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12.「2026河南师大附中月考，★☆」已知关于x的一元二次方程$x^2 - px + 1 = 0$（p为常数）有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$。
(1)填空：$x_1+x_2=$
(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，$x_1+\frac{1}{x_1}$的值。
(3)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，求p的值。
(1)填空：$x_1+x_2=$
$p$
，$x_1x_2=$$1$
。(2)求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$，$x_1+\frac{1}{x_1}$的值。
(3)已知$x_1^2 + x_2^2 = 2p +1$，求p的值。
答案
(1)$p$;$1$.
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
$\because$ 方程$x^2-px+1=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$,
$\therefore x_1^2-px_1+1=0$,
$\therefore x_1-p+\frac{1}{x_1}=0$,即$x_1+\frac{1}{x_1}=p$.
(3)$\because x_1^2+x_2^2=2p+1$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1$,
$\therefore p^2-2=2p+1$,即$p^2-2p-3=0$,
解得$p_1=3$,$p_2=-1$,
在$x^2-px+1=0$中,$a=1$,$b=-p$,$c=1$,
当$p=3$时,$\Delta=(-p)^2-4=9-4=5＞0$;
当$p=-1$时,$\Delta=(-p)^2-4=-3＜0$,故舍去.
$\therefore p=3$.
(2)$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}=\frac{p}{1}=p$.
$\because$ 方程$x^2-px+1=0$有两个不相等的实数根$x_1$和$x_2$,
$\therefore x_1^2-px_1+1=0$,
$\therefore x_1-p+\frac{1}{x_1}=0$,即$x_1+\frac{1}{x_1}=p$.
(3)$\because x_1^2+x_2^2=2p+1$,
$\therefore (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2p+1$,
$\therefore p^2-2=2p+1$,即$p^2-2p-3=0$,
解得$p_1=3$,$p_2=-1$,
在$x^2-px+1=0$中,$a=1$,$b=-p$,$c=1$,
当$p=3$时,$\Delta=(-p)^2-4=9-4=5＞0$;
当$p=-1$时,$\Delta=(-p)^2-4=-3＜0$,故舍去.
$\therefore p=3$.
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根的相关性质展开，解题思路如下：
(1) 直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入对应系数即可求解两根之和、两根之积。
(2) 求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$时，先通分转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，再代入(1)的结果计算；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时，利用“方程的根代入方程等式成立”的性质，将$x_1$代入原方程，两边同时除以不为0的$x_1$变形即可得到结果。
(3) 先利用完全平方公式的变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件列关于$p$的一元二次方程，解出$p$的可能值后，再根据“方程有两个不相等的实数根则判别式$\Delta＞0$”的要求，检验两个解是否符合条件，舍去不符合的解即可得到$p$的正确值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px +1=0$，$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = p$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} =1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 因为$x_1$是方程$x^2 -px +1=0$的根，将$x_1$代入方程得：
$x_1^2 - p x_1 +1 =0$，由两根乘积为1可知$x_1≠0$，等式两边同时除以$x_1$得：
$x_1 - p + \frac{1}{x_1} =0$，整理得$x_1 + \frac{1}{x_1} =p$。
(3) 由完全平方公式变形可得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$得：
$p^2 - 2 = 2p +1$，整理得$p^2 -2p -3=0$，
因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac=(-p)^2 -4×1×1 = p^2 -4 ＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合题意；
当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，不符合题意，舍去。
综上$p=3$。
【答案】
(1) $p$；$1$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$，$x_1+\frac{1}{x_1}=p$
(3) $p=3$
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程根的意义
3. 根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根相关知识的基础综合题，考查了韦达定理、根的定义、根的判别式的应用，解题时要注意求出参数值后需结合判别式验证根的存在性，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程根的相关性质展开，解题思路如下：
(1) 直接运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），代入对应系数即可求解两根之和、两根之积。
