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1. [2026蚌埠段考]下列各点中，不在抛物线$y=x^2$上的点是（
A.$(0,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,-4)$
D.$(-3,9)$
C
）A.$(0,0)$
B.$(-1,1)$
C.$(-2,-4)$
D.$(-3,9)$
答案
当x = -2时,y = (-2)² = 4,故点(-2,-4)不在抛物线y = x²上.
2. 对于抛物线 $ y = x^2 $，下列说法错误的是（
A.开口向上
B.顶点坐标是$(0,0)$
C.对称轴是直线$ x = 0 $
D.当$ x = 0 $时，$ y $有最大值0
D
）A.开口向上
B.顶点坐标是$(0,0)$
C.对称轴是直线$ x = 0 $
D.当$ x = 0 $时，$ y $有最大值0
答案
对于抛物线y = x²,当x = 0时,y有最小值0.
3. [2026 厦门翔安区期中] 在平面直角坐标系中，$A(-1,1), B(2,4), O(0,0)$.
(1)分别写出A,B两点关于y轴的对称点$A_1$, $B_1$的坐标.
(2)画出以O为顶点并过A,B,$A_1$,$B_1$四点的抛物线图象.
(1)分别写出A,B两点关于y轴的对称点$A_1$, $B_1$的坐标.
(2)画出以O为顶点并过A,B,$A_1$,$B_1$四点的抛物线图象.
答案
(1)点A(-1,1)关于y轴的对称点A₁的坐标为(1,1),点B(2,4)关于y轴的对称点B₁的坐标为(-2,4).(关于y轴对称的点的坐标特征:横坐标互为相反数,纵坐标相同)
(2)如图所示.
4. ▶一题多解 [2026 阜阳段考]若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则(
A.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
C.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
D.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
A
)A.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
C.$y_1 ＞ y_3 ＞ y_2$
D.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
答案
通解 当x = 0时,y₁ = 0;当x = 1时,y₂ = 1;当x = 2时,y₃ = 4,
∴ y₃ ＞ y₂ ＞ y₁.
另解 当x ＞ 0时,y随x的增大而增大,
∵ 2 ＞ 1 ＞ 0,
∴ y₃ ＞ y₂ ＞ y₁.
∴ y₃ ＞ y₂ ＞ y₁.
另解 当x ＞ 0时,y随x的增大而增大,
∵ 2 ＞ 1 ＞ 0,
∴ y₃ ＞ y₂ ＞ y₁.
5. [2026阳泉期中]已知函数$y=x^2$，当$x＜-4$时，$y$的取值范围是（
A.$y＞8$
B.$y＞16$
C.$y＜8$
D.$y＜16$
B
）A.$y＞8$
B.$y＞16$
C.$y＜8$
D.$y＜16$
答案
当x ＜ 0时,y随x的增大而减小,
∵ 当x = -4时,y = 16,
∴ 当x ＜ -4时,y ＞ 16.
∵ 当x = -4时,y = 16,
∴ 当x ＜ -4时,y ＞ 16.
6. 如图，A,B为抛物线$y=x^2$上两点，且线段AB⊥y轴.若AB=6,则点A的坐标为（
A.(3,3)
B.(3,9)
C.(-3,3)
D.(-3,9)
D
）A.(3,3)
B.(3,9)
C.(-3,3)
D.(-3,9)
答案
∵ 抛物线y = x²关于y轴对称,且线段AB ⊥ y轴,
∴ 线段AB也关于y轴对称. 又
∵ AB = 6,且点A在第二象限,
∴ 点A的横坐标为-3,即x = -3,可得y = (-3)² = 9,
∴ 点A的坐标为(-3,9).
7. ▶一题多解 [2026合肥经开区段考]已知抛物线$y=x^2$，当$-1≤x≤3$时，$y$的取值范围是（
A.$-1≤y≤9$
B.$0≤y≤9$
C.$1≤y≤9$
D.$-1≤y≤3$
B
）A.$-1≤y≤9$
B.$0≤y≤9$
C.$1≤y≤9$
D.$-1≤y≤3$
答案
通解 对于抛物线y = x²,易知当x = 0时,y有最小值0. 当-1 ≤ x ＜ 0时,y随x的增大而减小,故当x = -1时,y有最大值1;当0 ＜ x ≤ 3时,y随x的增大而增大,故当x = 3时,y有最大值9. 综上,当-1 ≤ x ≤ 3时,y的取值范围是0 ≤ y ≤ 9.
另解 画出草图,可知当-1 ≤ x ≤ 3时,y的取值范围是0 ≤ y ≤ 9.
二次函数的增减性是以对称轴为分界线的,当自变量的取值范围包含了对称轴所对应的x的值时,不要忽略在对称轴处取得最值;当自变量的取值范围不包含对称轴所对应的x的值时,在取值范围的端点处取得最值.
8. [2026合肥包河区段考]已知点$A(1,m)$在抛物线$y=x^2$上.
(1)求$m$的值.
(2)在$x$轴上是否存在点$P$,使得$△ OAP$是等腰三角形?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求$m$的值.
(2)在$x$轴上是否存在点$P$,使得$△ OAP$是等腰三角形?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)
∵ 点A(1,m)在抛物线y = x²上,
∴ m = 1² = 1.
(2)存在.
由(1)可知A(1,1). 由勾股定理可得OA = √(1²+1²) = √2.
分情况讨论如下:
如图,当OA = OP = √2时,可得P₁(-√2,0),P₂(√2,0).
当AO = AP = √2时,
∵ 点A在第一象限的角平分线上,
∴ ∠AOP = 45°,
∴ ∠APO = 45°,
∴ ∠OAP = 90°,
∴ OP = √(OA²+AP²) = √4 = 2,
∴ P₃(2,0).
当PO = PA时,∠OAP = ∠AOP = 45°,
∴ ∠APO = 90°,
∴ OP² + AP² = OA² = 2,
∴ OP = 1,
∴ P₄(1,0).
综上,点P的坐标为(-√2,0),(√2,0),(2,0)或(1,0).
9. 运算能力 如图，已知抛物线$y=x^2$上有A，B两点，其横坐标分别为-1，-2. 在y轴上有一动点C，则$AC + BC$的最小值为
3√2
. 答案
如图,点A关于y轴的对称点A'的横坐标为1,连接A'B与y轴相交于点C,点C即为使AC + BC最小的点("将军饮马"模型). 当x = -1时,y = (-1)² = 1,当x = -2时,y = (-2)² = 4,即点A'(1,1),B(-2,4),则A'B = √[1-(-2)]²+(1-4)² = 3√2(两点间的距离公式:已知点A(x₁,y₁),点B(x₂,y₂),则AB = √(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²).
