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1[2026 湖南张家界期末]如图,在直角三角形ABC中,∠B=90°,以下式子成立的是 (
A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 + c^2 = b^2$
C.$b^2 + c^2 = a^2$
D.$(a + c)^2 = b^2$
B
)A.$a^2 + b^2 = c^2$
B.$a^2 + c^2 = b^2$
C.$b^2 + c^2 = a^2$
D.$(a + c)^2 = b^2$
答案
由题意可知∠B=90°,所以b为斜边长,a,c为直角边长,所以$a^2 + c^2 = b^2$,故选 B.
解析
【分析】
解决本题的核心是正确应用勾股定理，解题思路可分为两步：首先确定直角三角形的斜边，直角所对的边是斜边，题中已知∠B=90°，它所对的边为AC（边长为b），因此b是斜边，a、c为两条直角边；再根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入对应边长即可判断正确选项。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，因此∠B所对的边b是斜边，边a、边c为两条直角边。根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$a^2 + c^2 = b^2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础考查题，解题的关键是准确识别直角对应的斜边，避免混淆直角边与斜边导致公式套用错误。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是正确应用勾股定理，解题思路可分为两步：首先确定直角三角形的斜边，直角所对的边是斜边，题中已知∠B=90°，它所对的边为AC（边长为b），因此b是斜边，a、c为两条直角边；再根据勾股定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”，代入对应边长即可判断正确选项。
【解析】
在Rt△ABC中，∠B=90°，因此∠B所对的边b是斜边，边a、边c为两条直角边。根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得$a^2 + c^2 = b^2$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础考查题，解题的关键是准确识别直角对应的斜边，避免混淆直角边与斜边导致公式套用错误。
【难度系数】
0.8
2[2025河南安阳质检]如图,直线$AB ⊥ CD$,垂足为$O$,$AO=15$,$CO=8$,以点$A$为圆心,$AC$的长为半径画弧,交直线$AB$于点$E$,则$OE$的长为(
A.8
B.6
C.4
D.2
(第2题图)
(第3题图)
D
)A.8
B.6
C.4
D.2
(第2题图)
(第3题图)
答案
因为$AB ⊥ CD$,所以$∠COA=90°$,所以$AC^2 = AO^2 + OC^2$. 因为$AO=15,CO=8$,所以$AC=17$. 因为以点 A 为圆心,$AC$ 的长为半径画弧,交直线$AB$于点$E$,所以$AC=AE=17$,所以$OE=AE-AO=2$,故选 D.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知AB垂直CD，可得△AOC是直角三角形，已知两条直角边AO、CO的长度，首先想到用勾股定理计算斜边AC的长度；再根据“同圆的半径相等”，得到AE=AC，最后结合线段的和差关系，用AE的长度减去AO的长度即可求出OE的长。
【解析】
∵ AB⊥CD，垂足为O，
∴ ∠AOC=90°，即△AOC为直角三角形。
在Rt△AOC中，AO=15，CO=8，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AO^2 + CO^2}=\sqrt{15^2 + 8^2}=\sqrt{225 + 64}=\sqrt{289}=17$。
∵ 以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于E，
∴ AE=AC=17，
∴ $OE=AE - AO=17 - 15=2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理与圆的基本性质的结合运用，解题的关键是先利用勾股定理求出AC的长度，再结合同圆半径相等完成线段长度的转化，最终通过线段差求得结果，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知AB垂直CD，可得△AOC是直角三角形，已知两条直角边AO、CO的长度，首先想到用勾股定理计算斜边AC的长度；再根据“同圆的半径相等”，得到AE=AC，最后结合线段的和差关系，用AE的长度减去AO的长度即可求出OE的长。
【解析】
∵ AB⊥CD，垂足为O，
∴ ∠AOC=90°，即△AOC为直角三角形。
在Rt△AOC中，AO=15，CO=8，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AO^2 + CO^2}=\sqrt{15^2 + 8^2}=\sqrt{225 + 64}=\sqrt{289}=17$。
∵ 以点A为圆心，AC长为半径画弧交AB于E，
∴ AE=AC=17，
∴ $OE=AE - AO=17 - 15=2$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理，圆的基本性质，线段和差计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查勾股定理与圆的基本性质的结合运用，解题的关键是先利用勾股定理求出AC的长度，再结合同圆半径相等完成线段长度的转化，最终通过线段差求得结果，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
3[2026 广东清远质检]如图, 等腰$△ ABC$中, $AB=AC=13, BC=10$, 则底边$BC$上的高$AD$为 (
A.13
B.12
C.10
D.5
B
)A.13
B.12
C.10
D.5
答案
因为$AB=AC=13,AD⊥BC$,所以$BD=\frac{1}{2}BC=5,∠ADB=90°$,所以$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-5^2=144$,所以$AD=12$,故选 B.