(2) 求$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$时，先通分转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，再代入(1)的结果计算；求$x_1+\frac{1}{x_1}$时，利用“方程的根代入方程等式成立”的性质，将$x_1$代入原方程，两边同时除以不为0的$x_1$变形即可得到结果。
(3) 先利用完全平方公式的变形$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，结合已知条件列关于$p$的一元二次方程，解出$p$的可能值后，再根据“方程有两个不相等的实数根则判别式$\Delta＞0$”的要求，检验两个解是否符合条件，舍去不符合的解即可得到$p$的正确值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - px +1=0$，$a=1$，$b=-p$，$c=1$，根据韦达定理可得：
$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = p$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} =1$。
(2) ① 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分得：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$，得原式$=\frac{p}{1}=p$。
② 因为$x_1$是方程$x^2 -px +1=0$的根，将$x_1$代入方程得：
$x_1^2 - p x_1 +1 =0$，由两根乘积为1可知$x_1≠0$，等式两边同时除以$x_1$得：
$x_1 - p + \frac{1}{x_1} =0$，整理得$x_1 + \frac{1}{x_1} =p$。
(3) 由完全平方公式变形可得$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$，已知$x_1^2+x_2^2=2p+1$，代入$x_1+x_2=p$，$x_1x_2=1$得：
$p^2 - 2 = 2p +1$，整理得$p^2 -2p -3=0$，
因式分解得$(p-3)(p+1)=0$，解得$p_1=3$，$p_2=-1$。
又因为方程有两个不相等的实数根，所以判别式$\Delta=b^2-4ac=(-p)^2 -4×1×1 = p^2 -4 ＞0$，
当$p=3$时，$\Delta=9-4=5＞0$，符合题意；
当$p=-1$时，$\Delta=1-4=-3＜0$，不符合题意，舍去。
综上$p=3$。
【答案】
(1) $p$；$1$
(2) $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=p$，$x_1+\frac{1}{x_1}=p$
(3) $p=3$
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 一元二次方程根的意义
3. 根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根相关知识的基础综合题，考查了韦达定理、根的定义、根的判别式的应用，解题时要注意求出参数值后需结合判别式验证根的存在性，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
13. 核心素养
推理能力
阅读理解:
材料一:若三个非零实数$x,y,z$中有一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数$x,y,z$构成“和谐三数组”.
材料二:若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根分别为$x_1,x_2$,则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$.
问题解决:
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数:
(2)若$x_1,x_2$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a,b,c$均不为$0)$的两根,$x_3$是关于$x$的方程$bx+c=0(b,c$均不为$0)$的解.求证:$x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”.
推理能力
阅读理解:
材料一:若三个非零实数$x,y,z$中有一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数$x,y,z$构成“和谐三数组”.
材料二:若关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根分别为$x_1,x_2$,则有$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$.
问题解决:
(1)请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数:
$\boldsymbol{\frac{6}{5},2,3}$(答案不唯一)
.(2)若$x_1,x_2$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a,b,c$均不为$0)$的两根,$x_3$是关于$x$的方程$bx+c=0(b,c$均不为$0)$的解.求证:$x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”.
答案
(1)$\frac{6}{5},2,3$(答案不唯一).
(2)证明:由题意知$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$,
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$,
$\because x_3$是关于$x$的方程$bx+c=0$($b,c$均不为0)的解,
$\therefore x_3=-\frac{c}{b}$,$\therefore \frac{1}{x_3}=-\frac{b}{c}$,$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$,
$\therefore x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”.
(2)证明:由题意知$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1x_2=\frac{c}{a}$,
$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$,
$\because x_3$是关于$x$的方程$bx+c=0$($b,c$均不为0)的解,
$\therefore x_3=-\frac{c}{b}$,$\therefore \frac{1}{x_3}=-\frac{b}{c}$,$\therefore \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$,
$\therefore x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”.
