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4. 不等式 $3x ＜ 10$ 的正整数解有（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）个。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，可分两步思考：第一步先求解一元一次不等式$3x＜10$，得到$x$的取值范围；第二步在得到的取值范围内筛选出所有正整数，统计正整数的个数即可得到答案。
【解析】
解：先解不等式$3x＜10$，
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，可得$x＜\frac{10}{3}$，即$x＜3\frac{1}{3}$。
正整数是大于0的整数，因此满足$x＜3\frac{1}{3}$的正整数有1、2、3，共3个。
正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式特殊解求解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的求解及正整数解的筛选，解题时要明确正整数的定义，同时注意边界数值是否符合取值范围，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，可分两步思考：第一步先求解一元一次不等式$3x＜10$，得到$x$的取值范围；第二步在得到的取值范围内筛选出所有正整数，统计正整数的个数即可得到答案。
【解析】
解：先解不等式$3x＜10$，
不等式两边同时除以3，不等号方向不变，可得$x＜\frac{10}{3}$，即$x＜3\frac{1}{3}$。
正整数是大于0的整数，因此满足$x＜3\frac{1}{3}$的正整数有1、2、3，共3个。
正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式特殊解求解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元一次不等式的求解及正整数解的筛选，解题时要明确正整数的定义，同时注意边界数值是否符合取值范围，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.8
5.若不等式$(a-2)x＞a-2$的解集为$x＜1$，则$a$的取值范围为（
A.$a＜0$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
D
）。A.$a＜0$
B.$a≤2$
C.$a＞2$
D.$a＜2$
答案
5.D
解析
【分析】
首先回忆不等式的基本性质：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向会发生改变。本题中原不等式为$(a-2)x＞a-2$，最终解集为$x＜1$，对比发现不等号方向从“＞”变为“＜”，说明两边同时除以的系数$(a-2)$是负数，由此可列出关于$a$的不等式求解，同时要注意排除系数为0的特殊情况。
【解析】
解：已知不等式$(a-2)x＞a-2$的解集为$x＜1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得除数$a-2＜0$。
解该不等式，移项得$a＜2$。
若$a=2$，原不等式变为$0· x＞0$，即$0＞0$，不成立，不符合解集为$x＜1$的条件，因此$a≠2$。
综上，$a$的取值范围是$a＜2$，故选D。
【答案】D
【知识点】
不等式的基本性质；一元一次不等式的解集
【点评】
本题重点考查不等式性质的灵活应用，解题的关键是根据不等号方向的变化判断未知系数的正负，易错点是容易遗漏系数为0时不等式无意义的情况，做题时可通过代入特殊值验证排除错误选项。
【难度系数】
0.7
首先回忆不等式的基本性质：当不等式两边同时乘或除以同一个负数时，不等号的方向会发生改变。本题中原不等式为$(a-2)x＞a-2$，最终解集为$x＜1$，对比发现不等号方向从“＞”变为“＜”，说明两边同时除以的系数$(a-2)$是负数，由此可列出关于$a$的不等式求解，同时要注意排除系数为0的特殊情况。
【解析】
解：已知不等式$(a-2)x＞a-2$的解集为$x＜1$，不等号方向发生改变。
根据不等式的基本性质：不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得除数$a-2＜0$。
解该不等式，移项得$a＜2$。
若$a=2$，原不等式变为$0· x＞0$，即$0＞0$，不成立，不符合解集为$x＜1$的条件，因此$a≠2$。
综上，$a$的取值范围是$a＜2$，故选D。
【答案】D
【知识点】
不等式的基本性质；一元一次不等式的解集
【点评】