解析
【分析】
解题时首先结合等腰三角形的性质思考：等腰三角形底边上的高同时也是底边的中线，因此可以先求出底边一半BD的长度；此时AD、AB、BD构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出另一条直角边AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，且$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先利用等腰三角形三线合一得到直角三角形的直角边长度，再结合勾股定理计算未知边长，属于勾股定理应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合等腰三角形的性质思考：等腰三角形底边上的高同时也是底边的中线，因此可以先求出底边一半BD的长度；此时AD、AB、BD构成直角三角形，已知直角三角形的斜边和一条直角边，直接利用勾股定理即可求出另一条直角边AD的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是底边BC上的高，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，可得$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$，且$∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∴$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是先利用等腰三角形三线合一得到直角三角形的直角边长度，再结合勾股定理计算未知边长，属于勾股定理应用的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
4[2026山东烟台期中]如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$. 在边$BC$上有一点$P$，连接$AP$，若$AC=8$，$AP=10$，$PB=9$，求$AB$的长.
答案
在$Rt△ACP$中,由勾股定理可得$CP^2 = AP^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 36$,所以$CP=6$. 因为$PB=9$,所以$BC=CP+PB=15$. 在$Rt△ABC$中,由勾股定理可得$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + 15^2 = 289$,所以$AB=17$.
解析
【分析】
本题包含两个共用直角边AC的直角三角形，解题可按以下思路推进：首先优先处理已知边长更多的Rt△ACP，利用勾股定理求出CP的长度；再结合已知的PB长度，通过线段和差关系求出BC的总长度；最后在Rt△ABC中，再次运用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
在$Rt△ACP$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$CP^2 = AP^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100-64=36$，
因为线段长度为正数，所以$CP=6$。
已知$PB=9$，因此$BC=CP+PB=6+9=15$。
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 +15^2=64+225=289$，
因为线段长度为正数，所以$AB=17$。
【答案】
$\boxed{17}$
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，核心考查学生在多个关联直角三角形中灵活运用勾股定理推导未知边长的能力，解题时要先从已知条件充足的直角三角形入手求出过渡边长，再逐步推导所求量，计算过程中注意平方运算不要出错。
【难度系数】
0.8
本题包含两个共用直角边AC的直角三角形，解题可按以下思路推进：首先优先处理已知边长更多的Rt△ACP，利用勾股定理求出CP的长度；再结合已知的PB长度，通过线段和差关系求出BC的总长度；最后在Rt△ABC中，再次运用勾股定理即可计算出AB的长度。
【解析】
在$Rt△ACP$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$CP^2 = AP^2 - AC^2 = 10^2 - 8^2 = 100-64=36$，
因为线段长度为正数，所以$CP=6$。
已知$PB=9$，因此$BC=CP+PB=6+9=15$。
在$Rt△ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 +15^2=64+225=289$，
