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1 [2025安庆怀宁期中]对于函数$y=-2(x+3)^2$的图象，下列说法正确的是（
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点坐标为$(-3,-2)$
B
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-3$
C.当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而减小
D.顶点坐标为$(-3,-2)$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与性质，解题时先将给定函数转化为标准顶点式形式，确定参数$a、h、k$的取值，再结合参数的几何意义，依次判断开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标四个选项的正误即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中：
①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
②对称轴为直线$x=h$；
③顶点坐标为$(h,k)$；
④开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
将给定函数整理为标准顶点式：$y=-2(x+3)^2=-2(x-(-3))^2+0$，可得$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
逐一分析选项：
A. 因$a=-2＜0$，函数图象开口向下，A错误；
B. 对称轴为直线$x=h=-3$，B正确；
C. 图象开口向下，对称轴为$x=-3$，则当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 顶点坐标为$(h,k)=(-3,0)$，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的图象与性质，解题时先将给定函数转化为标准顶点式形式，确定参数$a、h、k$的取值，再结合参数的几何意义，依次判断开口方向、对称轴、增减性、顶点坐标四个选项的正误即可。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其中：
①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
②对称轴为直线$x=h$；
③顶点坐标为$(h,k)$；
④开口向下时，对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
将给定函数整理为标准顶点式：$y=-2(x+3)^2=-2(x-(-3))^2+0$，可得$a=-2$，$h=-3$，$k=0$。
逐一分析选项：
A. 因$a=-2＜0$，函数图象开口向下，A错误；
B. 对称轴为直线$x=h=-3$，B正确；
C. 图象开口向下，对称轴为$x=-3$，则当$x＜-3$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 顶点坐标为$(h,k)=(-3,0)$，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的增减性；二次函数的对称轴与顶点坐标
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征，熟练记忆相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 一题多解 已知点A(4，$y_1$)，B(1，$y_2$)，C(-2，$y_3$)都在二次函数$y=3(x-2)^2$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是
$y_2＜y_1＜y_3$
(用“＜”连接)。答案
$y_2＜y_1＜y_3$ 【解析】解法一:把点的坐标代入函数表达式,得$y_1=12,y_2=3,y_3=48,\therefore y_2＜y_1＜y_3$. 解法二:结合函数图象的性质判断大小,离对称轴距离越远值越大,$\because |1-2|＜|4-2|＜|-2-2|,\therefore y_2＜y_1＜y_3$.
解析
【分析】
本题是比较二次函数上三点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一：代入求值法，二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可将三个点的横坐标分别代入函数表达式，求出对应的y值后直接比较大小；思路二：性质判断法，先明确二次函数$y=3(x-2)^2$的开口方向和对称轴，由于$a=3＞0$，抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算各点横坐标到对称轴的距离，即可快速比较y值大小，无需计算具体数值。
【解析】
解法一：代入求值法
将点A(4,$y_1$)、B(1,$y_2$)、C(-2,$y_3$)分别代入$y=3(x-2)^2$得：
$y_1=3×(4-2)^2=3×4=12$，
$y_2=3×(1-2)^2=3×1=3$，
$y_3=3×(-2-2)^2=3×16=48$，
