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学
九
年
级
二
年
1.「2026江西南昌月考」方程$x(x-2026)=0$的解是（
A.$x=2026$
B.$x=0$
C.$x_1=0,x_2=2026$
D.$x_1=0,x_2=-2026$
学
九
年
级
二
年
1.「2026江西南昌月考」方程$x(x-2026)=0$的解是（
C
）A.$x=2026$
B.$x=0$
C.$x_1=0,x_2=2026$
D.$x_1=0,x_2=-2026$
答案
x(x-2026)=0,解得x=0或x=2026,即$x_1=0,x_2=2026$,故选C.
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个代数式的乘积为0，则至少其中一个代数式的值为0”的性质。拿到本题时无需将左边展开整理为一元二次方程的一般形式，直接令每个因式分别等于0，解对应的一元一次方程，即可得到方程的全部解。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的零乘积性质，若$x(x-2026)=0$，则两个因式中至少一个为0，可得：
$x=0$ 或 $x-2026=0$
解$x-2026=0$得$x=2026$
因此方程的解为$x_1=0,x_2=2026$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考察对因式分解法核心原理的掌握，解题时直接拆分因式求解即可，无需做不必要的展开计算，可降低出错概率。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个代数式的乘积为0，则至少其中一个代数式的值为0”的性质。拿到本题时无需将左边展开整理为一元二次方程的一般形式，直接令每个因式分别等于0，解对应的一元一次方程，即可得到方程的全部解。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的零乘积性质，若$x(x-2026)=0$，则两个因式中至少一个为0，可得：
$x=0$ 或 $x-2026=0$
解$x-2026=0$得$x=2026$
因此方程的解为$x_1=0,x_2=2026$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考察对因式分解法核心原理的掌握，解题时直接拆分因式求解即可，无需做不必要的展开计算，可降低出错概率。
【难度系数】
0.9
2.「2026海南海口期末」一元二次方程$x^2=3x$的解是（
A.$x=3$
B.$x=0$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
C
）A.$x=3$
B.$x=0$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$
答案
$x^2=3x$,整理得$x^2-3x=0$,因式分解得$x(x-3)=0$,
∴$x=0$或$x-3=0$,解得$x_1=0,x_2=3$.故选C.
∴$x=0$或$x-3=0$,解得$x_1=0,x_2=3$.故选C.
解析
【分析】
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先将方程移项整理为一元二次方程的标准形式，观察方程左边可提取公因式x进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的全部解。
【解析】
对原方程移项整理，得$x^2 - 3x = 0$，对左边提取公因式x因式分解，得$x(x-3)=0$，
∴$x=0$或$x-3=0$，解得$x_1=0,x_2=3$，因此本题选C。
【答案】C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，解题时需注意不要直接约去含未知数的整式，避免漏根，熟练掌握因式分解的方法即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0这个根。正确思路是先将方程移项整理为一元二次方程的标准形式，观察方程左边可提取公因式x进行因式分解，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，分别求解两个一元一次方程，即可得到原方程的全部解。
【解析】
对原方程移项整理，得$x^2 - 3x = 0$，对左边提取公因式x因式分解，得$x(x-3)=0$，
∴$x=0$或$x-3=0$，解得$x_1=0,x_2=3$，因此本题选C。
【答案】C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.一元二次方程的解
【点评】
本题属于解一元二次方程的基础题型，解题时需注意不要直接约去含未知数的整式，避免漏根，熟练掌握因式分解的方法即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
3.「2026湖南长沙月考」嘉嘉在解方程$x(x-3)=x-3$时，只得到一个解是$x=1$，则他漏掉的解是（
A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x=0$
D.$x=-1$
A
）A.$x=3$
B.$x=-3$
C.$x=0$
D.$x=-1$
答案
$x(x-3)=x-3$,整理得$x(x-3)-(x-3)=0$,因式分解得$(x-3)(x-1)=0$,
∴$x-3=0$或$x-1=0$,解得$x_1=3,x_2=1$,
∴他漏掉的解是$x=3$.故选A.
∴$x-3=0$或$x-1=0$,解得$x_1=3,x_2=1$,
∴他漏掉的解是$x=3$.故选A.
