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1.如图，用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据
SSS
判定△COM≌△CON，进而得到∠AOC=∠BOC.答案
1.SSS
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从中提取两个三角形的相等边：第一步以O为圆心画弧，可得OM=ON；第二步分别以M、N为圆心画弧交于C，可得MC=NC；再加上两个三角形的公共边OC=OC，即可对应全等三角形的判定定理得出答案。
【解析】
尺规作$∠ AOB$的角平分线时：
1. 以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，因此$OM=ON$；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于点C，因此$MC=NC$；
3. 在$△ COM$和$△ CON$中，$\begin{cases}OM=ON\\MC=NC\\OC=OC(\mathrm{公共边})\end{cases}$，因此依据SSS（边边边）可判定$△ COM ≌ △ CON$，根据全等三角形对应角相等，即可得到$∠ AOC=∠ BOC$。
【答案】
SSS
【知识点】
1. 尺规作角平分线 2. 全等三角形SSS判定 3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是对尺规作图原理的基础考查，需要结合作图过程梳理出相等的边，再对应全等判定定理，熟练掌握基础尺规作图的操作步骤和原理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从中提取两个三角形的相等边：第一步以O为圆心画弧，可得OM=ON；第二步分别以M、N为圆心画弧交于C，可得MC=NC；再加上两个三角形的公共边OC=OC，即可对应全等三角形的判定定理得出答案。
【解析】
尺规作$∠ AOB$的角平分线时：
1. 以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N，因此$OM=ON$；
2. 分别以点M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧交于点C，因此$MC=NC$；
3. 在$△ COM$和$△ CON$中，$\begin{cases}OM=ON\\MC=NC\\OC=OC(\mathrm{公共边})\end{cases}$，因此依据SSS（边边边）可判定$△ COM ≌ △ CON$，根据全等三角形对应角相等，即可得到$∠ AOC=∠ BOC$。
【答案】
SSS
【知识点】
1. 尺规作角平分线 2. 全等三角形SSS判定 3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是对尺规作图原理的基础考查，需要结合作图过程梳理出相等的边，再对应全等判定定理，熟练掌握基础尺规作图的操作步骤和原理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图，$AB // CD$，以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$长为半径画弧，两条弧交于点P，作射线AP交CD于点M，若$∠ ACD=114°$，则$∠ AMC$的度数为
33°
。答案
2.33°
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的类型：题中描述的作图是角平分线的尺规作图，可得AP平分∠BAC；再利用平行线的性质，先根据AB//CD，同旁内角互补求出∠BAC的度数，再由角平分线定义求出∠BAM的度数，最后根据两直线平行内错角相等，即可求出∠AMC的度数。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AM是∠BAC的角平分线，即$∠ BAM=∠ CAM$。
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ BAC+∠ ACD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ ACD=114°$，代入得：
$∠ BAC=180°-114°=66°$
$\because AM$平分$∠ BAC$
$\therefore ∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×66°=33°$
又$\because AB// CD$
$\therefore ∠ AMC=∠ BAM=33°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$33°$
【知识点】
角平分线的尺规作图，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先识别出角平分线的作图，再结合平行线的角度关系求解，考查了学生对基础作图的识别和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的类型：题中描述的作图是角平分线的尺规作图，可得AP平分∠BAC；再利用平行线的性质，先根据AB//CD，同旁内角互补求出∠BAC的度数，再由角平分线定义求出∠BAM的度数，最后根据两直线平行内错角相等，即可求出∠AMC的度数。
【解析】
解：由尺规作图的步骤可知，AM是∠BAC的角平分线，即$∠ BAM=∠ CAM$。
$\because AB// CD$
$\therefore ∠ BAC+∠ ACD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ ACD=114°$，代入得：
$∠ BAC=180°-114°=66°$
$\because AM$平分$∠ BAC$
$\therefore ∠ BAM=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×66°=33°$
又$\because AB// CD$
$\therefore ∠ AMC=∠ BAM=33°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$33°$
【知识点】
角平分线的尺规作图，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础综合题，核心是先识别出角平分线的作图，再结合平行线的角度关系求解，考查了学生对基础作图的识别和几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，已知$△ ABC$，作$∠ ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$.(保留作图痕迹，不写作法)
答案
3.如图，射线BD即为所求
解析
【分析】
要作∠ABC的平分线BD，我们可以采用尺规作图的方法：首先以角的顶点B为圆心画弧，在角的两边上得到两个交点，再以这两个交点为圆心画弧得到角内部的交点，连接顶点和这个交点的射线就是角平分线，最后让射线与AC边相交得到点D即可。作图时要注意保留所有作图痕迹，不要擦除辅助弧线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点B为圆心，选取适当长度为半径画弧，分别交BA边于点M，交BC边于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；
3. 过点B、P作射线BP，射线BP与AC边的交点记为D，射线BD就是所求的∠ABC的平分线。
【答案】
如图，射线BD即为所求
【知识点】
尺规作角平分线；基本作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查角平分线的尺规作图方法，作图时要注意保留作图痕迹，严格按照作图规范操作即可完成。
【难度系数】
0.9