∵3＜12＜48，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
解法二：性质判断法
二次函数$y=3(x-2)^2$中$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
计算各点横坐标到对称轴$x=2$的距离：
$|1-2|=1$，$|4-2|=2$，$|-2-2|=4$，
∵1＜2＜4，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，两种解题方法各有特点：代入法思路直接易理解，利用函数性质的方法更加简便快捷，能够减少计算量，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等性质是快速解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是比较二次函数上三点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一：代入求值法，二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可将三个点的横坐标分别代入函数表达式，求出对应的y值后直接比较大小；思路二：性质判断法，先明确二次函数$y=3(x-2)^2$的开口方向和对称轴，由于$a=3＞0$，抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，只需计算各点横坐标到对称轴的距离，即可快速比较y值大小，无需计算具体数值。
【解析】
解法一：代入求值法
将点A(4,$y_1$)、B(1,$y_2$)、C(-2,$y_3$)分别代入$y=3(x-2)^2$得：
$y_1=3×(4-2)^2=3×4=12$，
$y_2=3×(1-2)^2=3×1=3$，
$y_3=3×(-2-2)^2=3×16=48$，
∵3＜12＜48，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
解法二：性质判断法
二次函数$y=3(x-2)^2$中$a=3＞0$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，
开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大，
计算各点横坐标到对称轴$x=2$的距离：
$|1-2|=1$，$|4-2|=2$，$|-2-2|=4$，
∵1＜2＜4，
∴$y_2＜y_1＜y_3$。
【答案】
$y_2＜y_1＜y_3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数$y=a(x-h)^2$的性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，两种解题方法各有特点：代入法思路直接易理解，利用函数性质的方法更加简便快捷，能够减少计算量，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴等性质是快速解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3 [2025忻州期中]下面是三位同学对某个二次函数的描述.甲:图象的形状、开口方向与$y=-2x^2$的图象相同;乙:顶点在$x$轴上;丙:对称轴是直线$x=-3$.请你写出这个二次函数:
$y=-2(x+3)^2$
.答案
$y=-2(x+3)^2$
解析
【分析】
解题时先根据甲的描述确定二次项系数a的值，二次函数中a决定图象的开口方向和形状，与$y=-2x^2$形状、开口相同则a相等；再结合丙给出的对称轴，以及乙提到的顶点在x轴上，可确定顶点坐标，最后代入二次函数顶点式即可求出解析式。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
因为函数图象的形状、开口方向与$y=-2x^2$相同，所以二次项系数$a=-2$。
2. 确定顶点坐标：
已知对称轴是直线$x=-3$，且顶点在x轴上（即顶点纵坐标为0），因此顶点坐标为$(-3,0)$。
3. 代入顶点式求解析式：
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），将$a=-2$，$h=-3$，$k=0$代入得：
$y=-2(x-(-3))^2+0$，化简为$y=-2(x+3)^2$。
【答案】
$y=-2(x+3)^2$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数性质的综合应用，解题关键是理解二次函数各参数的意义，结合题中给出的条件逐步确定解析式中的未知量，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
解题时先根据甲的描述确定二次项系数a的值，二次函数中a决定图象的开口方向和形状，与$y=-2x^2$形状、开口相同则a相等；再结合丙给出的对称轴，以及乙提到的顶点在x轴上，可确定顶点坐标，最后代入二次函数顶点式即可求出解析式。
【解析】
1. 确定二次项系数a：
因为函数图象的形状、开口方向与$y=-2x^2$相同，所以二次项系数$a=-2$。
2. 确定顶点坐标：
已知对称轴是直线$x=-3$，且顶点在x轴上（即顶点纵坐标为0），因此顶点坐标为$(-3,0)$。
3. 代入顶点式求解析式：
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），将$a=-2$，$h=-3$，$k=0$代入得：