本题重点考查不等式性质的灵活应用，解题的关键是根据不等号方向的变化判断未知系数的正负，易错点是容易遗漏系数为0时不等式无意义的情况，做题时可通过代入特殊值验证排除错误选项。
【难度系数】
0.7
6.某校举行防溺水知识竞赛，共有20道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于90分，则至少应该答对几道题？
设答对$x$道题，则可列不等式（
A.$5x - 3(20 - x) ＞ 90$
B.$5x - 3(20 - x) ≤ 90$
C.$5x - 3x ≥ 90$
D.$5x - 3(20 - x) ≥ 90$
设答对$x$道题，则可列不等式（
D
）.A.$5x - 3(20 - x) ＞ 90$
B.$5x - 3(20 - x) ≤ 90$
C.$5x - 3x ≥ 90$
D.$5x - 3(20 - x) ≥ 90$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先明确题目中的数量关系和不等关系：首先总题量是20道，答对x道时，答错或不答的题量为(20-x)道；总得分的计算规则是“答对得分减去答错或不答扣的分”；“不少于90分”的含义是总得分大于等于90分，按照这个逻辑逐步推导就能列出对应的不等式。
【解析】
解：设答对x道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
1. 计算答对题的总得分：答对1题得5分，答对x道的得分是$5x$分；
2. 计算答错或不答扣的总分数：答错或不答1题扣3分，共扣$3(20-x)$分；
3. 明确不等关系：“总得分不少于90分”即总得分≥90分，因此列不等式为：
$5x - 3(20-x) ≥ 90$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式实际应用
2. 不等关系的表示
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的核心是准确理解“不少于”等关键词的不等含义，正确梳理得分、扣分的计算逻辑，进而准确列出不等式。
【难度系数】
0.8
解题时先明确题目中的数量关系和不等关系：首先总题量是20道，答对x道时，答错或不答的题量为(20-x)道；总得分的计算规则是“答对得分减去答错或不答扣的分”；“不少于90分”的含义是总得分大于等于90分，按照这个逻辑逐步推导就能列出对应的不等式。
【解析】
解：设答对x道题，则答错或不答的题数为$(20-x)$道。
1. 计算答对题的总得分：答对1题得5分，答对x道的得分是$5x$分；
2. 计算答错或不答扣的总分数：答错或不答1题扣3分，共扣$3(20-x)$分；
3. 明确不等关系：“总得分不少于90分”即总得分≥90分，因此列不等式为：
$5x - 3(20-x) ≥ 90$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式实际应用
2. 不等关系的表示
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的核心是准确理解“不少于”等关键词的不等含义，正确梳理得分、扣分的计算逻辑，进而准确列出不等式。
【难度系数】
0.8
7.写出一个关于y的一元一次不等式：
y＞1(答案不唯一)
。答案
7.y＞1(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先要明确一元一次不等式的判定要求：1. 只含有1个未知数，本题要求关于y，因此未知数只能是y；2. 未知数的最高次数为1，也就是y的次数不能大于1；3. 不等号两边的式子都为整式（不能出现分母含未知数的情况）；4. 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠均可）连接。我们只要构造出满足以上所有条件的式子即可。
【解析】
根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
本题要求写关于y的一元一次不等式，只需保证式子仅含y一个未知数、y的次数为1、两边为整式且用不等号连接即可，例如写出y＞1，其余符合要求的式子也正确。
【答案】
y＞1(答案不唯一)
【知识点】
一元一次不等式的定义
【点评】
本题是基础的开放类概念题，核心考查对一元一次不等式判定规则的理解，掌握定义即可轻松写出符合要求的结果，得分门槛较低。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确一元一次不等式的判定要求：1. 只含有1个未知数，本题要求关于y，因此未知数只能是y；2. 未知数的最高次数为1，也就是y的次数不能大于1；3. 不等号两边的式子都为整式（不能出现分母含未知数的情况）；4. 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠均可）连接。我们只要构造出满足以上所有条件的式子即可。