要作∠ABC的平分线BD，我们可以采用尺规作图的方法：首先以角的顶点B为圆心画弧，在角的两边上得到两个交点，再以这两个交点为圆心画弧得到角内部的交点，连接顶点和这个交点的射线就是角平分线，最后让射线与AC边相交得到点D即可。作图时要注意保留所有作图痕迹，不要擦除辅助弧线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点B为圆心，选取适当长度为半径画弧，分别交BA边于点M，交BC边于点N；
2. 分别以点M、N为圆心，取大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；
3. 过点B、P作射线BP，射线BP与AC边的交点记为D，射线BD就是所求的∠ABC的平分线。
【答案】
如图，射线BD即为所求
【知识点】
尺规作角平分线；基本作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，主要考查角平分线的尺规作图方法，作图时要注意保留作图痕迹，严格按照作图规范操作即可完成。
【难度系数】
0.9
4.(2024·青海)如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD=2，则点P到OA的距离是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
4.C
解析
【分析】
首先提取题目已知条件：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB且PD=2，要求点P到OA的距离。我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，其中PD是点P到OB的垂线段长度，也就是点P到OB的距离，因此点P到OA的距离与PD长度相等，即可得出答案。
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，即PE为点P到OA的距离。
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴由角平分线的性质可得：PE=PD。
已知PD=2，因此PE=2，即点P到OA的距离为2。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，只要准确掌握角平分线的性质，明确“点到角边的距离是垂线段的长度”，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
首先提取题目已知条件：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB且PD=2，要求点P到OA的距离。我们可以联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，其中PD是点P到OB的垂线段长度，也就是点P到OB的距离，因此点P到OA的距离与PD长度相等，即可得出答案。
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，即PE为点P到OA的距离。
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴由角平分线的性质可得：PE=PD。
已知PD=2，因此PE=2，即点P到OA的距离为2。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；点到直线的距离
【点评】
本题属于基础题，核心考查角平分线性质的直接应用，只要准确掌握角平分线的性质，明确“点到角边的距离是垂线段的长度”，就能快速求解。
【难度系数】
0.9
5.(2025·新兴期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,BE平分$∠ ABC$,$DE ⊥ AB$于点D.若$AC=5\ \mathrm{cm}$,则$AE+DE=$ (
A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
D
)A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：BE是∠ABC的角平分线，∠ACB=90°说明EC垂直BC，同时DE垂直AB。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点E到BC的距离CE等于点E到AB的距离DE。此时要求的AE+DE可转化为AE+CE，而AE与CE的和正好是已知长度的线段AC，代入数值即可求出结果。
【解析】
∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°（即EC⊥BC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CE。
又
∵AE+CE=AC=5cm，
∴AE+DE=AE+CE=5cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题核心是通过角平分线的性质实现线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知长度的线段，只要熟练掌握角平分线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：BE是∠ABC的角平分线，∠ACB=90°说明EC垂直BC，同时DE垂直AB。回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点E到BC的距离CE等于点E到AB的距离DE。此时要求的AE+DE可转化为AE+CE，而AE与CE的和正好是已知长度的线段AC，代入数值即可求出结果。
【解析】
∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°（即EC⊥BC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=CE。
又
∵AE+CE=AC=5cm，
∴AE+DE=AE+CE=5cm。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；线段和差计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用，解题核心是通过角平分线的性质实现线段的等量代换，将未知的线段和转化为已知长度的线段，只要熟练掌握角平分线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.8
6.如图，射线OC是∠AOB的平分线，D为射线OC上一点，DP⊥OA于点P，PD=3，若Q是射线OB上一点，OQ=5，则图中阴影部分的面积为（
A.15
B.5
C.3
D.7.5
D
）A.15
B.5
C.3
D.7.5
答案
6.D
解析
【分析】
要计算阴影部分△ODQ的面积，已知底OQ=5，只需要求出OQ边上的高即可。已知OC是∠AOB的角平分线，D在OC上，且DP⊥OA、PD=3，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知D到OB的距离等于PD的长度，也就是△ODQ的高，再代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥OB，垂足为E。
∵ OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴ DE=DP=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
阴影部分为△ODQ，底OQ=5，底边上的高DE=3，
根据三角形面积公式可得：
$ S_{△ ODQ}=\frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5 $。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重对角平分线性质的基础应用，解题的关键是通过角平分线的性质得到三角形对应边上的高，再结合面积公式求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
要计算阴影部分△ODQ的面积，已知底OQ=5，只需要求出OQ边上的高即可。已知OC是∠AOB的角平分线，D在OC上，且DP⊥OA、PD=3，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知D到OB的距离等于PD的长度，也就是△ODQ的高，再代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
