8 如图,下列条件中不能证明$△ ABD≌△ ACD$的是（）

A.$BD=CD,∠ ADB=∠ ADC$
B.$∠ ADB=∠ ADC,∠ BAD=∠ CAD$
C.$∠ B=∠ C,∠ BAD=∠ CAD$
D.$∠ B=∠ C,BD=CD$

（第8题）（第9题）（第10题）

8. D

【分析】
要判断哪个条件不能证明$△ ABD≌△ ACD$，首先明确$△ ABD$和$△ ACD$存在公共边$AD$，即$AD=AD$这一隐含条件，再结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐个分析选项，不符合判定定理的即为正确答案，注意SSA不能判定三角形全等。
【解析】
解：由图可知$AD$是$△ ABD$和$△ ACD$的公共边，因此$AD=AD$。
选项A：已知$BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$，结合$AD=AD$，满足“SAS”全等判定定理，可证明$△ ABD≌△ ACD$，不符合题意；
选项B：已知$∠ ADB=∠ ADC$，$∠ BAD=∠ CAD$，结合$AD=AD$，满足“ASA”全等判定定理，可证明$△ ABD≌△ ACD$，不符合题意；
选项C：已知$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$，结合$AD=AD$，满足“AAS”全等判定定理，可证明$△ ABD≌△ ACD$，不符合题意；
选项D：已知$∠ B=∠ C$，$BD=CD$，结合$AD=AD$，属于“SSA”的情况，无法判定两个三角形全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、公共边的应用、SSA判定误区
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的应用，解题时要先挖掘出图形中的公共边这一隐含条件，再结合各判定定理逐一验证，要注意SSA不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7

9 如图,在$Rt△ ABC$和$Rt△ DEF$中,$∠ ACB = ∠ DFE = 90°$, $AB = DE$且$AB ⊥ DE$.若$AC = 6$, $EF = 4$, $CF = 3$, 则$BD$的长为________.

9. 7

【分析】
要求BD的长度，首先结合已知的两个直角三角形、AB=DE且AB⊥DE的条件，先通过同角的余角相等推导得到一组对应角相等，再利用AAS判定两个直角三角形全等，得到对应边的长度，最后根据线段的和差关系计算BD的长度即可。
【解析】
设AB与DE的交点为G。
∵ AB⊥DE，
∴ $∠ DGB=90°$，可得 $∠ D + ∠ B = 90°$。
∵ $∠ ACB=90°$，在$Rt△ ABC$中$∠ A + ∠ B = 90°$，
∴ $∠ A = ∠ D$。
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}∠ ACB = ∠ DFE = 90° \\∠ A = ∠ D \\AB = DE\end{cases}$
∴ $△ ABC ≌ △ DEF$（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，得$AC=DF=6$，$BC=EF=4$。
观察线段BD，DF与BC的重叠部分为CF，因此：
$BD = DF + BC - CF = 6 + 4 - 3 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
AAS证全等，全等三角形的性质，线段和差计算
【点评】
本题是全等三角形应用的典型题，解题核心是通过角的互余关系找到相等的对应角，完成全等证明后即可结合线段关系求出结果，很好地考查了全等判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

10 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC$,点$C$的坐标为$(-2,0)$,点$A$的坐标为$(-6,3)$,则点$B$的坐标为.

10. (1,4) 【解析】过点 A 作$AD⊥ x$轴于点 D,过点 B 作$BE⊥ x$轴于点 E.$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°.\therefore ∠ ACD+∠ CAD=90°.\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ BCE=90°.$
$\therefore ∠ CAD=∠ BCE.在△ CAD 和△ BCE 中,\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB,\\∠ CAD=∠ BCE,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ CAD≌△ BCE.\therefore AD=CE,CD=BE.\because A(-6,3),C(-2,0),\therefore OD=6,OC=2,AD=3.\therefore CD=OD-OC=4.$
$\therefore CE=3,BE=4.\therefore OE=CE-OC=1.\therefore 点 B 的坐标为(1,4).$

【分析】
本题是平面直角坐标系与全等三角形结合的几何题，解题思路如下：第一步，结合等腰直角三角形的直角特征，通过过A、B两点向x轴作垂线，构造出两个含直角的三角形；第二步，利用同角的余角相等推导两个三角形的对应角相等，结合已知AC=BC的条件，用AAS判定两个三角形全等；第三步，根据A、C的坐标计算对应线段长度，再利用全等三角形对应边相等的性质，算出点B到坐标轴的距离，最终推导得到B的坐标。
【解析】
过点A作$AD⊥x$轴于点D，过点B作$BE⊥x$轴于点E，
则$∠ADC=∠CEB=90°$，
$\therefore ∠ACD+∠CAD=90°$，
$\because ∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACD+∠BCE=90°$，
$\therefore ∠CAD=∠BCE$。
在$△ CAD$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB \\∠CAD=∠BCE \\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ CAD≌△ BCE\mathrm{（AAS）}$，
$\therefore AD=CE$，$CD=BE$。
已知$A(-6,3)$，$C(-2,0)$，则$AD=3$，$CD=|-2 - (-6)|=4$，
$\therefore CE=AD=3$，$BE=CD=4$，
$\therefore OE=CE-OC=3-2=1$，
$\therefore$点B的坐标为$(1,4)$。
【答案】
$(1,4)$
【知识点】
全等三角形的AAS判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题是坐标系与几何结合的典型题型，作垂线构造全等三角形是解题的突破口，既考查了全等三角形的判定与性质，也考验了数形结合思想的应用能力，掌握这类辅助线构造方法可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7