解析
【分析】
解这道题首先要明确，解一元二次方程时不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会出现漏根的问题。正确思路为：先将方程移项使等号右侧为0，再观察左侧式子存在公因式$(x-3)$，提取公因式因式分解后，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，得到全部根后和嘉嘉求出的解对比，即可找出漏掉的解。
【解析】
对原方程整理，将右侧的$x-3$移到左侧，得：
$x(x-3)-(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$因式分解，可得：
$(x-3)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得：
$x-3=0$或$x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=1$。
已知嘉嘉只得到解$x=1$，因此他漏掉的解是$x=3$。
【答案】
A
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提取公因式因式分解
3.一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查，解题核心是注意不能直接约去含未知数的整式避免丢根，熟练掌握移项提取公因式的因式分解解法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确，解一元二次方程时不能随意在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会出现漏根的问题。正确思路为：先将方程移项使等号右侧为0，再观察左侧式子存在公因式$(x-3)$，提取公因式因式分解后，把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，得到全部根后和嘉嘉求出的解对比，即可找出漏掉的解。
【解析】
对原方程整理，将右侧的$x-3$移到左侧，得：
$x(x-3)-(x-3)=0$
提取公因式$(x-3)$因式分解，可得：
$(x-3)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，得：
$x-3=0$或$x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=3$，$x_2=1$。
已知嘉嘉只得到解$x=1$，因此他漏掉的解是$x=3$。
【答案】
A
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程
2.提取公因式因式分解
3.一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础考查，解题核心是注意不能直接约去含未知数的整式避免丢根，熟练掌握移项提取公因式的因式分解解法即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
4.「2026山东菏泽成武期中」若一元二次方程的两根分别是$x_1=4,x_2=-5$,则这个方程可以是（
A.$x^2 - x -20=0$
B.$x^2 + x -20=0$
C.$x^2 - x +20=0$
D.$x^2 + x +20=0$
B
）A.$x^2 - x -20=0$
B.$x^2 + x -20=0$
C.$x^2 - x +20=0$
D.$x^2 + x +20=0$
答案
∵$x_1=4,x_2=-5$,
∴该方程可写为$(x-4)(x+5)=0$,整理得$x^2+x-20=0$.故选B.
解析
【分析】
已知一元二次方程的两个根，我们可以利用因式分解法解一元二次方程的逆用思路求解：若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x-x_1)(x-x_2)=0$；也可以用根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再代入一元二次方程的形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$得到结果，解题时要注意符号的处理，避免出错。
【解析】
方法一：因式分解逆用法
已知方程两根为$x_1=4$，$x_2=-5$，则该一元二次方程可以写为：
$(x-4)(x-(-5))=0$，即$(x-4)(x+5)=0$
展开并整理得：
$x^2+5x-4x-20=0$
$x^2+x-20=0$
方法二：根与系数关系法
计算两根之和：$x_1+x_2=4+(-5)=-1$
计算两根之积：$x_1x_2=4×(-5)=-20$
代入一元二次方程形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，得：
$x^2-(-1)x+(-20)=0$，即$x^2+x-20=0$
因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查已知一元二次方程的根反推方程的方法，只要熟练掌握因式分解的逆用或者根与系数的关系，注意符号运算的准确性，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
已知一元二次方程的两个根，我们可以利用因式分解法解一元二次方程的逆用思路求解：若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则方程可表示为$(x-x_1)(x-x_2)=0$；也可以用根与系数的关系，先计算两根之和与两根之积，再代入一元二次方程的形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$得到结果，解题时要注意符号的处理，避免出错。
【解析】
方法一：因式分解逆用法
已知方程两根为$x_1=4$，$x_2=-5$，则该一元二次方程可以写为：
$(x-4)(x-(-5))=0$，即$(x-4)(x+5)=0$
展开并整理得：
$x^2+5x-4x-20=0$
$x^2+x-20=0$
方法二：根与系数关系法
计算两根之和：$x_1+x_2=4+(-5)=-1$
计算两根之积：$x_1x_2=4×(-5)=-20$
代入一元二次方程形式$x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$，得：
$x^2-(-1)x+(-20)=0$，即$x^2+x-20=0$
因此选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查已知一元二次方程的根反推方程的方法，只要熟练掌握因式分解的逆用或者根与系数的关系，注意符号运算的准确性，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
5.「2026北京朝阳月考」方程$3x(2x+1)=4x+2$的解为
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$
.答案
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$
解析 $3x(2x+1)=4x+2$,整理得$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$,因式分解得$(2x+1)(3x-2)=0$,
∴$2x+1=0$或$3x-2=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$.