【解析】
根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数为1，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
本题要求写关于y的一元一次不等式，只需保证式子仅含y一个未知数、y的次数为1、两边为整式且用不等号连接即可，例如写出y＞1，其余符合要求的式子也正确。
【答案】
y＞1(答案不唯一)
【知识点】
一元一次不等式的定义
【点评】
本题是基础的开放类概念题，核心考查对一元一次不等式判定规则的理解，掌握定义即可轻松写出符合要求的结果，得分门槛较低。
【难度系数】
0.9
8. 一元一次不等式 $2x + 6 ＞ 0$ 的解集是
x＞−3
.答案
8.x＞−3
解析
【分析】
本题是求解一元一次不等式的基础题，解题思路和一元一次方程解法类似：第一步先通过移项把常数项移到不等号的右侧，注意移项要改变符号；第二步将x的系数化为1，由于本题中x的系数是正数，所以系数化为1时不等号方向不需要改变，就能得到最终的解集。
【解析】
解：对不等式 $2x + 6 ＞ 0$ 进行移项，将常数项6移到不等号右侧，变号后得：
$2x ＞ -6$
不等式两边同时除以正数2，不等号方向保持不变，计算得：
$x ＞ -3$
【答案】
$x＞−3$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考察题型，核心考查解一元一次不等式的基本步骤和不等式性质的应用，掌握移项规则、判断系数化1时不等号方向是否变化是解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题是求解一元一次不等式的基础题，解题思路和一元一次方程解法类似：第一步先通过移项把常数项移到不等号的右侧，注意移项要改变符号；第二步将x的系数化为1，由于本题中x的系数是正数，所以系数化为1时不等号方向不需要改变，就能得到最终的解集。
【解析】
解：对不等式 $2x + 6 ＞ 0$ 进行移项，将常数项6移到不等号右侧，变号后得：
$2x ＞ -6$
不等式两边同时除以正数2，不等号方向保持不变，计算得：
$x ＞ -3$
【答案】
$x＞−3$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于一元一次不等式的基础考察题型，核心考查解一元一次不等式的基本步骤和不等式性质的应用，掌握移项规则、判断系数化1时不等号方向是否变化是解题的关键。
【难度系数】
0.9
9.“x的7倍与1的差是正数”用不等式可表示为
7x−1＞0
.答案
9.7x−1＞0
解析
【分析】
解这道题需要逐句拆解题目文字表述，逐步转化为数学式子：首先表示出“x的7倍”，接着表示出它与1的差，再明确“正数”对应的不等关系，最后将几部分组合成不等式即可。
【解析】
1. 表示“x的7倍”：根据乘法的意义，x的7倍就是7乘x，写作7x；
2. 表示“x的7倍与1的差”：差为减法运算，用7x减去1，写作7x - 1；
3. 明确“是正数”的含义：正数指大于0的数，即7x - 1的结果要大于0；
综上，可列出不等式7x - 1 ＞ 0。
【答案】
7x−1＞0
【知识点】
列不等式、代数式表示、正数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查将文字描述的数量关系转化为数学不等式的能力，解题时需注意准确对应运算顺序和不等号方向，避免出现差的前后项颠倒、不等号使用错误的问题。
【难度系数】
0.9
解这道题需要逐句拆解题目文字表述，逐步转化为数学式子：首先表示出“x的7倍”，接着表示出它与1的差，再明确“正数”对应的不等关系，最后将几部分组合成不等式即可。
【解析】
1. 表示“x的7倍”：根据乘法的意义，x的7倍就是7乘x，写作7x；
2. 表示“x的7倍与1的差”：差为减法运算，用7x减去1，写作7x - 1；
3. 明确“是正数”的含义：正数指大于0的数，即7x - 1的结果要大于0；
综上，可列出不等式7x - 1 ＞ 0。
【答案】
7x−1＞0
【知识点】
列不等式、代数式表示、正数的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查将文字描述的数量关系转化为数学不等式的能力，解题时需注意准确对应运算顺序和不等号方向，避免出现差的前后项颠倒、不等号使用错误的问题。
【难度系数】
0.9
10.现定义一种新的运算：$a*b=a^2 - 2b$，例如：$3*4=3^2 - 2×4=1$，则不等式$(-2)*x≥0$的解集为
x≤2
。答案
10.x≤2
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义的运算规则：$a*b$等于$a$的平方减去2倍的$b$。第一步先将不等式中的$(-2)*x$按照新运算规则转化为我们熟悉的代数式，第二步根据题意列出一元一次不等式，第三步按照解一元一次不等式的步骤求解即可，注意系数化为1时如果两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
