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1[2026 山东枣庄质检,中]已知$(12a^3 - 6a^2 + 3a) ÷ (3a) - 4a^2 = 0$且$b=2$,则$(\dfrac{2}{3}ab^2 - 2ab) · \dfrac{1}{2}ab$的值为 (
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-1$
D.$2$
A
)A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$-1$
D.$2$
答案
1.A 【解析】
∵$(12a^3-6a^2+3a)÷(3a)-4a^2=0$,
∴$4a^2-2a+1-4a^2=0$,
∴$-2a+1=0$,
∴$a=\frac{1}{2}$.
∵$b=2$,
∴$ab=1$,
∴原式=$2ab(\frac{1}{3}b -1)·\frac{1}{2}ab=(ab)^2(\frac{1}{3}b -1)=-\frac{1}{3}$. 故选A.
∵$(12a^3-6a^2+3a)÷(3a)-4a^2=0$,
∴$4a^2-2a+1-4a^2=0$,
∴$-2a+1=0$,
∴$a=\frac{1}{2}$.
∵$b=2$,
∴$ab=1$,
∴原式=$2ab(\frac{1}{3}b -1)·\frac{1}{2}ab=(ab)^2(\frac{1}{3}b -1)=-\frac{1}{3}$. 故选A.
2[2025福建泉州校级质检,中]如图,对于任意正整数n,按流程图的计算方式,得到的结果
（
A.随n的变化而变化
B.不变,总是0
C.不变,总是1
D.不变,总是2
（
D
）A.随n的变化而变化
B.不变,总是0
C.不变,总是1
D.不变,总是2
答案
2.D 【解析】由题意可得$(n^2+2n)÷n -n =n+2 -n=2$,得到的结果不变,总是2. 故选D.
3[中]如图,一窗框由一个长方形和一个半圆组成,若要把窗框形状设计成一个新的长方形,面积保持不变,且新窗框的底边长仍为$a$,则高度应为
$b+\frac{1}{8}π a$
.答案
3.$b+\frac{1}{8}π a$ 【解析】设新窗框的高度为x. 根据题意,得$ab + \frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2 =ax$,
∴$x=[ab + \frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2 ]÷a=(ab + \frac{1}{8}π a^2)÷a =b+\frac{1}{8}π a$.
∴$x=[ab + \frac{1}{2}π · (\frac{a}{2})^2 ]÷a=(ab + \frac{1}{8}π a^2)÷a =b+\frac{1}{8}π a$.
4[2025 四川宜宾校级质检,中]观察下列各式:
$(x-1)÷(x-1)=1$;
$(x^2 -1)÷(x-1)=x+1$;
$(x^3 -1)÷(x-1)=x^2 +x+1$;
$(x^4 -1)÷(x-1)=x^3 +x^2 +x+1$;
……
$(x^8 -1)÷(x-1)=x^7 +x^6 +x^5 +··· +x+1$.
(1)根据上面各式的规律填空:
①$(x^{2022} -1)÷(x-1)= \_\_\_\_\_\_$;
②$(x^n -1)÷(x-1)= \_\_\_\_\_\_$. ($n$为正整数)
(2)求$2^{2022} +2^{2021} +··· +2+1$的值.
(3)若$1+x+x^2 +··· +x^{2021}=0$,求$x^{2022}$的值.
$(x-1)÷(x-1)=1$;
$(x^2 -1)÷(x-1)=x+1$;
$(x^3 -1)÷(x-1)=x^2 +x+1$;
$(x^4 -1)÷(x-1)=x^3 +x^2 +x+1$;
……
$(x^8 -1)÷(x-1)=x^7 +x^6 +x^5 +··· +x+1$.
(1)根据上面各式的规律填空:
①$(x^{2022} -1)÷(x-1)= \_\_\_\_\_\_$;
②$(x^n -1)÷(x-1)= \_\_\_\_\_\_$. ($n$为正整数)
(2)求$2^{2022} +2^{2021} +··· +2+1$的值.
(3)若$1+x+x^2 +··· +x^{2021}=0$,求$x^{2022}$的值.
