b^2 - 4b + 1 = 0$且$a≠b$,则$2a^2 -5a +3b +ab$的值为 (
A.3
B.-13
C.-5
D.11
D
)A.3
B.-13
C.-5
D.11
答案
$\because$ 实数$a,b$分别满足$a^2-4a+1=0$,$b^2-4b+1=0$,$a≠ b$,$\therefore a,b$是方程$x^2-4x+1=0$的两个根,
$\therefore a+b=4$,$ab=1$,$\therefore 2a^2-5a+3b+ab=2a^2-8a+2+3a+3b+ab-2=2(a^2-4a+1)+3(a+b)+ab-2=3×4+1-2=11$.故选 D.
$\therefore a+b=4$,$ab=1$,$\therefore 2a^2-5a+3b+ab=2a^2-8a+2+3a+3b+ab-2=2(a^2-4a+1)+3(a+b)+ab-2=3×4+1-2=11$.故选 D.
解析
【分析】
首先观察到a、b满足的方程形式完全相同，且a≠b，因此可判断a、b是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可直接得到a+b和ab的值。接下来待求式中含有$a^2$项，可利用a满足的方程$a^2-4a+1=0$对高次项进行降次处理，再将式子变形为含a+b、ab的形式，整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化运算。
【解析】
∵ 实数a,b分别满足$a^2-4a+1=0$，$b^2-4b+1=0$，且$a≠b$，
∴ a、b是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=4$，$ab=1$，
又
∵ $a^2-4a+1=0$，
∴ $2(a^2-4a+1)=0$，即$2a^2=8a-2$，
将$2a^2=8a-2$代入待求式：
$2a^2 -5a +3b +ab$
$=(8a-2)-5a+3b+ab$
$=3a+3b+ab-2$
$=3(a+b)+ab-2$，
把$a+b=4$，$ab=1$代入上式：
原式$=3×4 +1 -2=12+1-2=11$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题，解题的核心是识别出a、b为同一个一元二次方程的两个不等根，利用韦达定理得到两根和与积，再结合根的定义降次，通过整体代入计算结果，避免了求解根的具体值，降低了运算量。
【难度系数】
0.7
首先观察到a、b满足的方程形式完全相同，且a≠b，因此可判断a、b是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可直接得到a+b和ab的值。接下来待求式中含有$a^2$项，可利用a满足的方程$a^2-4a+1=0$对高次项进行降次处理，再将式子变形为含a+b、ab的形式，整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化运算。
【解析】
∵ 实数a,b分别满足$a^2-4a+1=0$，$b^2-4b+1=0$，且$a≠b$，
∴ a、b是一元二次方程$x^2-4x+1=0$的两个不相等的实数根，
根据根与系数的关系可得：$a+b=4$，$ab=1$，
又
∵ $a^2-4a+1=0$，
∴ $2(a^2-4a+1)=0$，即$2a^2=8a-2$，
将$2a^2=8a-2$代入待求式：
$2a^2 -5a +3b +ab$
$=(8a-2)-5a+3b+ab$
$=3a+3b+ab-2$
$=3(a+b)+ab-2$，
把$a+b=4$，$ab=1$代入上式：
原式$=3×4 +1 -2=12+1-2=11$。
故选D。
【答案】D
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题，解题的核心是识别出a、b为同一个一元二次方程的两个不等根，利用韦达定理得到两根和与积，再结合根的定义降次，通过整体代入计算结果，避免了求解根的具体值，降低了运算量。
【难度系数】
0.7
10.「2025四川广安中考，★☆」已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为
29
。答案
$\because$ 方程$x^2-5x-24=0$的两根分别为$a,b$,
$\therefore a+b=5$,$a^2-5a-24=0$.
$\therefore a^2-5a=24$,$\therefore a^2-4a+b=a^2-5a+a+b=24+5=29$.
故答案为 29.
$\therefore a+b=5$,$a^2-5a-24=0$.
$\therefore a^2-5a=24$,$\therefore a^2-4a+b=a^2-5a+a+b=24+5=29$.
故答案为 29.
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程的两根，求含两根的代数式值的问题时，优先采用整体代入法，无需直接求解两根的值。第一步：根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，可得到a²与a的关系式，用来对所求代数式降次化简；第二步：根据一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之和a+b的值；第三步：将所求代数式拆分为含a²-5a和a+b的形式，代入已知数值计算即可。
【解析】
∵ 方程$x^2-5x-24=0$的两根分别为$a,b$,
∴ 由根与系数的关系可得 $a+b=5$,
由根的定义可得 $a^2-5a-24=0$，即 $a^2-5a=24$.