根据新运算$a*b=a^2 - 2b$，可得：
$(-2)*x = (-2)^2 - 2x = 4 - 2x$
结合题意$(-2)*x≥0$，列不等式得：
$4 - 2x ≥ 0$
移项，得：
$-2x ≥ -4$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x ≤ 2$
【答案】
$x≤2$
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式
【点评】
本题将新定义运算与一元一次不等式的解法结合考查，解题核心是准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规代数式后解不等式，需注意解不等式系数化为1时，不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先要准确理解新定义的运算规则：$a*b$等于$a$的平方减去2倍的$b$。第一步先将不等式中的$(-2)*x$按照新运算规则转化为我们熟悉的代数式，第二步根据题意列出一元一次不等式，第三步按照解一元一次不等式的步骤求解即可，注意系数化为1时如果两边同时除以负数，不等号方向要改变。
【解析】
根据新运算$a*b=a^2 - 2b$，可得：
$(-2)*x = (-2)^2 - 2x = 4 - 2x$
结合题意$(-2)*x≥0$，列不等式得：
$4 - 2x ≥ 0$
移项，得：
$-2x ≥ -4$
两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：
$x ≤ 2$
【答案】
$x≤2$
【知识点】
新定义运算、解一元一次不等式
【点评】
本题将新定义运算与一元一次不等式的解法结合考查，解题核心是准确理解新运算的规则，将新运算转化为常规代数式后解不等式，需注意解不等式系数化为1时，不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.8
11.用不等式表示下列各式：
（1）0大于－1；
（2）a的5倍超过1；
（3）x的6倍加上4是非负数；
（4）a的2倍与1的和是正数；
（1）0大于－1；
（2）a的5倍超过1；
（3）x的6倍加上4是非负数；
（4）a的2倍与1的和是正数；
答案
11.(1)0＞−1
(2)5a＞1
(3)6x+4≥0
(4)2a+1＞0
(2)5a＞1
(3)6x+4≥0
(4)2a+1＞0
解析
【分析】
解决这类列不等式的问题，核心思路分两步：第一步先找准语句中表示不等关系的关键词，对应匹配正确的不等号（比如“大于”“超过”对应＞，“非负数”对应≥0，“正数”对应＞0等）；第二步把语句中描述的数量用规范的代数式表示出来，再结合不等号组合成不等式即可。逐个分析小题：
（1）直接找关键词“大于”，对应符号＞，左右两边分别是0和-1；
（2）先写“a的5倍”的代数式是5a，关键词“超过”就是大于，对应＞，右边是1；
（3）先写“x的6倍加上4”的代数式是6x+4，关键词“非负数”表示大于等于0，对应≥0；
（4）先写“a的2倍与1的和”的代数式是2a+1，关键词“正数”表示大于0，对应＞0。
【解析】
（1）“大于”用符号“＞”表示，因此0大于－1可表示为：$0＞-1$；
（2）“a的5倍”可表示为$5a$，“超过”即大于，用符号“＞”表示，因此a的5倍超过1可表示为：$5a＞1$；
（3）“x的6倍加上4”可表示为$6x+4$，“非负数”是指大于或等于0的数，用符号“≥”表示，因此x的6倍加上4是非负数可表示为：$6x+4≥0$；
（4）“a的2倍与1的和”可表示为$2a+1$，“正数”是指大于0的数，用符号“＞”表示，因此a的2倍与1的和是正数可表示为：$2a+1＞0$。
【答案】
(1)$0＞-1$；(2)$5a＞1$；(3)$6x+4≥0$；(4)$2a+1＞0$
【知识点】
1. 不等号的含义 2. 列代数式 3. 列不等式
【点评】
本题是列不等式的基础题型，解题的关键是准确抓取语句中的不等关系关键词，匹配对应的不等号，同时熟练掌握代数式的书写规范即可正确求解，是后续学习解不等式和不等式应用题的基础。
【难度系数】
0.9
解决这类列不等式的问题，核心思路分两步：第一步先找准语句中表示不等关系的关键词，对应匹配正确的不等号（比如“大于”“超过”对应＞，“非负数”对应≥0，“正数”对应＞0等）；第二步把语句中描述的数量用规范的代数式表示出来，再结合不等号组合成不等式即可。逐个分析小题：
（1）直接找关键词“大于”，对应符号＞，左右两边分别是0和-1；
（2）先写“a的5倍”的代数式是5a，关键词“超过”就是大于，对应＞，右边是1；