解析
【分析】
(1) 先明确“和谐三数组”的定义：三个非零实数中，若一个数的倒数等于另外两个数的倒数之和，就符合要求。解题时可先任选两个非零实数，计算它们的倒数和，再对和取倒数得到第三个数，即可组成符合要求的数组。
(2) 要证明三个数构成“和谐三数组”，只需验证三者的倒数满足定义即可。首先用一元二次方程根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，通分计算$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的结果；再解一元一次方程得到$x_3$，求出$\frac{1}{x_3}$的值，对比两个结果即可验证。
【解析】
(1) 示例：选取2和3，计算得$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$的倒数为$\frac{6}{5}$，三个数均非零，满足“和谐三数组”的定义。（答案不唯一，只要符合定义即可）
(2) 证明：
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$均不为0）的两根，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$，
∵$x_3$是关于$x$的方程$bx+c=0$（$b,c$均不为0）的解，解方程得：
$x_3=-\frac{c}{b}$，
∴$\frac{1}{x_3}=-\frac{b}{c}$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$，符合“和谐三数组”的定义，
∴$x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”。
【答案】
(1)$\frac{6}{5},2,3$（答案不唯一）
(2)$x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，倒数运算，一元一次方程的解
【点评】
本题是新定义题型，需要先准确理解新定义的规则，再结合所学的方程相关知识推导验证，侧重考查阅读理解能力和代数推理能力，熟练掌握基础方程知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 先明确“和谐三数组”的定义：三个非零实数中，若一个数的倒数等于另外两个数的倒数之和，就符合要求。解题时可先任选两个非零实数，计算它们的倒数和，再对和取倒数得到第三个数，即可组成符合要求的数组。
(2) 要证明三个数构成“和谐三数组”，只需验证三者的倒数满足定义即可。首先用一元二次方程根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$，通分计算$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的结果；再解一元一次方程得到$x_3$，求出$\frac{1}{x_3}$的值，对比两个结果即可验证。
【解析】
(1) 示例：选取2和3，计算得$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，$\frac{5}{6}$的倒数为$\frac{6}{5}$，三个数均非零，满足“和谐三数组”的定义。（答案不唯一，只要符合定义即可）
(2) 证明：
∵$x_1,x_2$是关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$均不为0）的两根，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$，
∵$x_3$是关于$x$的方程$bx+c=0$（$b,c$均不为0）的解，解方程得：
$x_3=-\frac{c}{b}$，
∴$\frac{1}{x_3}=-\frac{b}{c}$，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{x_3}$，符合“和谐三数组”的定义，
∴$x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”。
【答案】
(1)$\frac{6}{5},2,3$（答案不唯一）
(2)$x_1,x_2,x_3$可以构成“和谐三数组”，证明如上。
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，倒数运算，一元一次方程的解
【点评】
本题是新定义题型，需要先准确理解新定义的规则，再结合所学的方程相关知识推导验证，侧重考查阅读理解能力和代数推理能力，熟练掌握基础方程知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
1.「2025江苏宿迁中考」方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$,则$(m^2 - 2023m - 2026) · (n^2 - 2023n - 2026) =$
$-4048$
.答案
$\because$ 方程$x^2-2024x-2025=0$的两个根分别是$m,n$,
$\therefore m^2-2024m-2025=0$,$n^2-2024n-2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$,
$\therefore m^2=2024m+2025$,$n^2=2024n+2025$,
$\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$,故答案为$-4048$.
$\therefore m^2-2024m-2025=0$,$n^2-2024n-2025=0$,$m+n=2024$,$mn=-2025$,
$\therefore m^2=2024m+2025$,$n^2=2024n+2025$,
$\therefore (m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=-2025-2024+1=-4048$,故答案为$-4048$.
