10. 学科特色 分类讨论思想 「2025浙江杭州月考改编，★★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=2$，$∠ B=∠ C=40°$，点$D$在线段$BC$上运动（$D$不与$B$，$C$重合），连接$AD$，作$∠ ADE=40°$，$DE$交线段$AC$于点$E$。
(1)当$DC$等于多少时，$△ ABD≌△ DCE$？请写出完整的证明过程。
(2)在点$D$的运动过程中，$△ ADE$的形状也在改变，问当$∠ BDA$等于多少度时，$△ ADE$为等腰三角形？

10.解析 (1)当$DC=2$时,$△ABD≌△DCE.$
证明:$\because ∠EDC+∠EDA=∠DAB+∠B,∠B=∠EDA=40°,\therefore ∠EDC=∠DAB,$
$\because ∠B=∠C,$
$\therefore $当$DC=AB=2$时,$△ABD≌△DCE.$
(2)$△ADE$为等腰三角形时,需分类讨论:
①当$AD=AE$时,$∠ADE=∠AED=40°,$
$\because ∠AED=∠C,\therefore $此时不符合;
②当$DA=DE$时,$∠DAE=∠DEA=\frac{1}{2}×(180°-40°)=70°,$
$\because ∠BAC=180°-40°-40°=100°,$
$\therefore ∠BAD=100°-70°=30°,$
$\therefore ∠BDA=180°-30°-40°=110°;$
③当$EA=ED$时,$∠ADE=∠DAE=40°,$
$\therefore ∠BAD=100°-40°=60°,$
$\therefore ∠BDA=180°-60°-40°=80°.$
综上,当$∠BDA$等于$110°$或$80°$时,$△ADE$为等腰三角形.

11. 核心素养 推理能力 「2026浙江金华期中节选」
(1)如图1,线段OA的一个端点O在直线l上,且与直线l所成的锐角为$50°$,以OA为一边画等腰三角形,并且使另一个顶点P在直线l上,这样的等腰三角形能画个.
(2)如图2,在$△ ABC$中,$∠ A=20°$,$∠ B=50°$,过顶点C作一条直线,分割出一个等腰三角形,这样的直线最多可以画条.
(3)如图3,在$△ ABC$中,$∠ BAC=20°$,若存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,试求$∠ B$的度数.

11.解析 (1)如图1,①$AO=OP_1$,②$AO=AP_2$,③$AO=OP_3$,④$AP_4=OP_4$,故这样的等腰三角形能画4个.

(2)如图2,①$AC=AF$,②$BC=BE$,③$CB=CG$,④$AD=CD$,⑤$BH=CH$,故过顶点C作一条直线,分割出一个等腰三角形,这样的直线最多可以画5条.
(3)如图3,当$AD=CD$时,$∠ACD=∠A=20°,$
$\therefore ∠CDB=40°,$
$\therefore $①当$CD=BD$时,$∠B=∠BCD=70°;$
②当$CD=BC$时,$∠B=∠CDB=40°;$
③当$BD=BC$时,$∠B=180°-40°-40°=100°.$
如图4,当$AC=AE,CE=BE$时,
$\because ∠A=20°,∴∠ACE=∠AEC=80°,$
$\therefore ∠B=∠BCE=40°.$
如图5,当$AC=CF,CF=BF$时,
$\because ∠A=20°,∴∠AFC=∠A=20°,∴∠B=10°.$

综上所述,存在过点C的一条直线,能把该三角形分成两个等腰三角形,$∠B$的度数为$70°$或$40°$或$100°$或$10°.$

1.「2026湖北武汉期中」如图,在$△ ABC$中,$ED// BC$,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线分别交$ED$于点$F$,$G$,若$FG=3$,$ED=8$,则$DB+EC$的值为.

1.答案 5
解析

∵ BF 平分∠ABC,
∴ ∠DBF=∠FBC,
∵ ED//BC,
∴ ∠DFB=∠FBC,
∴ ∠DBF=∠DFB,
∴ DF=DB,同理可得 EG=EC,
∵ FG=3,ED=8,
∴ DB+EC=DF+EG=ED-FG=8-3=5.

2.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与$△ ABC$的外角平分线交于点$D$,过点$D$作$EF// BC$,交$AB$于$E$,交$AC$于$F$,若$BE=8$,$CF=6$,则$EF$的长是.

2.答案 2
解析

∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD=∠DBC,
∵ EF//BC,
∴ ∠EDB=∠DBC,
∴ ∠ABD=∠EDB,
∴ ED=BE=8,同理可得 FD=CF=6,
∴ EF=ED-FD=8-6=2.

3.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,过线段CD上一点E作$EG// AD$,交AC于点F,交BA的延长线于点G.求证:$△ AFG$是等腰三角形.

3.证明

∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠BAD=∠CAD.
∵ EG//AD,
∴ ∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG,
∴ ∠G=∠AFG,
∴ AG=AF,
∴ △AFG 是等腰三角形.