11 教材P60复习题T11变式 如图，Rt△ABC的直角顶点C在直线l上，AC＝BC，过A，B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D，E。
（1）请你在图中找出一对全等三角形，并加以说明；
（2）若BE＝3，DE＝5，求AD的长。

11. (1) $△ ACD≌△ CBE$ $\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ ECB=90°.\because AD⊥ CE,BE⊥ CE,\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°.\therefore ∠ ACD+∠ DAC=90°.\therefore ∠ ECB=∠ DAC.在△ ACD 和△ CBE 中,\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB,\\∠ DAC=∠ ECB,\\AC=CB,\end{cases}\therefore △ ACD≌△ CBE$
(2) $\because △ ACD≌△ CBE,\therefore CD=BE=3,AD=CE.又\because CE=CD+DE=3+5=8,\therefore AD=8$

【分析】
（1）首先观察图形中的直角三角形，结合已知条件$AC=BC$，以及$AD$、$BE$均垂直于直线$l$可得到两组直角相等；再利用$∠ ACB=90°$，通过同角的余角相等推导得出一组锐角相等，满足AAS全等判定的条件，即可找出全等三角形并证明。
（2）求$AD$的长时，可利用全等三角形对应边相等的性质，将$AD$转化为$CE$，再结合已知的$BE$、$DE$长度，通过线段和的关系计算即可得到结果。
【解析】
（1）全等三角形为$△ ACD≌△ CBE$，说明如下：
$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ ACD+∠ ECB=90°$。
$\because AD⊥ l$，$BE⊥ l$，$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ ECB=∠ DAC$。
在$△ ACD$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB\\∠ DAC=∠ ECB\\AC=CB\end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ CBE$（AAS）。
（2）$\because △ ACD≌△ CBE$，
$\therefore CD=BE=3$，$AD=CE$。
又$\because CE=CD+DE=3+5=8$，
$\therefore AD=8$。
【答案】
（1）$△ ACD≌△ CBE$，理由见解析；
（2）$AD$的长为$8$。
【知识点】
AAS判定三角形全等，全等三角形的性质，余角的性质
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题关键是利用直角的性质推导相等的角完成全等证明，再通过全等的性质进行线段的等量代换求解，能很好地巩固全等三角形的判定与性质相关知识。
【难度系数】
0.7

12 新考向 探究题 如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，DB为$△ ACD$的高，$AB=DB$，$EB=CB$，连接AE.
(1) 求证: $△ ABE ≌ △ DBC$；
(2) 若 $BF ⊥ AE$ 于点 $F$，$BG ⊥ CD$ 于点 $G$，探究 $BF$ 与 $BG$ 之间的数量及位置关系，并证明你的结论.

12. (1) $\because DB$ 为$△ ACD$ 的高,$\therefore DB⊥ AC.\therefore ∠ ABE=∠ DBC=90°.在△ ABE 和△ DBC 中,\begin{cases}AB=DB,\\∠ ABE=∠ DBC,\\EB=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DBC$
(2) $BF=BG,BF⊥ BG$ 由(1),知$△ ABE≌△ DBC,\therefore ∠ AEB=∠ DCB.\because BF⊥ AE,BG⊥ CD,$
$\therefore ∠ BFE=∠ BGC=90°.在△ BEF 和△ BCG 中,$
$\begin{cases}∠ BEF=∠ BCG,\\∠ BFE=∠ BGC,\\EB=CB,\end{cases}\therefore △ BEF≌△ BCG.\therefore BF=BG,∠ EBF=∠ CBG.\because ∠ DBC=∠ GBD+∠ CBG=90°,\therefore ∠ GBD+∠ EBF=90°,即∠ GBF=90°.\therefore BF⊥ BG$