解析
【分析】
求解本题不需要直接算出方程两根m、n的具体值，可按以下思路思考：① 利用一元二次方程根的定义，根代入原方程等式成立，可将待求式中的二次项m²、n²替换为含一次项的代数式，实现降幂化简；② 化简后的式子会出现两根之和、两根之积的结构，直接用一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，整体代入即可算出结果，大幅降低计算量。
【解析】
∵ 方程$x^2-2024x-2025=0$的两个根分别是$m,n$,
∴ $m^2-2024m-2025=0$，$n^2-2024n-2025=0$，结合根与系数的关系得$m+n=2024$，$mn=-2025$,
∴ $m^2=2024m+2025$，$n^2=2024n+2025$,
将上述关系代入待求式可得：
$(m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)$
$=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)$
$=(m-1)(n-1)$
$=mn-(m+n)+1$
代入$m+n=2024$，$mn=-2025$得：
原式$=-2025-2024+1=-4048$
【答案】
$-4048$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型常考题，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是利用根的定义降幂，避免直接求根的繁琐计算，熟练掌握根的定义和韦达定理就能快速求解。
【难度系数】
0.6
求解本题不需要直接算出方程两根m、n的具体值，可按以下思路思考：① 利用一元二次方程根的定义，根代入原方程等式成立，可将待求式中的二次项m²、n²替换为含一次项的代数式，实现降幂化简；② 化简后的式子会出现两根之和、两根之积的结构，直接用一元二次方程根与系数的关系求出m+n和mn的值，整体代入即可算出结果，大幅降低计算量。
【解析】
∵ 方程$x^2-2024x-2025=0$的两个根分别是$m,n$,
∴ $m^2-2024m-2025=0$，$n^2-2024n-2025=0$，结合根与系数的关系得$m+n=2024$，$mn=-2025$,
∴ $m^2=2024m+2025$，$n^2=2024n+2025$,
将上述关系代入待求式可得：
$(m^2-2023m-2026)(n^2-2023n-2026)$
$=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025-2023n-2026)$
$=(m-1)(n-1)$
$=mn-(m+n)+1$
代入$m+n=2024$，$mn=-2025$得：
原式$=-2025-2024+1=-4048$
【答案】
$-4048$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程章节的典型常考题，核心考查整体代入的数学思想，解题的关键是利用根的定义降幂，避免直接求根的繁琐计算，熟练掌握根的定义和韦达定理就能快速求解。
【难度系数】
0.6
2.「2026湖北武汉月考」关于$x$的一元二次方程$mx^2 -2mx +m -2=0$有两个实数根$x_1,x_2$.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$|x_1 -x_2|=1$,求$m$的值.
(1)求$m$的取值范围.
(2)若$|x_1 -x_2|=1$,求$m$的值.
答案
(1)$\because$ 关于$x$的一元二次方程$mx^2-2mx+m-2=0$有两个实数根,
$\therefore \Delta=(-2m)^2-4m(m-2)≥0$,且$m≠0$,解得$m＞0$.
(2)$\because$ 方程$mx^2-2mx+m-2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=2$,$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$.
又$\because |x_1-x_2|=1$,
$\therefore (x_1-x_2)^2=1$,
则$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,
$\therefore 2^2-\frac{4m-8}{m}=1$,解得$m=8$,
经检验,$m=8$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore m$的值为8.
$\therefore \Delta=(-2m)^2-4m(m-2)≥0$,且$m≠0$,解得$m＞0$.
(2)$\because$ 方程$mx^2-2mx+m-2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,
$\therefore x_1+x_2=2$,$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$.
又$\because |x_1-x_2|=1$,
$\therefore (x_1-x_2)^2=1$,
则$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$,
$\therefore 2^2-\frac{4m-8}{m}=1$,解得$m=8$,
经检验,$m=8$是原方程的解,且符合题意,
$\therefore m$的值为8.
