9 在联欢晚会上，有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在$△ ABC$ 的 （）

A.三边中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边高的交点处
D.三边垂直平分线的交点处

9. D

【分析】要解决这道题，首先需明确游戏公平的核心要求：凳子到A、B、C三名同学的距离相等，因此本题本质是寻找△ABC中到三个顶点距离相等的点，接下来只需回忆三角形各特殊交点的性质，匹配对应条件即可得到答案。
【解析】要保证游戏公平，凳子到△ABC三个顶点A、B、C的距离必须相等，我们逐一分析选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，性质为到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，性质为到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三边高的交点是三角形的垂心，无到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，满足公平要求，符合题意。
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形特殊点的性质
【点评】本题结合生活场景考查三角形特殊交点的性质，解题关键是将实际的公平性要求转化为“到三角形三个顶点距离相等”的数学问题，熟记各特殊交点的对应性质即可快速作答。
【难度系数】0.8

10 如图,在$△ ABC$中,AF平分$∠ BAC$,AC的垂直平分线DE交BC于点E,交AC于点D.若$∠ B=70°$,$∠ FAE=19°$,则$∠ C=$.

(第10题) (第11题)

10. $24°$

【分析】
解题时先从已知条件出发：①看到AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可推出EA=EC，进而得到∠C=∠EAC，建立∠C和∠EAC的等量关系；②看到角平分线AF，根据角平分线定义可知∠BAC=2∠CAF，而∠CAF=∠EAC+∠FAE，结合∠FAE=19°和第一步的结论，可将∠BAC用含∠C的代数式表示；③最后利用三角形内角和为180°，代入∠B的度数，列关于∠C的方程即可求解。
【解析】
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C。
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAF=2(∠EAC+∠FAE)=2(∠C+19°)。
在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°，∠B=70°，
代入得：$70° + 2(∠ C+19°) + ∠ C = 180°$，
展开计算：$70° + 2∠ C + 38° + ∠ C = 180°$，
合并得：$3∠ C + 108° = 180°$，
解得：$∠ C=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何角度计算的典型题型，解题的核心是利用线段垂直平分线、角平分线的性质找到各角之间的等量关系，结合三角形内角和定理通过列方程求解角度，能较好地考查学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.6

11 如图，在$△ ABC$中，边$BC$的垂直平分线$DE$交边$BC$于点$D$，交边$AB$于点$E$。若$△ EDC$的周长为$24$，$△ ABC$与四边形$AEDC$的周长之差为$12$，则线段$DE$的长为。

11. 6 【解析】$\because DE$ 垂直平分 $BC,\therefore BE=EC,BD=CD.$
$\because △ EDC$ 的周长为 $24,\therefore DE+EC+CD=24.\therefore DE+BE+BD=24$①. $\because △ ABC$ 与四边形 $AEDC$ 的周长之差为 12,
$\therefore (AE+BE+BD+DC+AC)-(AE+DE+DC+AC)=12.$
$\therefore BE+BD-DE=12$②.由①$-$②,得$2DE=12.\therefore DE=6.$

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$BE=EC$，$BD=CD$。接下来根据$△ EDC$的周长为24，列出第一个关于线段长度的等式；再根据$△ ABC$与四边形$AEDC$的周长差为12，列出第二个等式，将两个等式联立消去公共的未知线段，即可求出$DE$的长度。
【解析】
$\because DE$是$BC$的垂直平分线，
$\therefore BE=EC$，$BD=CD$。
$\because △ EDC$的周长为24，
$\therefore DE+EC+CD=24$，
将$EC$替换为$BE$，$CD$替换为$BD$，得：$DE+BE+BD=24$ ①。
$\because △ ABC$与四边形$AEDC$的周长之差为12，
$△ ABC$的周长$=AB+BC+AC=AE+BE+BD+CD+AC$，
四边形$AEDC$的周长$=AE+DE+CD+AC$，
两式作差得：$(AE+BE+BD+CD+AC)-(AE+DE+CD+AC)=12$，
化简得：$BE+BD-DE=12$ ②。
用①式减去②式，得：$(DE+BE+BD)-(BE+BD-DE)=24-12$，
即$2DE=12$，解得$DE=6$。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质；周长计算；代数式运算
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题型，解题的关键是灵活运用线段垂直平分线的性质完成线段的等量代换，再将周长关系转化为代数式，通过联立等式消元求解即可。
【难度系数】
0.7