解析 $3x(2x+1)=4x+2$,整理得$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$,因式分解得$(2x+1)(3x-2)=0$,
∴$2x+1=0$或$3x-2=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
本题属于一元二次方程求解类题目，优先观察方程两边是否有公因式来简化计算：首先将等号右侧的式子变形提取公因子，再移项提取公共的整式因式，就能将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失根。
【解析】
解：对原方程变形整理：
$3x(2x+1)=2(2x+1)$
移项得：$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$
提取公因式$(2x+1)$得：$(2x+1)(3x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$2x+1=0$ 或 $3x-2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$2x+1=0$时，解得$x=-\frac{1}{2}$；
当$3x-2=0$时，解得$x=\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查对因式分解法的灵活运用，解题时注意不要直接约去含未知数的公因式避免漏解，熟练掌握提公因式的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题属于一元二次方程求解类题目，优先观察方程两边是否有公因式来简化计算：首先将等号右侧的式子变形提取公因子，再移项提取公共的整式因式，就能将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，否则会丢失根。
【解析】
解：对原方程变形整理：
$3x(2x+1)=2(2x+1)$
移项得：$3x(2x+1)-2(2x+1)=0$
提取公因式$(2x+1)$得：$(2x+1)(3x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$2x+1=0$ 或 $3x-2=0$
分别解两个一元一次方程：
当$2x+1=0$时，解得$x=-\frac{1}{2}$；
当$3x-2=0$时，解得$x=\frac{2}{3}$。
【答案】
$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{2}{3}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查对因式分解法的灵活运用，解题时注意不要直接约去含未知数的公因式避免漏解，熟练掌握提公因式的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 学科特色教材变式 用因式分解法解下列方程：
(1) $(2x-1)^2 -4=0.$
(2) $4(x-3)^2 =x(x-3).$
(3) $3x(x-1)=2-2x.$
(4) $2y^2 +4y =y+2.$
(5) $(x^2 -1)^2 -6(x^2 -1)+9=0.$
(1) $(2x-1)^2 -4=0.$
(2) $4(x-3)^2 =x(x-3).$
(3) $3x(x-1)=2-2x.$
(4) $2y^2 +4y =y+2.$
(5) $(x^2 -1)^2 -6(x^2 -1)+9=0.$
答案
(1)原方程可化为$(2x-1)^2-2^2=0$,因式分解,得$(2x-1+2)(2x-1-2)=0$,即$(2x+1)(2x-3)=0$,所以$2x+1=0$或$2x-3=0$,解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$4(x-3)^2-x(x-3)=0$,提取公因式,得$(x-3)[4(x-3)-x]=0$,即$(x-3)(3x-12)=0$,所以$x-3=0$或$3x-12=0$,解得$x_1=3,x_2=4$.
(3)移项,得$3x(x-1)+2x-2=0$,整理,得$3x(x-1)+2(x-1)=0$,因式分解,得$(x-1)(3x+2)=0$,所以$x-1=0$或$3x+2=0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$.
(4)整理,得$2y^2+3y-2=0$,因式分解,得$(y+2)(2y-1)=0$,所以$y+2=0$或$2y-1=0$,解得$y_1=-2,y_2=\frac{1}{2}$.
(5)原方程可化为$[(x^2-1)-3]^2=0$,即$(x^2-4)^2=0$,
∴$x^2=4$,解得$x_1=2,x_2=-2$.
(2)移项,得$4(x-3)^2-x(x-3)=0$,提取公因式,得$(x-3)[4(x-3)-x]=0$,即$(x-3)(3x-12)=0$,所以$x-3=0$或$3x-12=0$,解得$x_1=3,x_2=4$.