解析
【分析】
(1) 求解一元二次方程有两个实数根的参数范围时，首先要满足两个条件：一是二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式Δ≥0，保证方程有两个实数根，联立两个条件即可得到m的取值范围。
(2) 已知两根差的绝对值，直接求根计算较为繁琐，可先将|x₁-x₂|=1两边平方得到$(x₁-x₂)^2=1$，再利用完全平方公式将其变形为$(x₁+x₂)^2-4x₁x_2=1$，结合根与系数的关系代入两根和、两根积的表达式，即可列方程求解m，最后要检验所求m是否符合第一问的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$mx^2-2mx+m-2=0$有两个实数根，
∴ 二次项系数$m≠0$，且根的判别式$\Delta=(-2m)^2-4m(m-2)≥0$，
计算得$\Delta=4m^2-4m^2+8m=8m≥0$，
结合$m≠0$，解得$m＞0$。
(2)
∵ 方程$mx^2-2mx+m-2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=\frac{2m}{m}=2$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$，
又
∵ $|x_1 -x_2|=1$，
∴ 两边平方得$(x_1-x_2)^2=1$，
变形得$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$，
代入得$2^2-4×\frac{m-2}{m}=1$，即$4-\frac{4m-8}{m}=1$，
去分母化简得$m=8$，
经检验，$m=8＞0$，符合取值范围，是原方程的解。
【答案】
(1) $m＞0$；(2) $m=8$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题时需注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问利用完全平方公式转化两根差的表达式，结合韦达定理求解，可有效简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 求解一元二次方程有两个实数根的参数范围时，首先要满足两个条件：一是二次项系数不为0，保证方程是一元二次方程；二是根的判别式Δ≥0，保证方程有两个实数根，联立两个条件即可得到m的取值范围。
(2) 已知两根差的绝对值，直接求根计算较为繁琐，可先将|x₁-x₂|=1两边平方得到$(x₁-x₂)^2=1$，再利用完全平方公式将其变形为$(x₁+x₂)^2-4x₁x_2=1$，结合根与系数的关系代入两根和、两根积的表达式，即可列方程求解m，最后要检验所求m是否符合第一问的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 关于$x$的一元二次方程$mx^2-2mx+m-2=0$有两个实数根，
∴ 二次项系数$m≠0$，且根的判别式$\Delta=(-2m)^2-4m(m-2)≥0$，
计算得$\Delta=4m^2-4m^2+8m=8m≥0$，
结合$m≠0$，解得$m＞0$。
(2)
∵ 方程$mx^2-2mx+m-2=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=\frac{2m}{m}=2$，$x_1x_2=\frac{m-2}{m}$，
又
∵ $|x_1 -x_2|=1$，
∴ 两边平方得$(x_1-x_2)^2=1$，
变形得$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=1$，
代入得$2^2-4×\frac{m-2}{m}=1$，即$4-\frac{4m-8}{m}=1$，
去分母化简得$m=8$，
经检验，$m=8＞0$，符合取值范围，是原方程的解。
【答案】
(1) $m＞0$；(2) $m=8$
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题时需注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，第二问利用完全平方公式转化两根差的表达式，结合韦达定理求解，可有效简化计算。
【难度系数】
0.7
3.已知$x_1,x_2$是方程$x^2+5x+2=0$的两个实数根，求代数式的值：
①$x_1^2+x_2^2$.②$|x_1-x_2|$.③$(2x_1+1)(2x_2+1)$.
④$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.⑤$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.⑥$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$.
①$x_1^2+x_2^2$.②$|x_1-x_2|$.③$(2x_1+1)(2x_2+1)$.
④$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.⑤$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$.⑥$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$.
答案
$\because x_1,x_2$是方程$x^2+5x+2=0$的两个实数根,
$\therefore x_1+x_2=-5$,$x_1x_2=2$.
①$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-5)^2-2×2=21$.
②$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-5)^2-4×2}=\sqrt{17}$.
③$(2x_1+1)(2x_2+1)=4x_1x_2+2(x_1+x_2)+1=4×2+2×(-5)+1=-1$.