【分析】
(1) 要证明$△ ABE ≌ △ DBC$，首先从已知条件入手：$DB$是$△ ACD$的高，可得$∠ ABE$和$∠ DBC$均为直角，结合题目给出的$AB=DB$、$EB=CB$，刚好满足全等三角形判定的“SAS”条件，按对应格式整理条件即可完成证明。
(2) 探究$BF$与$BG$的关系，需从数量、位置两个方向分析：首先借助(1)的全等结论可得$∠ AEB=∠ DCB$，结合$BF⊥AE$、$BG⊥CD$得到两个直角相等，再加已知$EB=CB$，可用“AAS”证明$△ BEF ≌ △ BCG$，得到$BF=BG$且$∠ EBF=∠ CBG$；再结合$∠ DBC=90°$，将$∠ CBG$替换为$∠ EBF$，即可推导得$∠ GBF=90°$，证明$BF⊥BG$。
【解析】
(1) 证明：$\because DB$为$△ ACD$的高，
$\therefore DB⊥AC$，即$∠ ABE=∠ DBC=90°$。
在$△ ABE$和$△ DBC$中，
$\begin{cases}AB=DB,\\∠ABE=∠DBC,\\EB=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ DBC$（SAS）。
(2) 解：$BF=BG$，且$BF⊥BG$，证明如下：
由(1)知$△ ABE≌△ DBC$，$\therefore ∠AEB=∠DCB$。
$\because BF⊥AE$，$BG⊥CD$，
$\therefore ∠BFE=∠BGC=90°$。
在$△ BEF$和$△ BCG$中，
$\begin{cases}∠BEF=∠BCG,\\∠BFE=∠BGC,\\EB=CB,\end{cases}$
$\therefore △ BEF≌△ BCG$（AAS），
$\therefore BF=BG$，$∠EBF=∠CBG$。
$\because ∠DBC=∠GBD+∠CBG=90°$，
$\therefore ∠GBD+∠EBF=90°$，即$∠GBF=90°$，
$\therefore BF⊥BG$。
【答案】
(1) $△ ABE≌△ DBC$，证明成立；
(2) $BF=BG$，$BF⊥BG$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题属于三角形全等的综合探究题，第一问较为基础，直接结合已知条件用SAS判定定理即可证明；第二问需要借助第一问的全等结论推导角的等量关系，再通过AAS证明新的三角形全等，进而推导线段的数量与位置关系，考查对全等判定、性质的灵活运用能力和角的转化思维。
【难度系数】
0.7

13 如图,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,连接 BE,CD 交于点 F. 已知 AB=AC,∠B=∠C.
(1) 求证:$BD=CE$;
(2) 求证:$△ BDF≌△ CEF$;
(3) 连接 AF,求证:AF 平分$∠ BAC$.

13. (1) 在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ C,\\AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\end{cases}$ $\therefore △ ABE≌△ ACD.\therefore AE=AD.\therefore AB-AD=AC-AE,即BD=CE$
(2) 在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ C,\\∠ BFD=∠ CFE,\\BD=CE,\end{cases}\therefore △ BDF≌△ CEF$
(3) 由(2),知$△ BDF≌△ CEF,\therefore BF=CF.在△ ABF 和△ ACF 中,\begin{cases}AB=AC,\\∠ B=∠ C,\\BF=CF,\end{cases}\therefore △ ABF≌△ ACF.$
$\therefore ∠ BAF=∠ CAF,即 AF 平分∠ BAC$

【分析】
(1) 要证$BD=CE$，已知$AB=AC$，只需证$AD=AE$即可。观察发现$AD$、$AE$分别在$△ ACD$和$△ ABE$中，结合已知$∠ B=∠ C$，公共角$∠ BAE=∠ CAD$，以及$AB=AC$，可通过ASA判定$△ ABE≌△ ACD$，得到$AE=AD$，再利用线段的差即可推出$BD=CE$；
(2) 要证$△ BDF≌△ CEF$，已知$∠ B=∠ C$，还有对顶角$∠ BFD=∠ CFE$，结合(1)已证的$BD=CE$，可通过AAS判定两三角形全等；
(3) 要证$AF$平分$∠ BAC$，即证$∠ BAF=∠ CAF$，可通过证明$△ ABF≌△ ACF$得到对应角相等。由(2)的全等结论可得$BF=CF$，结合已知$AB=AC$、$∠ B=∠ C$，通过SAS即可判定两三角形全等，进而得到结论。
【解析】
(1) 在$△ ABE$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ C,\\AB=AC,\\∠ BAE=∠ CAD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACD$，
$\therefore AE=AD$，
$\therefore AB-AD=AC-AE$，即$BD=CE$。
(2) 在$△ BDF$ 和$△ CEF$ 中,
$\begin{cases}∠ B=∠ C,\\∠ BFD=∠ CFE,\\BD=CE,\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CEF$。
(3) 由(2)知$△ BDF≌△ CEF$，$\therefore BF=CF$。
在$△ ABF$ 和$△ ACF$ 中,
$\begin{cases}AB=AC,\\∠ B=∠ C,\\BF=CF,\end{cases}$
$\therefore △ ABF≌△ ACF$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CAF$，即$AF$平分$∠ BAC$。
【答案】
(1) $BD=CE$，证明见解析；
(2) $△ BDF≌△ CEF$，证明见解析；
(3) $AF$平分$∠ BAC$，证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的综合基础题，三小问逐层递进，前一问的结论可作为后一问的解题条件，解题时要注意挖掘公共角、对顶角这类隐含条件，梳理清楚已知和待证的关联即可顺利解题。
【难度系数】
0.7