$y=-2(x-(-3))^2+0$，化简为$y=-2(x+3)^2$。
【答案】
$y=-2(x+3)^2$
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数顶点式；二次函数的对称轴
【点评】
本题考查二次函数性质的综合应用，解题关键是理解二次函数各参数的意义，结合题中给出的条件逐步确定解析式中的未知量，属于对基础知识点的考查。
【难度系数】
0.8
4 教材变式题 已知函数 $y=4x^2, y=4(x+1)^2$ 和 $y=4(x-1)^2$。
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出它们的图象。
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）请问分别通过怎样的平移，可以由函数 $y=4x^2$ 的图象得到函数 $y=4(x+1)^2$ 和函数 $y=4(x-1)^2$ 的图象？
（4）分别说出各个函数的性质。
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出它们的图象。
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
（3）请问分别通过怎样的平移，可以由函数 $y=4x^2$ 的图象得到函数 $y=4(x+1)^2$ 和函数 $y=4(x-1)^2$ 的图象？
（4）分别说出各个函数的性质。
答案
(1)
(2) 函数$y=4x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;函数$y=4(x+1)^2$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,0)$;函数$y=4(x-1)^2$的图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,0)$
(3) 函数$y=4(x+1)^2$的图象由函数$y=4x^2$的图象向左平移1个单位长度得到,函数$y=4(x-1)^2$的图象由函数$y=4x^2$的图象向右平移1个单位长度得到
(4) 函数$y=4x^2$,当$x＜0$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞0$时,$y$随着$x$的增大而增大;函数$y=4(x+1)^2$,当$x＜-1$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞-1$时,$y$随着$x$的增大而增大;函数$y=4(x-1)^2$,当$x＜1$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞1$时,$y$随着$x$的增大而增大
解析
【分析】
解题时按照小问顺序逐步分析：
1. 画二次函数图象使用描点法：先根据顶点式确定每个函数的顶点坐标，再选取对称轴两侧对称的若干个点，描点后用平滑曲线连接即可得到图象。
2. 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，对应三个函数的参数即可直接得到对应结论。
3. 二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，对比平移前后函数表达式中$x$的变化，即可确定平移方向和距离。
4. 二次函数的增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，对应三个函数的对称轴即可写出增减性。
【解析】
（1）画图象步骤：
① 先确定三个函数的顶点：$y=4x^2$顶点$(0,0)$，$y=4(x+1)^2$顶点$(-1,0)$，$y=4(x-1)^2$顶点$(1,0)$；
② 每个函数在顶点两侧各取2~3组对称点，如$y=4x^2$取$(1,4)、(-1,4)$、$(0.5,1)、(-0.5,1)$，另外两个函数同理取对应对称点；
③ 将每个函数的点依次用平滑曲线连接，得到对应图象。
（2）三个函数的二次项系数均为$4＞0$，因此开口均向上：
$y=4x^2$可看作$y=4(x-0)^2$，即$h=0$，因此对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
$y=4(x+1)^2$即$y=4(x-(-1))^2$，即$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
$y=4(x-1)^2$即$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
（3）根据二次函数平移“左加右减”的规律：
表达式中$x$替换为$x+1$，对应图象向左平移1个单位长度，因此$y=4(x+1)^2$由$y=4x^2$向左平移1个单位得到；
表达式中$x$替换为$x-1$，对应图象向右平移1个单位长度，因此$y=4(x-1)^2$由$y=4x^2$向右平移1个单位得到。
（4）三个函数开口均向上，因此在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，对应每个函数的对称轴即可得到增减性结论。
【答案】
(1)