因为线段长度为正数，所以$AB=17$。
【答案】
$\boxed{17}$
【知识点】
勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题是勾股定理的基础应用题型，核心考查学生在多个关联直角三角形中灵活运用勾股定理推导未知边长的能力，解题时要先从已知条件充足的直角三角形入手求出过渡边长，再逐步推导所求量，计算过程中注意平方运算不要出错。
【难度系数】
0.8
5[2026江西新余期末]如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（
A.50
B.16
C.25
D.41
（第5题图）
（第6题图）
A
）A.50
B.16
C.25
D.41
（第5题图）
（第6题图）
答案
如图
,由勾股定理得$AB^2 = 13^2 - 12^2 = 25$,所以$CD^2 + BD^2 = BC^2 = 25$,所以阴影部分的面积为$AB^2 + CD^2 + BD^2 = 25+25=50$,故选 A.解析
【分析】
要求阴影部分的总面积，首先观察阴影是三个正方形，正方形面积等于边长的平方，因此只需计算三个正方形边长的平方和即可。第一步先看右侧的直角三角形，已知斜边长13，一条直角边长12，利用勾股定理可算出另一条直角边的平方，也就是上方大阴影正方形的面积。第二步看下方的直角三角形，它的斜边是上方正方形的边，根据勾股定理，下方两个小正方形的面积和等于这条斜边的平方，与上方大正方形面积相等。最后将两部分相加就能得到阴影总面积。
【解析】
如图，首先对右侧直角三角形运用勾股定理：
$AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，即上方大阴影正方形的面积为25。
下方的△BCD为直角三角形，由勾股定理得$CD^2 + BD^2 = BC^2$，由于BC是上方正方形的边长，故$BC=AB$，因此$BC^2=AB^2=25$，即下方两个小阴影正方形的面积之和为25。
因此阴影部分的总面积 = $25 + 25 = 50$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积性质结合考查，解题时不需要计算各正方形边长的具体数值，只需利用勾股定理将正方形面积转化为直角三角形对应边的平方关系即可，解题关键是找准各正方形边长所在的直角三角形。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的总面积，首先观察阴影是三个正方形，正方形面积等于边长的平方，因此只需计算三个正方形边长的平方和即可。第一步先看右侧的直角三角形，已知斜边长13，一条直角边长12，利用勾股定理可算出另一条直角边的平方，也就是上方大阴影正方形的面积。第二步看下方的直角三角形，它的斜边是上方正方形的边，根据勾股定理，下方两个小正方形的面积和等于这条斜边的平方，与上方大正方形面积相等。最后将两部分相加就能得到阴影总面积。
【解析】
如图
，首先对右侧直角三角形运用勾股定理：$AB^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$，即上方大阴影正方形的面积为25。
下方的△BCD为直角三角形，由勾股定理得$CD^2 + BD^2 = BC^2$，由于BC是上方正方形的边长，故$BC=AB$，因此$BC^2=AB^2=25$，即下方两个小阴影正方形的面积之和为25。
因此阴影部分的总面积 = $25 + 25 = 50$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算
【点评】
本题将勾股定理与正方形面积性质结合考查，解题时不需要计算各正方形边长的具体数值，只需利用勾股定理将正方形面积转化为直角三角形对应边的平方关系即可，解题关键是找准各正方形边长所在的直角三角形。
【难度系数】
0.7
6 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $△ ABC$ 的面积为 $24\ \mathrm{cm}^2$,在 $AB$ 同侧分别以 $AB,BC,AC$ 为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 $\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
24
由勾股定理,得$AB^2 = BC^2 + AC^2$,则阴影部分的面积为$\frac{1}{2}π×(\frac{BC}{2})^2 + \frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2 + S_{△ABC} - \frac{1}{2}π×(\frac{AB}{2})^2 = \frac{1}{8}π×(BC^2 + AC^2 - AB^2)+24=24\ \mathrm{cm}^2$.
