19. 如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,且AO=CO,点E在BD上,满足∠EAO=∠DCO.
(1)求证:四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB=BC,CD=5,AC=8,求四边形AECD的面积.

19.(1)证明:在$△ AOE$和$△ COD$中,
$\begin{cases}∠ EAO=∠ DCO,\\AO=CO,\\∠ AOE=∠ COD,\end{cases}$
$\therefore△ AOE≌△ COD(\mathrm{ASA}).$
$\therefore OE=OD.$
又$\because AO=CO,$
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形.
(2)解:$\because AB=BC,AO=CO,$
$\therefore OB⊥ AC.$
$\therefore$四边形$AECD$是菱形.
$\because AC=8,$
$\therefore CO=\dfrac{1}{2}AC=4.$
在$\mathrm{Rt}△ COD$中,由勾股定理,得$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3,$
$\therefore DE=2OD=6,$
$\therefore$菱形$AECD$的面积$=\dfrac{1}{2}AC× DE=\dfrac{1}{2}×8×6=24.$

【分析】
(1)要证明四边形AECD是平行四边形，已知AO=CO，只需证明另一组对角线OE=OD即可。结合已知的∠EAO=∠DCO，以及对顶角∠AOE=∠COD，可通过ASA证明△AOE≌△COD得到OE=OD，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成判定。
(2)已知AB=BC、AO=CO，根据等腰三角形三线合一的性质可得OB⊥AC，即平行四边形AECD的对角线互相垂直，因此AECD是菱形。先计算出两条对角线的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）求解即可。
【解析】
(1)证明:在$△ AOE$和$△ COD$中,
$\begin{cases}∠ EAO=∠ DCO,\\AO=CO,\\∠ AOE=∠ COD,\end{cases}$
$\therefore△ AOE≌△ COD(\mathrm{ASA}).$
$\therefore OE=OD.$
又$\because AO=CO,$
$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形。
(2)解:$\because AB=BC,AO=CO,$
$\therefore OB⊥ AC.$
$\therefore$四边形$AECD$是菱形。
$\because AC=8,$
$\therefore CO=\dfrac{1}{2}AC=4.$
在$\mathrm{Rt}△ COD$中,由勾股定理,得$OD=\sqrt{CD^2-CO^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3,$
$\therefore DE=2OD=6,$
$\therefore$菱形$AECD$的面积$=\dfrac{1}{2}AC× DE=\dfrac{1}{2}×8×6=24.$
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\boxed{24}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题逻辑清晰，核心是先通过三角形全等得到线段相等判定平行四边形，再结合等腰三角形性质判断四边形为菱形，最后代入公式计算面积，是四边形章节的典型考查题型。
【难度系数】
0.7