登录
1.「2026云南昆明期中」如图，$△ ABC$是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，连接DE，有$AD=AE$，则$∠ ADE$等于（
A.$55°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$
C
）A.$55°$
B.$60°$
C.$75°$
D.$80°$
答案
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADE=$\frac{180°-30°}{2}$=75°.故选C.
2.「2024山东泰安中考」如图，直线$l// m$，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若$∠ABE=21°$，则$∠ACD$的度数是（
A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
B
）A.$45°$
B.$39°$
C.$29°$
D.$21°$
答案
如图,过点A作$AF// l$,
∵直线$l// m$,$\therefore AF// m$,$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ BAC=60°$,$\because AF// l$,$\therefore ∠ BAF=∠ ABE$,$\because ∠ ABE=21°$,
$\therefore ∠ BAF=21°$,$\therefore ∠ CAF=∠ BAC-∠ BAF=60°-21°=39°$,$\because AF// m$,$\therefore ∠ ACD=∠ CAF=39°$.故选B.
3. 学科特色 一线三等角模型 如图,点D,E,F分别为等边$△ ABC$三边AB,BC,AC上的动点,当$△ DEF$为等边三角形时,$AD=3$,则线段CF的长为
3
.答案
答案 3
解析 $\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ A=∠ C=60°$,
$\therefore ∠ ADF+∠ AFD=180°-∠ A=120°$,
$\because △ DEF$是等边三角形,$\therefore DF=FE,∠ DFE=60°$,
$\therefore ∠ AFD+∠ CFE=180°-∠ DFE=120°$,
$\therefore ∠ ADF=∠ CFE$,
$\therefore △ ADF≌ △ CFE(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF=AD=3$.
解析 $\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ A=∠ C=60°$,
$\therefore ∠ ADF+∠ AFD=180°-∠ A=120°$,
$\because △ DEF$是等边三角形,$\therefore DF=FE,∠ DFE=60°$,
$\therefore ∠ AFD+∠ CFE=180°-∠ DFE=120°$,
$\therefore ∠ ADF=∠ CFE$,
$\therefore △ ADF≌ △ CFE(\mathrm{AAS})$,$\therefore CF=AD=3$.
4. 学科特色教材变式 如图，$△ ABC$是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，连接DE，使$DB=DE$。
(1)求$∠ BDE$的度数。
(2)求证：$△ CED$是等腰三角形。
(1)求$∠ BDE$的度数。
(2)求证：$△ CED$是等腰三角形。
答案
(1)$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$,
$\because BD$是$AC$边上的高,$\therefore ∠ DBE=30°$,
$\because DB=DE$,$\therefore ∠ E=∠ DBE=30°$,
$\therefore ∠ BDE=180°-30°-30°=120°$.
(2)证明:$\because ∠ ACB=60°,∠ E=30°$,
$\therefore ∠ CDE=∠ ACB-∠ E=30°$,$\therefore ∠ CDE=∠ E$,
$\therefore CD=CE$,$\therefore △ CED$是等腰三角形.
$\therefore ∠ ACB=∠ ABC=60°$,
$\because BD$是$AC$边上的高,$\therefore ∠ DBE=30°$,
$\because DB=DE$,$\therefore ∠ E=∠ DBE=30°$,
$\therefore ∠ BDE=180°-30°-30°=120°$.
(2)证明:$\because ∠ ACB=60°,∠ E=30°$,
$\therefore ∠ CDE=∠ ACB-∠ E=30°$,$\therefore ∠ CDE=∠ E$,
$\therefore CD=CE$,$\therefore △ CED$是等腰三角形.
5.「2026江苏南通月考」下列三角形:①有两个角等于$60°$的三角形;②有一个角等于$60°$的等腰三角形;③三个角都相等的三角形;④三边都相等的三角形.其中是等边三角形的是 (
A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
D
)A.①②③
B.①②④
C.①③
D.①②③④
答案
D
6.「2026北京顺义期中」如图所示的是一个折叠熨衣架的侧面示意图，支架AB与CD交于点O，OD=OB，熨烫板MN与地面水平线l平行，∠DOB=60°,AC=25 cm,DO=40 cm,那么熨衣架的支架CD为
65
cm.答案
答案 65
解析 $\because ∠ DOB=60°,OD=OB$,
$\therefore △ DOB$是等边三角形,$\therefore ∠ ODB=∠ OBD=60°$,
$\because MN// BD$,$\therefore ∠ ACO=∠ ODB=60°,∠ CAO=∠ OBD=60°$,$\therefore △ AOC$是等边三角形,
$\therefore OC=AC=25\ \mathrm{cm}$,$\therefore CD=OD+OC=65(\mathrm{cm})$.
解析 $\because ∠ DOB=60°,OD=OB$,
$\therefore △ DOB$是等边三角形,$\therefore ∠ ODB=∠ OBD=60°$,
$\because MN// BD$,$\therefore ∠ ACO=∠ ODB=60°,∠ CAO=∠ OBD=60°$,$\therefore △ AOC$是等边三角形,
$\therefore OC=AC=25\ \mathrm{cm}$,$\therefore CD=OD+OC=65(\mathrm{cm})$.
7.「2026福建厦门期中」如图，$△ ABC$是等边三角形，E是边AC上的点，且$∠ 1 = ∠ 2$，$CD = BE$.判断$△ ADE$的形状，并说明理由. 
答案
$△ ADE$是等边三角形.理由:
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ BAC=60°$,$AB=AC$,
在$△ ABE$和$△ ACD$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=AD$,$∠ BAE=∠ CAD=60°$,
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore ∠ BAC=60°$,$AB=AC$,
在$△ ABE$和$△ ACD$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ 1=∠ 2, \\ BE=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ ACD(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=AD$,$∠ BAE=∠ CAD=60°$,
$\therefore △ ADE$是等边三角形.