由勾股定理,得$AB^2 = BC^2 + AC^2$,则阴影部分的面积为$\frac{1}{2}π×(\frac{BC}{2})^2 + \frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2 + S_{△ABC} - \frac{1}{2}π×(\frac{AB}{2})^2 = \frac{1}{8}π×(BC^2 + AC^2 - AB^2)+24=24\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的和差计算：阴影面积等于以BC为直径的小半圆面积+以AC为直径的小半圆面积+直角三角形ABC的面积-以AB为直径的大半圆面积。再结合直角三角形的勾股定理，可发现含π的项会相互抵消，直接得到阴影面积与三角形面积的关系。
【解析】
设以AB、BC、AC为直径的半圆面积分别为$S_{大半圆}$、$S_{小半圆BC}$、$S_{小半圆AC}$。
根据半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2$，可得：
$S_{小半圆BC}=\frac{1}{2}π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{π· BC^2}{8}$，
$S_{小半圆AC}=\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{π· AC^2}{8}$，
$S_{大半圆}=\frac{1}{2}π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{π· AB^2}{8}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB^2=BC^2+AC^2$。
阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{小半圆BC}+S_{小半圆AC}+S_{△ ABC}-S_{大半圆}$
代入得：
$S_{阴影}=\frac{π· BC^2}{8}+\frac{π· AC^2}{8}+24-\frac{π· AB^2}{8}$
$=\frac{π}{8}(BC^2+AC^2-AB^2)+24$
结合勾股定理$BC^2+AC^2=AB^2$，可知$BC^2+AC^2-AB^2=0$，因此：
$S_{阴影}=0+24=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，割补法求面积
【点评】
本题核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，再结合勾股定理消去含π的项，无需计算各半圆的具体面积即可得到结果，解题技巧性较强。
【难度系数】
0.6
要求不规则阴影部分的面积，可采用割补法将其转化为规则图形面积的和差计算：阴影面积等于以BC为直径的小半圆面积+以AC为直径的小半圆面积+直角三角形ABC的面积-以AB为直径的大半圆面积。再结合直角三角形的勾股定理，可发现含π的项会相互抵消，直接得到阴影面积与三角形面积的关系。
【解析】
设以AB、BC、AC为直径的半圆面积分别为$S_{大半圆}$、$S_{小半圆BC}$、$S_{小半圆AC}$。
根据半圆面积公式$S_{半圆}=\frac{1}{2}π r^2$，可得：
$S_{小半圆BC}=\frac{1}{2}π×(\frac{BC}{2})^2=\frac{π· BC^2}{8}$，
$S_{小半圆AC}=\frac{1}{2}π×(\frac{AC}{2})^2=\frac{π· AC^2}{8}$，
$S_{大半圆}=\frac{1}{2}π×(\frac{AB}{2})^2=\frac{π· AB^2}{8}$。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB^2=BC^2+AC^2$。
阴影部分面积：
$S_{阴影}=S_{小半圆BC}+S_{小半圆AC}+S_{△ ABC}-S_{大半圆}$
代入得：
$S_{阴影}=\frac{π· BC^2}{8}+\frac{π· AC^2}{8}+24-\frac{π· AB^2}{8}$
$=\frac{π}{8}(BC^2+AC^2-AB^2)+24$
结合勾股定理$BC^2+AC^2=AB^2$，可知$BC^2+AC^2-AB^2=0$，因此：
$S_{阴影}=0+24=24\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
24
【知识点】
勾股定理，半圆面积计算，割补法求面积
【点评】
本题核心是通过割补法将不规则阴影面积转化为规则图形的面积和差，再结合勾股定理消去含π的项，无需计算各半圆的具体面积即可得到结果，解题技巧性较强。
【难度系数】
0.6
7 [2026 重庆南岸区质检]如图，△ABC中，AB=1，BC=0.9，AC=1.7，则△ABC的面积为
0.36
。答案
如图所示