(3)移项,得$3x(x-1)+2x-2=0$,整理,得$3x(x-1)+2(x-1)=0$,因式分解,得$(x-1)(3x+2)=0$,所以$x-1=0$或$3x+2=0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$.
(4)整理,得$2y^2+3y-2=0$,因式分解,得$(y+2)(2y-1)=0$,所以$y+2=0$或$2y-1=0$,解得$y_1=-2,y_2=\frac{1}{2}$.
(5)原方程可化为$[(x^2-1)-3]^2=0$,即$(x^2-4)^2=0$,
∴$x^2=4$,解得$x_1=2,x_2=-2$.
解析
【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。各小题思考方向：(1)方程左边是平方差形式，直接用平方差公式分解；(2)两边含公因式(x-3)，先移项再提公因式，注意不能直接约去(x-3)避免丢根；(3)将右边变形为-2(x-1)，移项后提公因式(x-1)；(4)先整理为一元二次方程一般形式，再用十字相乘法分解；(5)把(x²-1)看作整体，用完全平方公式分解后再继续求解。
【解析】
(1)原方程可化为$(2x-1)^2-2^2=0$，因式分解得$(2x-1+2)(2x-1-2)=0$，即$(2x+1)(2x-3)=0$，
∴$2x+1=0$或$2x-3=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$。
(2)移项得$4(x-3)^2-x(x-3)=0$，提取公因式得$(x-3)[4(x-3)-x]=0$，即$(x-3)(3x-12)=0$，
∴$x-3=0$或$3x-12=0$，解得$x_1=3,x_2=4$。
(3)移项得$3x(x-1)+2x-2=0$，整理得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，因式分解得$(x-1)(3x+2)=0$，
∴$x-1=0$或$3x+2=0$，解得$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$。
(4)移项整理得$2y^2+3y-2=0$，因式分解得$(y+2)(2y-1)=0$，
∴$y+2=0$或$2y-1=0$，解得$y_1=-2,y_2=\frac{1}{2}$。
(5)原方程可化为$[(x^2-1)-3]^2=0$，即$(x^2-4)^2=0$，
∴$x^2=4$，解得$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=3,x_2=4$
(3)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
(4)$y_1=-2,y_2=\frac{1}{2}$
(5)$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程，因式分解，整体思想
【点评】
本组是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，覆盖了提公因式法、公式法、十字相乘法、整体代换等多种常用技巧，解题时需注意不能随意约去含未知数的整式，避免漏根，熟练掌握因式分解的各类方法是解题的核心。
【难度系数】
0.75
用因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“若干个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。各小题思考方向：(1)方程左边是平方差形式，直接用平方差公式分解；(2)两边含公因式(x-3)，先移项再提公因式，注意不能直接约去(x-3)避免丢根；(3)将右边变形为-2(x-1)，移项后提公因式(x-1)；(4)先整理为一元二次方程一般形式，再用十字相乘法分解；(5)把(x²-1)看作整体，用完全平方公式分解后再继续求解。
【解析】
(1)原方程可化为$(2x-1)^2-2^2=0$，因式分解得$(2x-1+2)(2x-1-2)=0$，即$(2x+1)(2x-3)=0$，
∴$2x+1=0$或$2x-3=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$。
(2)移项得$4(x-3)^2-x(x-3)=0$，提取公因式得$(x-3)[4(x-3)-x]=0$，即$(x-3)(3x-12)=0$，
∴$x-3=0$或$3x-12=0$，解得$x_1=3,x_2=4$。
(3)移项得$3x(x-1)+2x-2=0$，整理得$3x(x-1)+2(x-1)=0$，因式分解得$(x-1)(3x+2)=0$，
∴$x-1=0$或$3x+2=0$，解得$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$。
(4)移项整理得$2y^2+3y-2=0$，因式分解得$(y+2)(2y-1)=0$，
∴$y+2=0$或$2y-1=0$，解得$y_1=-2,y_2=\frac{1}{2}$。
(5)原方程可化为$[(x^2-1)-3]^2=0$，即$(x^2-4)^2=0$，
∴$x^2=4$，解得$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=\frac{3}{2}$
(2)$x_1=3,x_2=4$
(3)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
(4)$y_1=-2,y_2=\frac{1}{2}$
(5)$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
因式分解法解方程，因式分解，整体思想
【点评】
本组是因式分解法解一元二次方程的典型基础题，覆盖了提公因式法、公式法、十字相乘法、整体代换等多种常用技巧，解题时需注意不能随意约去含未知数的整式，避免漏根，熟练掌握因式分解的各类方法是解题的核心。
【难度系数】
0.75
7.「2026辽宁葫芦岛龙港月考」解方程$x^2 -2x=0$，最适当的解法是（
A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
B
）A.直接开平方法
B.因式分解法
C.配方法
D.公式法
答案
由$x^2-2x=0$得$x(x-2)=0$,可得$x=0$或$x=2$,
∴最适当的解法是因式分解法.故选B.