对所求代数式变形可得：
$a^2-4a+b = a^2-5a + a + b$
将$a^2-5a=24$，$a+b=5$代入上式：
原式$=24 + 5 = 29$
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，采用整体代入的思路可避免直接解方程的繁琐计算，是一元二次方程章节的典型基础题型，需熟练掌握降次和整体代换的解题技巧。
【难度系数】
0.8
遇到已知一元二次方程的两根，求含两根的代数式值的问题时，优先采用整体代入法，无需直接求解两根的值。第一步：根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，可得到a²与a的关系式，用来对所求代数式降次化简；第二步：根据一元二次方程根与系数的关系，直接得到两根之和a+b的值；第三步：将所求代数式拆分为含a²-5a和a+b的形式，代入已知数值计算即可。
【解析】
∵ 方程$x^2-5x-24=0$的两根分别为$a,b$,
∴ 由根与系数的关系可得 $a+b=5$,
由根的定义可得 $a^2-5a-24=0$，即 $a^2-5a=24$.
对所求代数式变形可得：
$a^2-4a+b = a^2-5a + a + b$
将$a^2-5a=24$，$a+b=5$代入上式：
原式$=24 + 5 = 29$
【答案】
29
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的综合应用题，采用整体代入的思路可避免直接解方程的繁琐计算，是一元二次方程章节的典型基础题型，需熟练掌握降次和整体代换的解题技巧。
【难度系数】
0.8
11.「2026山东济南章丘月考，★☆」小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在将其化为一般形式的过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在将其化为一般形式的过程中写错了一次项系数，因而得到方程的两个根是-2和-5，则原方程正确的解是
$x_1=2,x_2=5$
。答案
设原方程为$x^2+bx+c=0$,方程的两根为$x_1,x_2$,
$\because$ 小影在将原方程化为一般形式的过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,
$\therefore x_1+x_2=6+1=7=-b$,即$b=-7$,
$\because$ 小冬在将原方程化为一般形式的过程中写错了一次项系数,得到方程的两个根是-2和-5,
$\therefore x_1x_2=(-2)×(-5)=10=c$,
$\therefore$ 原来的方程是$x^2-7x+10=0$,
即$(x-2)(x-5)=0$,解得$x_1=2$,$x_2=5$.
故答案为$x_1=2$,$x_2=5$.
$\because$ 小影在将原方程化为一般形式的过程中写错了常数项,得到方程的两个根是6和1,
$\therefore x_1+x_2=6+1=7=-b$,即$b=-7$,
$\because$ 小冬在将原方程化为一般形式的过程中写错了一次项系数,得到方程的两个根是-2和-5,
$\therefore x_1x_2=(-2)×(-5)=10=c$,
$\therefore$ 原来的方程是$x^2-7x+10=0$,
即$(x-2)(x-5)=0$,解得$x_1=2$,$x_2=5$.
故答案为$x_1=2$,$x_2=5$.
解析
【分析】
首先，已知原方程是二次项系数为1的一元二次方程，可设为$x^2+bx+c=0$。小影仅写错常数项，说明他得到的方程的一次项系数$b$和原方程一致，因此可以用他求得的两根，根据根与系数的关系（两根之和等于$-b$）算出正确的$b$值；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的方程的常数项$c$和原方程一致，因此可以用他求得的两根，根据根与系数的关系（两根之积等于$c$）算出正确的$c$值。得到正确的$b$和$c$后，即可写出原方程，再求解得到原方程的根。
【解析】
设原方程为$x^2+bx+c=0$，方程的两根为$x_1,x_2$。
$\because$ 小影仅写错常数项，得到的两根是6和1，此时一次项系数$b$正确，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，这里二次项系数$a=1$，
$\therefore 6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
$\because$ 小冬仅写错一次项系数，得到的两根是-2和-5，此时常数项$c$正确，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
$\therefore (-2)×(-5)=10=c$，即$c=10$。
$\therefore$ 原方程为$x^2-7x+10=0$，
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题的核心是明确仅写错某一项系数时，另一项系数对应的根的运算关系是正确的，只要熟练掌握韦达定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先，已知原方程是二次项系数为1的一元二次方程，可设为$x^2+bx+c=0$。小影仅写错常数项，说明他得到的方程的一次项系数$b$和原方程一致，因此可以用他求得的两根，根据根与系数的关系（两根之和等于$-b$）算出正确的$b$值；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的方程的常数项$c$和原方程一致，因此可以用他求得的两根，根据根与系数的关系（两根之积等于$c$）算出正确的$c$值。得到正确的$b$和$c$后，即可写出原方程，再求解得到原方程的根。
【解析】
设原方程为$x^2+bx+c=0$，方程的两根为$x_1,x_2$。
$\because$ 小影仅写错常数项，得到的两根是6和1，此时一次项系数$b$正确，
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，这里二次项系数$a=1$，
$\therefore 6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
$\because$ 小冬仅写错一次项系数，得到的两根是-2和-5，此时常数项$c$正确，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
$\therefore (-2)×(-5)=10=c$，即$c=10$。
$\therefore$ 原方程为$x^2-7x+10=0$，
因式分解得$(x-2)(x-5)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=5$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=5$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是根与系数关系的典型应用题型，解题的核心是明确仅写错某一项系数时，另一项系数对应的根的运算关系是正确的，只要熟练掌握韦达定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