,过点 A 作$AD⊥CB$交$CB$延长线于点 D. 设$BD=x$,则$CD=x+0.9$. 根据勾股定理得$AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$,即$1.7^2 - (x+0.9)^2 = 1^2 - x^2$,整理得$1.8x=1.08$,解得$x=0.6$,即$BD=0.6$,所以$AD^2=AB^2-BD^2=1^2-0.6^2=0.64$,所以$AD=0.8$,所以$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}×0.9×0.8=0.36$. 故答案为 0.36.解析
【分析】
要计算△ABC的面积，已知三边长度，可选用BC为底，只需求出BC边上的高即可代入面积公式求解。观察可知△ABC为钝角三角形，BC边上的高落在CB的延长线外侧，因此可过A作AD垂直CB的延长线于D，构造出两个共直角边AD的直角三角形。设BD=x，则CD=x+0.9，在两个直角三角形中，AD²可分别由勾股定理用含x的式子表示，两式相等即可列方程求出x，进一步算出AD的长度，最终求得三角形面积。
【解析】
过点A作$AD⊥CB$，交$CB$的延长线于点D，设$BD=x$，则$CD=BD+BC=x+0.9$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2 - BD^2$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2 - CD^2$。
联立两式可得：$AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$，
代入已知边长：$1.7^2 - (x+0.9)^2 = 1^2 - x^2$，
展开并整理得：$2.89 - x^2 - 1.8x - 0.81 = 1 - x^2$，
消去$x^2$后化简得：$1.8x=1.08$，
解得$x=0.6$，即$BD=0.6$。
将$x=0.6$代入$AD^2=AB^2-BD^2$，得$AD^2=1^2 - 0.6^2=0.64$，因此$AD=0.8$（线段长度为正）。
代入三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×0.9×0.8=0.36$。
【答案】
0.36
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；构造直角三角形
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，通过作高构造直角三角形，利用公共直角边作为等量关系列方程求解未知线段，既考查了辅助线的构造能力，也考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
要计算△ABC的面积，已知三边长度，可选用BC为底，只需求出BC边上的高即可代入面积公式求解。观察可知△ABC为钝角三角形，BC边上的高落在CB的延长线外侧，因此可过A作AD垂直CB的延长线于D，构造出两个共直角边AD的直角三角形。设BD=x，则CD=x+0.9，在两个直角三角形中，AD²可分别由勾股定理用含x的式子表示，两式相等即可列方程求出x，进一步算出AD的长度，最终求得三角形面积。
【解析】
过点A作$AD⊥CB$，交$CB$的延长线于点D，设$BD=x$，则$CD=BD+BC=x+0.9$。
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2 - BD^2$；
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2 - CD^2$。
联立两式可得：$AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$，
代入已知边长：$1.7^2 - (x+0.9)^2 = 1^2 - x^2$，
展开并整理得：$2.89 - x^2 - 1.8x - 0.81 = 1 - x^2$，
消去$x^2$后化简得：$1.8x=1.08$，
解得$x=0.6$，即$BD=0.6$。
将$x=0.6$代入$AD^2=AB^2-BD^2$，得$AD^2=1^2 - 0.6^2=0.64$，因此$AD=0.8$（线段长度为正）。
代入三角形面积公式得：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×0.9×0.8=0.36$。
【答案】
0.36
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；构造直角三角形
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，通过作高构造直角三角形，利用公共直角边作为等量关系列方程求解未知线段，既考查了辅助线的构造能力，也考查了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
8 [2026 陕西西安期末]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,AB=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于点E,求CE的长.