④$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-5)^2-2×2}{2}=\frac{21}{2}$.
⑤$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$.
⑥$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=\sqrt{(\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}})^2}=\sqrt{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2}=\sqrt{\frac{21}{2}+2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
$\therefore x_1+x_2=-5$,$x_1x_2=2$.
①$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-5)^2-2×2=21$.
②$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-5)^2-4×2}=\sqrt{17}$.
③$(2x_1+1)(2x_2+1)=4x_1x_2+2(x_1+x_2)+1=4×2+2×(-5)+1=-1$.
④$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-5)^2-2×2}{2}=\frac{21}{2}$.
⑤$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$.
⑥$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=\sqrt{(\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}})^2}=\sqrt{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2}=\sqrt{\frac{21}{2}+2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用，解题时无需直接求解方程的根，首先利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将所求代数式通过完全平方公式变形、通分、平方去根号等方法，全部转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后代入数值计算即可，该方法比直接求根代入更简便，能有效减少计算错误。
【解析】
解：$\because x_1,x_2$是方程$x^2+5x+2=0$的两个实数根，
$\therefore$由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=2$。
① $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-5)^2-2×2=25-4=21$；
② $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-5)^2-4×2}=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}$；
③ $(2x_1+1)(2x_2+1)=4x_1x_2+2(x_1+x_2)+1=4×2+2×(-5)+1=8-10+1=-1$；
④ $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{25-4}{2}=\frac{21}{2}$；
⑤ $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$；
⑥ $\because x_1x_2=2＞0$，$x_1+x_2=-5＜0$，$\therefore x_1＜0,x_2＜0$，$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}$和$\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$均为正数，
则$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=\sqrt{(\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}})^2}=\sqrt{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2}=\sqrt{\frac{21}{2}+2}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
①$21$；②$\sqrt{17}$；③$-1$；④$\frac{21}{2}$；⑤$-\frac{5}{2}$；⑥$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.韦达定理 2.代数式变形 3.二次根式运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是掌握根的对称式的变形技巧，将所求式子转化为仅含两根之和与两根之积的形式，可大幅简化计算，解题时需注意二次根式、绝对值的非负性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
本题是一元二次方程根与系数关系的典型应用，解题时无需直接求解方程的根，首先利用韦达定理求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将所求代数式通过完全平方公式变形、通分、平方去根号等方法，全部转化为用$x_1+x_2$和$x_1x_2$表示的形式，最后代入数值计算即可，该方法比直接求根代入更简便，能有效减少计算错误。
【解析】
解：$\because x_1,x_2$是方程$x^2+5x+2=0$的两个实数根，
$\therefore$由根与系数的关系得：$x_1+x_2=-5$，$x_1x_2=2$。
① $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-5)^2-2×2=25-4=21$；
② $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{(-5)^2-4×2}=\sqrt{25-8}=\sqrt{17}$；
③ $(2x_1+1)(2x_2+1)=4x_1x_2+2(x_1+x_2)+1=4×2+2×(-5)+1=8-10+1=-1$；
④ $\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{25-4}{2}=\frac{21}{2}$；
⑤ $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$；
⑥ $\because x_1x_2=2＞0$，$x_1+x_2=-5＜0$，$\therefore x_1＜0,x_2＜0$，$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}$和$\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$均为正数，
则$\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}=\sqrt{(\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}+\sqrt{\frac{x_2}{x_1}})^2}=\sqrt{\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2}=\sqrt{\frac{21}{2}+2}=\sqrt{\frac{25}{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
①$21$；②$\sqrt{17}$；③$-1$；④$\frac{21}{2}$；⑤$-\frac{5}{2}$；⑥$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
1.韦达定理 2.代数式变形 3.二次根式运算
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，核心是掌握根的对称式的变形技巧，将所求式子转化为仅含两根之和与两根之积的形式，可大幅简化计算，解题时需注意二次根式、绝对值的非负性，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