(2) 函数$y=4x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;函数$y=4(x+1)^2$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,0)$;函数$y=4(x-1)^2$的图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,0)$
(3) 函数$y=4(x+1)^2$的图象由函数$y=4x^2$的图象向左平移1个单位长度得到,函数$y=4(x-1)^2$的图象由函数$y=4x^2$的图象向右平移1个单位长度得到
(4) 函数$y=4x^2$,当$x＜0$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞0$时,$y$随着$x$的增大而增大;函数$y=4(x+1)^2$,当$x＜-1$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞-1$时,$y$随着$x$的增大而增大;函数$y=4(x-1)^2$,当$x＜1$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞1$时,$y$随着$x$的增大而增大
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数图象平移规律；描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，通过对比三个仅自变量有平移变化的二次函数，能帮助大家直观理解二次函数图象平移的规律，熟练掌握从顶点式直接提取开口方向、对称轴、顶点坐标的方法，以及结合开口和对称轴判断函数增减性的技巧，是后续学习更复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.8
解题时按照小问顺序逐步分析：
1. 画二次函数图象使用描点法：先根据顶点式确定每个函数的顶点坐标，再选取对称轴两侧对称的若干个点，描点后用平滑曲线连接即可得到图象。
2. 对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$，$a$决定开口方向，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，对应三个函数的参数即可直接得到对应结论。
3. 二次函数图象平移遵循“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，对比平移前后函数表达式中$x$的变化，即可确定平移方向和距离。
4. 二次函数的增减性结合开口方向和对称轴判断：开口向上时，对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，对称轴右侧$y$随$x$增大而增大，对应三个函数的对称轴即可写出增减性。
【解析】
（1）画图象步骤：
① 先确定三个函数的顶点：$y=4x^2$顶点$(0,0)$，$y=4(x+1)^2$顶点$(-1,0)$，$y=4(x-1)^2$顶点$(1,0)$；
② 每个函数在顶点两侧各取2~3组对称点，如$y=4x^2$取$(1,4)、(-1,4)$、$(0.5,1)、(-0.5,1)$，另外两个函数同理取对应对称点；
③ 将每个函数的点依次用平滑曲线连接，得到对应图象。
（2）三个函数的二次项系数均为$4＞0$，因此开口均向上：
$y=4x^2$可看作$y=4(x-0)^2$，即$h=0$，因此对称轴为$y$轴（直线$x=0$），顶点坐标为$(0,0)$；
$y=4(x+1)^2$即$y=4(x-(-1))^2$，即$h=-1$，因此对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,0)$；
$y=4(x-1)^2$即$h=1$，因此对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,0)$。
（3）根据二次函数平移“左加右减”的规律：
表达式中$x$替换为$x+1$，对应图象向左平移1个单位长度，因此$y=4(x+1)^2$由$y=4x^2$向左平移1个单位得到；
表达式中$x$替换为$x-1$，对应图象向右平移1个单位长度，因此$y=4(x-1)^2$由$y=4x^2$向右平移1个单位得到。
（4）三个函数开口均向上，因此在对称轴左侧$y$随$x$增大而减小，右侧$y$随$x$增大而增大，对应每个函数的对称轴即可得到增减性结论。
【答案】
(1)
(2) 函数$y=4x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,顶点坐标为$(0,0)$;函数$y=4(x+1)^2$的图象开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,0)$;函数$y=4(x-1)^2$的图象开口向上,对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,0)$
(3) 函数$y=4(x+1)^2$的图象由函数$y=4x^2$的图象向左平移1个单位长度得到,函数$y=4(x-1)^2$的图象由函数$y=4x^2$的图象向右平移1个单位长度得到
(4) 函数$y=4x^2$,当$x＜0$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞0$时,$y$随着$x$的增大而增大;函数$y=4(x+1)^2$,当$x＜-1$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞-1$时,$y$随着$x$的增大而增大;函数$y=4(x-1)^2$,当$x＜1$时,$y$随着$x$的增大而减小,当$x＞1$时,$y$随着$x$的增大而增大