刷易错 小心有坑~
刷易错 小心有坑~
答案
如图
,连接 AE. 因为 DE 为 AB 的垂直平分线,所以$AE=BE$. 在$△ABC$中,因为$∠ACB=90°,AC=3,AB=5$,所以$BC=4$. 设$CE=x$,则$BE=AE=4-x$. 在$Rt△ACE$中,由勾股定理,得$x^2+3^2=(4-x)^2$,解得$x=\frac{7}{8}$,所以$CE$的长为$\frac{7}{8}$.解析
【分析】
解题时首先从已知条件“DE是AB的垂直平分线”入手，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接辅助线AE可得AE=BE，完成线段的等量转化。其次△ABC是直角三角形，已知两条边的长度，可先用勾股定理求出BC的长度。最后设CE的长为x，将AE用含x的代数式表示，在Rt△ACE中利用勾股定理列方程，求解即可得到CE的长度。
【解析】
1. 连接AE，如图。
2. 因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AE=BE$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
4. 设$CE=x$，则$BE=BC-CE=4-x$，因此$AE=4-x$。
5. 在$Rt△ ACE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+CE^2=AE^2$，代入数值可得方程：$3^2+x^2=(4-x)^2$。
6. 解方程：
展开右边得$9+x^2=16-8x+x^2$，消去两边的$x^2$得$9=16-8x$，
移项整理得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$。
【答案】
如图，$CE$的长为$\frac{7}{8}$。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 勾股定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质转化相等线段，再通过勾股定理建立方程求解，体现了数形结合与方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知条件“DE是AB的垂直平分线”入手，联想到线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此连接辅助线AE可得AE=BE，完成线段的等量转化。其次△ABC是直角三角形，已知两条边的长度，可先用勾股定理求出BC的长度。最后设CE的长为x，将AE用含x的代数式表示，在Rt△ACE中利用勾股定理列方程，求解即可得到CE的长度。
【解析】
1. 连接AE，如图
。2. 因为DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得$AE=BE$。
3. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$AB=5$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
4. 设$CE=x$，则$BE=BC-CE=4-x$，因此$AE=4-x$。
5. 在$Rt△ ACE$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+CE^2=AE^2$，代入数值可得方程：$3^2+x^2=(4-x)^2$。
6. 解方程：
展开右边得$9+x^2=16-8x+x^2$，消去两边的$x^2$得$9=16-8x$，
移项整理得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$。
【答案】
如图
，$CE$的长为$\frac{7}{8}$。【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 勾股定理
3. 方程法求线段长
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，解题的核心是利用垂直平分线的性质转化相等线段，再通过勾股定理建立方程求解，体现了数形结合与方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
9 已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长的平方为
16 或 34
.答案
因为一个直角三角形的两条边长分别为 3 和 5,所以①当 5 是此直角三角形的斜边长时,设另一条直角边长为 x,则由勾股定理,得$x^2=5^2-3^2=16$;②当 5 是此直角三角形的直角边长时,设斜边长为 y,则由勾股定理,得$y^2=5^2+3^2=34$. 故答案为 16 或 34.
解析
【分析】
本题需要运用勾股定理求解直角三角形的未知边长，解题关键是注意题目未明确给出的两条边长3和5是直角边还是斜边，因此要分类讨论：首先判断边长为5的边的身份，第一种情况是5为斜边，第二种情况是5为直角边，再分别结合勾股定理计算第三条边长的平方即可。
【解析】
已知直角三角形的两条边长为3和5，分两种情况讨论：
① 当5为该直角三角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，根据勾股定理可得：
$x^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
② 当5为该直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，根据勾股定理可得：
$y^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$
综上，第三条边长的平方为16或34。
【答案】
16或34
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的基础易错题，解题时需注意当题目未明确直角三角形的直角边和斜边时，要结合斜边为最长边的特点分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要运用勾股定理求解直角三角形的未知边长，解题关键是注意题目未明确给出的两条边长3和5是直角边还是斜边，因此要分类讨论：首先判断边长为5的边的身份，第一种情况是5为斜边，第二种情况是5为直角边，再分别结合勾股定理计算第三条边长的平方即可。
【解析】
已知直角三角形的两条边长为3和5，分两种情况讨论：
① 当5为该直角三角形的斜边长时，设另一条直角边长为x，根据勾股定理可得：
$x^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$
② 当5为该直角三角形的直角边长时，设斜边长为y，根据勾股定理可得：
$y^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$
综上，第三条边长的平方为16或34。
【答案】
16或34
【知识点】
勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题是勾股定理应用的基础易错题，解题时需注意当题目未明确直角三角形的直角边和斜边时，要结合斜边为最长边的特点分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