12 如图，AD 与 BC 相交于点 O，$OA = OC$，$∠ A = ∠ C$。
（1）求证：$OB = OD$；
（2）若 OE 平分$∠ BOD$，连接 BD，BE，DE，求证：OE 垂直平分 BD。

12. (1) 在$△ AOB$ 和$△ COD$ 中,$\begin{cases} ∠A=∠C,\\ OA=OC,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$ $\therefore △ AOB≌△ COD.\therefore OB=OD$
(2) 由(1)得 $OB=OD,\therefore$ 点 $O$ 在线段$BD$ 的垂直平分线上. $\because OE$ 平分$∠ BOD,\therefore ∠ BOE=∠ DOE.$
在$△ BOE$ 和$△ DOE$ 中,$\begin{cases} OE=OE,\\ ∠BOE=∠DOE,\\ OB=OD, \end{cases}$$\therefore △ BOE≌△ DOE.$$\therefore BE=DE.\therefore$ 点 $E$ 在线段 $BD$ 的垂直平分线上. $\therefore OE$ 垂直平分$BD$

【分析】
（1）要证明$OB=OD$，可通过证明$OB$、$OD$所在的$△ AOB$和$△ COD$全等来实现。已知$OA=OC$，$∠ A=∠ C$，再结合对顶角相等可得$∠ AOB=∠ COD$，用ASA判定即可证两个三角形全等，再根据全等三角形对应边相等得到$OB=OD$。
（2）要证明$OE$垂直平分$BD$，根据线段垂直平分线的判定定理，只要证明点$O$和点$E$都在线段$BD$的垂直平分线上即可。由（1）的结论$OB=OD$，可得点$O$在$BD$的垂直平分线上；再结合$OE$平分$∠ BOD$，用SAS证明$△ BOE≌△ DOE$，得到$BE=DE$，即可得点$E$也在$BD$的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此$OE$垂直平分$BD$。
【解析】
(1) 在$△ AOB$ 和$△ COD$ 中,
$\begin{cases} ∠A=∠C,\\ OA=OC,\\ ∠AOB=∠COD, \end{cases}$
$\therefore △ AOB≌△ COD（ASA）$，
$\therefore OB=OD$。
(2) 由(1)得 $OB=OD$，$\therefore$ 点 $O$ 在线段$BD$ 的垂直平分线上。
$\because OE$ 平分$∠ BOD$，$\therefore ∠ BOE=∠ DOE$，
在$△ BOE$ 和$△ DOE$ 中,
$\begin{cases} OE=OE,\\ ∠BOE=∠DOE,\\ OB=OD, \end{cases}$
$\therefore △ BOE≌△ DOE（SAS）$，
$\therefore BE=DE$，
$\therefore$ 点 $E$ 在线段 $BD$ 的垂直平分线上，
$\therefore OE$ 垂直平分$BD$。
【答案】
(1) 证明成立，$OB=OD$；
(2) 证明成立，$OE$垂直平分$BD$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是熟练运用全等三角形的判定定理得到相等的边，再结合线段垂直平分线的判定完成推导，逻辑链条清晰，是巩固几何证明基础思路的典型习题。
【难度系数】
0.7

13 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,AB 的垂直平分线分别交 AB,BC 于点 E,D,连接 AD.若 AD 将$∠ CAB$分成两个角,且$∠ CAD:∠ DAB=2:5$,求$∠ ADC$的度数.