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数图象平移规律；描点法画函数图象
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础考查题，通过对比三个仅自变量有平移变化的二次函数，能帮助大家直观理解二次函数图象平移的规律，熟练掌握从顶点式直接提取开口方向、对称轴、顶点坐标的方法，以及结合开口和对称轴判断函数增减性的技巧，是后续学习更复杂二次函数的基础。
【难度系数】
0.8
5 [2025 吉林期中]将抛物线 $y=\frac{1}{2}(x+3)^2$ 平移得到抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$，则这个平移过程可能是
向右平移3个单位长度
。答案
向右平移3个单位长度
解析
【分析】
解决这类二次函数平移问题，首先明确平移不改变二次项系数a，仅改变图象位置，可通过两种思路判断：一是对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方式就是抛物线的平移方式；二是利用平移规律“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”分析。第一步先将两个函数整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，分别确定顶点坐标或观察x的变化即可得出平移过程。
【解析】
方法一：通过顶点坐标判断
抛物线$y=\frac{1}{2}(x+3)^2$的顶点式为$y=\frac{1}{2}[x-(-3)]^2+0$，顶点坐标为$(-3,0)$；
抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点式为$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，顶点坐标为$(0,0)$。
顶点从$(-3,0)$移动到$(0,0)$，横坐标增加了3，纵坐标不变，即顶点向右平移了3个单位长度。
由于抛物线平移时形状、开口方向不变，随顶点同步平移，因此该平移过程为向右平移3个单位长度。
方法二：通过平移规律判断
二次函数平移针对自变量$x$遵循“左加右减”的规则，若将原抛物线中的$x$替换为$x-3$，代入得：
$y=\frac{1}{2}[(x-3)+3]^2=\frac{1}{2}x^2$，符合平移后的解析式。
“对$x$减3”对应向右平移3个单位长度。
【答案】
向右平移3个单位长度
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础题型，解题核心是掌握二次函数平移的规则，既可以通过顶点坐标的变化直观判断平移方式，也可以直接通过解析式中自变量的变化推导，难度较低。
【难度系数】
0.9
解决这类二次函数平移问题，首先明确平移不改变二次项系数a，仅改变图象位置，可通过两种思路判断：一是对比两个抛物线的顶点坐标，顶点的平移方式就是抛物线的平移方式；二是利用平移规律“左加右减（针对自变量x），上加下减（针对常数项）”分析。第一步先将两个函数整理为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，分别确定顶点坐标或观察x的变化即可得出平移过程。
【解析】
方法一：通过顶点坐标判断
抛物线$y=\frac{1}{2}(x+3)^2$的顶点式为$y=\frac{1}{2}[x-(-3)]^2+0$，顶点坐标为$(-3,0)$；
抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$的顶点式为$y=\frac{1}{2}(x-0)^2+0$，顶点坐标为$(0,0)$。
顶点从$(-3,0)$移动到$(0,0)$，横坐标增加了3，纵坐标不变，即顶点向右平移了3个单位长度。
由于抛物线平移时形状、开口方向不变，随顶点同步平移，因此该平移过程为向右平移3个单位长度。
方法二：通过平移规律判断
二次函数平移针对自变量$x$遵循“左加右减”的规则，若将原抛物线中的$x$替换为$x-3$，代入得：
$y=\frac{1}{2}[(x-3)+3]^2=\frac{1}{2}x^2$，符合平移后的解析式。
“对$x$减3”对应向右平移3个单位长度。
【答案】
向右平移3个单位长度
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数图象部分的基础题型，解题核心是掌握二次函数平移的规则，既可以通过顶点坐标的变化直观判断平移方式，也可以直接通过解析式中自变量的变化推导，难度较低。
【难度系数】
0.9
6 教材变式题 已知抛物线$y=a(x+m)^2$经过点$(2,-2)$，且对称轴是过点$(3,0)$且平行于$y$轴的直线.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式.
(2) 写出此抛物线的开口方向、顶点坐标.
(3) 此抛物线有最高点还是最低点？
(4) 写出将此抛物线向右平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式.
(2) 写出此抛物线的开口方向、顶点坐标.
(3) 此抛物线有最高点还是最低点？
(4) 写出将此抛物线向右平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式.