过点D作DE⊥OB，垂足为E。
∵ OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，
∴ DE=DP=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
阴影部分为△ODQ，底OQ=5，底边上的高DE=3，
根据三角形面积公式可得：
$ S_{△ ODQ}=\frac{1}{2} × OQ × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5 $。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重对角平分线性质的基础应用，解题的关键是通过角平分线的性质得到三角形对应边上的高，再结合面积公式求解，难度不大。
【难度系数】
0.7
7.(新考向)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,AD平分$∠ BAC$,交BC于D,若$CD=3$,P为AB上一动点,则PD的最小值为
3
.答案
7.3
解析
【分析】
要找到AB上的动点P使得PD最小，首先依据“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”，可确定当DP垂直AB时，PD的长度最小。再结合AD是∠BAC的角平分线、∠C=90°即DC垂直AC的条件，利用角平分线的性质即可得到最小PD与已知CD的长度关系，进而求出结果。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当$DP⊥ AB$时，$PD$的长度取得最小值。
∵$AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$（即$DC⊥ AC$），$DP⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DP=CD$。
又
∵$CD=3$，
∴$PD$的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是动点最值与角平分线性质结合的基础常考题，解题核心是先明确PD取最小值的位置，再利用角平分线的性质转化线段长度求解，能很好地考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
要找到AB上的动点P使得PD最小，首先依据“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”，可确定当DP垂直AB时，PD的长度最小。再结合AD是∠BAC的角平分线、∠C=90°即DC垂直AC的条件，利用角平分线的性质即可得到最小PD与已知CD的长度关系，进而求出结果。
【解析】
根据垂线段最短的性质，当$DP⊥ AB$时，$PD$的长度取得最小值。
∵$AD$平分$∠ BAC$，$∠ C=90°$（即$DC⊥ AC$），$DP⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$DP=CD$。
又
∵$CD=3$，
∴$PD$的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；角平分线的性质
【点评】
本题是动点最值与角平分线性质结合的基础常考题，解题核心是先明确PD取最小值的位置，再利用角平分线的性质转化线段长度求解，能很好地考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
8.(2025·项城期末)如图,已知BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,PN⊥CD于N,求证:PM=PN. 
答案
8.$\because$ BD 为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABD=∠ CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADB=∠ CDB,$$\because$ 点 P 在 BD 上,$PM⊥ AD$,$PN⊥ CD$,$\therefore PM=PN$
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABD=∠ CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADB=∠ CDB,$$\because$ 点 P 在 BD 上,$PM⊥ AD$,$PN⊥ CD$,$\therefore PM=PN$
解析
【分析】
要证明PM=PN，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，只需先证明点P在∠ADC的平分线上，也就是BD平分∠ADC。要得到BD平分∠ADC，可通过证明△ABD和△CBD全等来推导对应角相等；结合已知条件，BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，还有AB=BC、公共边BD，刚好满足SAS全等的判定条件，证明全等后即可得到∠ADB=∠CDB，最后利用角平分线的性质就能证得结论。
【解析】
证明：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN。
【答案】
$\because$ BD 为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABD=∠ CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADB=∠ CDB,$
$\because$ 点 P 在 BD 上,$PM⊥ AD$,$PN⊥ CD$,$\therefore PM=PN$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，是全等三角形与角平分线性质结合的典型考法，解题核心是先通过SAS判定三角形全等得到角相等，确定角平分线后再利用角平分线的性质得到线段相等。
【难度系数】
0.75
要证明PM=PN，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，只需先证明点P在∠ADC的平分线上，也就是BD平分∠ADC。要得到BD平分∠ADC，可通过证明△ABD和△CBD全等来推导对应角相等；结合已知条件，BD是∠ABC的平分线可得∠ABD=∠CBD，还有AB=BC、公共边BD，刚好满足SAS全等的判定条件，证明全等后即可得到∠ADB=∠CDB，最后利用角平分线的性质就能证得结论。
【解析】
证明：
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ABD=∠CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN。
【答案】
$\because$ BD 为$∠ ABC$的平分线,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,在$△ ABD$ 和$△ CBD$ 中,
$\begin{cases} AB=CB, \\ ∠ ABD=∠ CBD, \\ BD=BD, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌△ CBD(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ ADB=∠ CDB,$
$\because$ 点 P 在 BD 上,$PM⊥ AD$,$PN⊥ CD$,$\therefore PM=PN$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的性质
【点评】
本题是几何基础证明题，是全等三角形与角平分线性质结合的典型考法，解题核心是先通过SAS判定三角形全等得到角相等，确定角平分线后再利用角平分线的性质得到线段相等。
【难度系数】
0.75