13. 设$∠ CAD=2x°$,则$∠ DAB=5x°.\because DE$ 垂直平分$AB$,
$\therefore BD = AD.\therefore ∠ B = ∠ DAE = 5x°.\therefore ∠ ADC = ∠ B +∠ DAE = 10x°.$ 在$△ ADC$ 中,$\because ∠ C = 90°,\therefore ∠ CAD +∠ ADC=2x°+10x°=90°,$解得 $x=7.5.\therefore ∠ ADC=75°$

【分析】
解题时首先利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，进而推出∠B=∠DAB；再结合已知的∠CAD与∠DAB的比例关系，设参数表示各个角；接着利用三角形外角的性质得到∠ADC与∠B、∠DAB的关系，最后在Rt△ADC中利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可。
【解析】
设$∠ CAD=2x°$，则$∠ DAB=5x°$。
∵DE垂直平分AB，
∴$BD = AD$，
∴$∠ B = ∠ DAB = 5x°$。
∵$∠ ADC$是$△ ABD$的外角，
∴$∠ ADC = ∠ B + ∠ DAB = 5x° + 5x° = 10x°$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ CAD + ∠ ADC = 90°$，即$2x° + 10x° = 90°$，
解得$x=7.5$，
∴$∠ ADC = 10×7.5° = 75°$。
【答案】
$\boxed{75°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等腰三角形等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，将角的比例关系与几何图形性质结合，通过设参数列方程求解是这类题的常用思路，需熟练掌握相关几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7

14 如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE相交于点D,DM⊥AB交AB于点M,DN⊥AC交AC的延长线于点N.求证:(1) $BM=CN$;(2) $AM=\frac{1}{2}(AB+AC)$. (第14题)

14. (1) 连接 $BD,CD.\because AD$ 平分$∠ BAC,DM⊥ AB,DN⊥ AC$,
$\therefore DM=DN.\because DE$ 垂直平分 $BC,\therefore BD=CD.$ 在$\mathrm{Rt}△ BDM$ 和$\mathrm{Rt}△ CDN$ 中,$\begin{cases} BD=CD,\\ DM=DN, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ BDM≌\mathrm{Rt}△ CDN.\therefore BM=CN$
(2) $\because AM=AB-BM,AN=AC+CN,BM=CN$,
$\therefore AM+AN = AB + AC.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADM$ 和 $\mathrm{Rt}△ ADN$ 中,$\begin{cases} AD=AD,\\ DM=DN, \end{cases}$ $\therefore \mathrm{Rt}△ ADM≌\mathrm{Rt}△ ADN.\therefore AM=AN.\therefore AM=\frac{1}{2}(AB+AC)$

【分析】
(1) 要证$BM=CN$，观察到两条线段分别在两个直角三角形中，因此考虑证明对应的直角三角形全等。首先连接$BD$、$CD$，利用角平分线的性质可得$DM=DN$，利用线段垂直平分线的性质可得$BD=CD$，再通过HL判定直角三角形全等，即可推出$BM=CN$。
(2) 要证$AM=\frac{1}{2}(AB+AC)$，先通过HL证明$Rt△ ADM≌Rt△ ADN$得到$AM=AN$，再结合线段和差关系和(1)中$BM=CN$的结论，将$AB$、$AC$用含$AM$、$AN$的式子代换，整理后即可推导得到结论。
【解析】
(1) 连接$BD$，$CD$。
$\because AD$平分$∠ BAC$，$DM⊥ AB$，$DN⊥ AC$，
$\therefore DM=DN$。
$\because DE$垂直平分$BC$，
$\therefore BD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ BDM$和$\mathrm{Rt}△ CDN$中，
$\begin{cases} BD=CD,\\ DM=DN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDM≌\mathrm{Rt}△ CDN(\mathrm{HL})$，
$\therefore BM=CN$。
(2) 由线段和差关系得：$AM=AB-BM$，$AN=AC+CN$，
$\because BM=CN$，
$\therefore AM+AN = AB-BM+AC+CN=AB + AC$。
在$\mathrm{Rt}△ ADM$和$\mathrm{Rt}△ ADN$中，
$\begin{cases} AD=AD,\\ DM=DN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADM≌\mathrm{Rt}△ ADN(\mathrm{HL})$，
$\therefore AM=AN$，
$\therefore 2AM=AB+AC$，即$AM=\frac{1}{2}(AB+AC)$。
【答案】
(1) $BM=CN$成立；
(2) $AM=\frac{1}{2}(AB+AC)$成立。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于常规几何证明题，核心解题思路是构造全等三角形转化线段等量关系，需要熟练掌握角平分线、垂直平分线的性质，以及直角三角形全等的判定方法，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.7