答案
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x+m)^2$的对称轴是过点$(3,0)$且平行于$y$轴的直线,$\therefore m=-3$. 把$(2,-2)$代入$y=a(x-3)^2$,得$-2=(2-3)^2a$,解得$a=-2$. $\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-3)^2$
(2) 抛物线的开口向下,顶点坐标为$(3,0)$
(3) $\because$ 抛物线的开口向下,$\therefore$ 此抛物线有最高点
(4) 此抛物线向右平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-5)^2$
(2) 抛物线的开口向下,顶点坐标为$(3,0)$
(3) $\because$ 抛物线的开口向下,$\therefore$ 此抛物线有最高点
(4) 此抛物线向右平移2个单位长度得到的抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-5)^2$
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解（1）时，先回忆顶点式抛物线$y=a(x+m)^2$的对称轴为直线$x=-m$，结合题中对称轴是直线$x=3$的条件先求出$m$的值；再将已知点$(2,-2)$代入代入含$m$的解析式，求出$a$的值即可得到函数表达式。
2. 求解（2）时，根据顶点式中$a$的正负判断开口方向，顶点式的顶点坐标为$(-m,0)$，可直接写出结果。
3. 求解（3）时，根据抛物线开口方向判断最值情况：开口向下有最高点，开口向上有最低点，结合（2）的结论即可作答。
4. 求解（4）时，根据二次函数平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，对原解析式做变换即可得到平移后的解析式。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x+m)^2$的对称轴是过点$(3,0)$且平行于$y$轴的直线，即对称轴为直线$x=3$，$\therefore -m=3$，即$m=-3$。把$(2,-2)$代入$y=a(x-3)^2$，得$-2=(2-3)^2a$，解得$a=-2$。$\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-3)^2$。
(2) $\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线的开口向下，顶点坐标为$(3,0)$。
(3) $\because$ 抛物线的开口向下，$\therefore$ 此抛物线有最高点。
(4) 根据抛物线平移“左加右减”的规律，将此抛物线向右平移2个单位长度，将解析式中的$x$替换为$x-2$，得到的抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-3-2)^2=-2(x-5)^2$。
【答案】
(1) $y=-2(x-3)^2$
(2) 开口向下，顶点坐标为$(3,0)$
(3) 有最高点
(4) $y=-2(x-5)^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图象平移，二次函数最值判断
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的核心考点设置问题，属于基础类习题，主要考查对顶点式的对称轴、开口方向、顶点坐标、平移规律等知识点的掌握，熟练记忆相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：
1. 求解（1）时，先回忆顶点式抛物线$y=a(x+m)^2$的对称轴为直线$x=-m$，结合题中对称轴是直线$x=3$的条件先求出$m$的值；再将已知点$(2,-2)$代入代入含$m$的解析式，求出$a$的值即可得到函数表达式。
2. 求解（2）时，根据顶点式中$a$的正负判断开口方向，顶点式的顶点坐标为$(-m,0)$，可直接写出结果。
3. 求解（3）时，根据抛物线开口方向判断最值情况：开口向下有最高点，开口向上有最低点，结合（2）的结论即可作答。
4. 求解（4）时，根据二次函数平移“左加右减（针对自变量$x$）”的规律，对原解析式做变换即可得到平移后的解析式。
【解析】
(1) $\because$ 抛物线$y=a(x+m)^2$的对称轴是过点$(3,0)$且平行于$y$轴的直线，即对称轴为直线$x=3$，$\therefore -m=3$，即$m=-3$。把$(2,-2)$代入$y=a(x-3)^2$，得$-2=(2-3)^2a$，解得$a=-2$。$\therefore$ 此抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-3)^2$。
(2) $\because a=-2＜0$，$\therefore$ 抛物线的开口向下，顶点坐标为$(3,0)$。
(3) $\because$ 抛物线的开口向下，$\therefore$ 此抛物线有最高点。
(4) 根据抛物线平移“左加右减”的规律，将此抛物线向右平移2个单位长度，将解析式中的$x$替换为$x-2$，得到的抛物线对应的函数表达式为$y=-2(x-3-2)^2=-2(x-5)^2$。
【答案】
(1) $y=-2(x-3)^2$
(2) 开口向下，顶点坐标为$(3,0)$
(3) 有最高点
(4) $y=-2(x-5)^2$
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数图象平移，二次函数最值判断
【点评】
本题围绕二次函数顶点式的核心考点设置问题，属于基础类习题，主要考查对顶点式的对称轴、开口方向、顶点坐标、平移规律等知识点的掌握，熟练记忆相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