（3）先写“x的6倍加上4”的代数式是6x+4，关键词“非负数”表示大于等于0，对应≥0；
（4）先写“a的2倍与1的和”的代数式是2a+1，关键词“正数”表示大于0，对应＞0。
【解析】
（1）“大于”用符号“＞”表示，因此0大于－1可表示为：$0＞-1$；
（2）“a的5倍”可表示为$5a$，“超过”即大于，用符号“＞”表示，因此a的5倍超过1可表示为：$5a＞1$；
（3）“x的6倍加上4”可表示为$6x+4$，“非负数”是指大于或等于0的数，用符号“≥”表示，因此x的6倍加上4是非负数可表示为：$6x+4≥0$；
（4）“a的2倍与1的和”可表示为$2a+1$，“正数”是指大于0的数，用符号“＞”表示，因此a的2倍与1的和是正数可表示为：$2a+1＞0$。
【答案】
(1)$0＞-1$；(2)$5a＞1$；(3)$6x+4≥0$；(4)$2a+1＞0$
【知识点】
1. 不等号的含义 2. 列代数式 3. 列不等式
【点评】
本题是列不等式的基础题型，解题的关键是准确抓取语句中的不等关系关键词，匹配对应的不等号，同时熟练掌握代数式的书写规范即可正确求解，是后续学习解不等式和不等式应用题的基础。
【难度系数】
0.9
12.解下列不等式：
(1) $3x+2＜5$；
(2) $5x+3＞3(2+x)$。
(1) $3x+2＜5$；
(2) $5x+3＞3(2+x)$。
答案
12.(1)$x＜1$
(2)$x＞\dfrac{3}{2}$
(2)$x＞\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，遵循“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤即可，注意不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。
对于第(1)题，无需去括号，直接移项合并同类项后系数化为1即可；对于第(2)题，先按照去括号法则去掉右侧的括号，再移项合并、系数化为1求解。
【解析】
(1) 解不等式$3x+2＜5$：
第一步，移项，将常数项2移到不等号右侧，得：$3x ＜ 5 - 2$
第二步，合并同类项，得：$3x ＜ 3$
第三步，系数化为1，两边同时除以正数3，不等号方向不变，得：$x ＜ 1$
(2) 解不等式$5x+3＞3(2+x)$：
第一步，去括号，根据乘法分配律展开右侧，得：$5x + 3 ＞ 6 + 3x$
第二步，移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得：$5x - 3x ＞ 6 - 3$
第三步，合并同类项，得：$2x ＞ 3$
第四步，系数化为1，两边同时除以正数2，不等号方向不变，得：$x ＞ \dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) $x＜1$；(2) $x＞\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质、去括号法则
【点评】
本题是一元一次不等式解法的基础题型，核心考查解一元一次不等式的基本操作步骤，解题时需注意移项要改变符号，去括号时不要漏乘括号内的项、注意符号正误，系数化为1时要留意系数的正负，避免不等号方向写错。
【难度系数】
0.85
解一元一次不等式的思路与解一元一次方程类似，遵循“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤即可，注意不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。
对于第(1)题，无需去括号，直接移项合并同类项后系数化为1即可；对于第(2)题，先按照去括号法则去掉右侧的括号，再移项合并、系数化为1求解。
【解析】
(1) 解不等式$3x+2＜5$：
第一步，移项，将常数项2移到不等号右侧，得：$3x ＜ 5 - 2$
第二步，合并同类项，得：$3x ＜ 3$
第三步，系数化为1，两边同时除以正数3，不等号方向不变，得：$x ＜ 1$
(2) 解不等式$5x+3＞3(2+x)$：
第一步，去括号，根据乘法分配律展开右侧，得：$5x + 3 ＞ 6 + 3x$
第二步，移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧，得：$5x - 3x ＞ 6 - 3$
第三步，合并同类项，得：$2x ＞ 3$
第四步，系数化为1，两边同时除以正数2，不等号方向不变，得：$x ＞ \dfrac{3}{2}$
【答案】
(1) $x＜1$；(2) $x＞\dfrac{3}{2}$
【知识点】
一元一次不等式的解法、不等式的基本性质、去括号法则
【点评】
本题是一元一次不等式解法的基础题型，核心考查解一元一次不等式的基本操作步骤，解题时需注意移项要改变符号，去括号时不要漏乘括号内的项、注意符号正误，系数化为1时要留意系数的正负，避免不等号方向写错。
【难度系数】
0.85