答案
4. (1) ①$x^{2021}+x^{2020}+···+x+1$ ②$x^{n-1}+x^{n-2}+···+x+1$
【解】(2)
∵$(x^n -1)÷(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+···+x+1$,
∴$2^{2022} +2^{2021} +··· +2+1=(2^{2023}-1)÷(2-1)=2^{2023}-1$.
(3)
∵$(x^{2022}-1)÷(x-1)=x^{2021}+x^{2020}+···+x+1=0$,
∴$x^{2022}-1=0$,
∴$x^{2022}=1$.
【解】(2)
∵$(x^n -1)÷(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+···+x+1$,
∴$2^{2022} +2^{2021} +··· +2+1=(2^{2023}-1)÷(2-1)=2^{2023}-1$.
(3)
∵$(x^{2022}-1)÷(x-1)=x^{2021}+x^{2020}+···+x+1=0$,
∴$x^{2022}-1=0$,
∴$x^{2022}=1$.
5 新考法[2026陕西咸阳质检,中](1)已知A,B均为单项式,多项式$21x^4y^3 - A$与单项式$-7x^2y$的商为$B+5xy$,请分别求出单项式A,B;
(2)某小区为了便民购物,计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市,已知长方形空地的面积为$9x^2y^3 - 2xy +6x^2$,长为$3x$,求这块长方形空地的周长.
(2)某小区为了便民购物,计划在小区外一块长方形空地上建一座大型超市,已知长方形空地的面积为$9x^2y^3 - 2xy +6x^2$,长为$3x$,求这块长方形空地的周长.
答案
5.【解】(1)由题意得$(21x^4y^3 -A)÷(-7x^2y)=B+5xy$,
∴$21x^4y^3÷(-7x^2y)-A÷(-7x^2y)=B+5xy$.
∵$21x^4y^3÷(-7x^2y)=-3x^2y^2≠5xy$,
∴$A=-(-7x^2y)×5xy=35x^3y^2$,$B=-3x^2y^2$.
(2)长方形空地的宽为$(9x^2y^3 -2xy +6x^2)÷(3x)=3xy^3 - \frac{2}{3}y +2x$,
∴这块长方形空地的周长为$2(3x+3xy^3 - \frac{2}{3}y +2x)=2(3xy^3 - \frac{2}{3}y +5x)=6xy^3 - \frac{4}{3}y +10x$.
∴$21x^4y^3÷(-7x^2y)-A÷(-7x^2y)=B+5xy$.
∵$21x^4y^3÷(-7x^2y)=-3x^2y^2≠5xy$,
∴$A=-(-7x^2y)×5xy=35x^3y^2$,$B=-3x^2y^2$.
(2)长方形空地的宽为$(9x^2y^3 -2xy +6x^2)÷(3x)=3xy^3 - \frac{2}{3}y +2x$,
∴这块长方形空地的周长为$2(3x+3xy^3 - \frac{2}{3}y +2x)=2(3xy^3 - \frac{2}{3}y +5x)=6xy^3 - \frac{4}{3}y +10x$.
6 核心素养 运算能力[难]多项式除以多项式一般可用竖式计算.
例如:计算$(6x^4 -7x^3 -x^2 -1)÷(2x+1)$,可用竖式计算如下:
所以$6x^4 -7x^3 -x^2 -1$除以$2x+1$,商式为$3x^3 -5x^2 +2x -1$,余式为0.
根据上述材料,请回答下列问题:
(1)$(x^3 -4x^2 +7x -5)÷(x -2)$的商式是
(2)$x^3 -x^2 +ax +b$能被$x^2 +2x +2$整除,求$a,b$的值.
例如:计算$(6x^4 -7x^3 -x^2 -1)÷(2x+1)$,可用竖式计算如下:
所以$6x^4 -7x^3 -x^2 -1$除以$2x+1$,商式为$3x^3 -5x^2 +2x -1$,余式为0.
根据上述材料,请回答下列问题:
(1)$(x^3 -4x^2 +7x -5)÷(x -2)$的商式是
$x^2-2x+3$
,余式是1
.(2)$x^3 -x^2 +ax +b$能被$x^2 +2x +2$整除,求$a,b$的值.
答案
6.【解】(1)由题意,得
故答案为$x^2-2x+3$,1.
(2)由题意,得
∴$a-2=-6,b=-6$,即$a=-4,b=-6$.