∴最适当的解法是因式分解法.故选B.
解析
【分析】
首先明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适用于可化为$(x+a)^2=b(b≥0)$形式的方程；配方法和公式法是通用解法，但计算步骤相对繁琐；因式分解法适用于方程右边为0，且左边容易分解为两个一次因式乘积的情况。观察本题方程$x^2-2x=0$，右边为0，左边有公因式$x$，可直接提取公因式分解，因此因式分解法是最简便的解法。
【解析】
观察方程$x^2-2x=0$，左边提取公因式$x$可得：
$x(x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$x=0$或$x-2=0$，可快速解得$x_1=0$，$x_2=2$。
对比四种解法，因式分解法步骤最少、计算最简便，因此是最适当的解法。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需结合方程的形式特征选择最简便的解法，当方程右边为0且左边易分解为一次因式乘积时，优先选用因式分解法，可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
首先明确一元二次方程不同解法的适用场景：直接开平方法适用于可化为$(x+a)^2=b(b≥0)$形式的方程；配方法和公式法是通用解法，但计算步骤相对繁琐；因式分解法适用于方程右边为0，且左边容易分解为两个一次因式乘积的情况。观察本题方程$x^2-2x=0$，右边为0，左边有公因式$x$，可直接提取公因式分解，因此因式分解法是最简便的解法。
【解析】
观察方程$x^2-2x=0$，左边提取公因式$x$可得：
$x(x-2)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得$x=0$或$x-2=0$，可快速解得$x_1=0$，$x_2=2$。
对比四种解法，因式分解法步骤最少、计算最简便，因此是最适当的解法。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程解法选择
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的合理选择，解题时需结合方程的形式特征选择最简便的解法，当方程右边为0且左边易分解为一次因式乘积时，优先选用因式分解法，可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.9
8.「2026安徽淮南月考」有下列方程:①$(x-2)^2=5$；②$x^2-3x-2=0$；③$2(x-1)^2=3(x-1)$.则解上述方程较合适的方法为 （
A.①直接开平方法,②因式分解法,③配方法
B.①因式分解法,②因式分解法,③直接开平方法
方法
C.①公式法,②直接开平方法,③因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③因式分解法
D
）A.①直接开平方法,②因式分解法,③配方法
B.①因式分解法,②因式分解法,③直接开平方法
方法
C.①公式法,②直接开平方法,③因式分解法
D.①直接开平方法,②公式法,③因式分解法
答案
①$(x-2)^2=5$,适合直接开平方法;②$x^2-3x-2=0$,适合公式法;③$2(x-1)^2=3(x-1)$,适合因式分解法.故选D.
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程各类常用解法的适用条件：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），左边为完全平方式、右边为非负常数的方程；公式法适用于所有一元二次方程，尤其适合无法直接开平方、也不易因式分解的方程；因式分解法适用于移项后左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程。再逐个匹配三个方程的特征判断对应解法，最后选出正确选项即可。
【解析】
逐一分析三个方程的适用解法：
① 方程$(x-2)^2=5$，左侧是完全平方式，右侧为正的常数，符合直接开平方法的适用特征，适合用直接开平方法；
② 方程$x^2-3x-2=0$是一元二次方程一般式，且无法通过因式分解求解，因此适合用公式法；
③ 方程$2(x-1)^2=3(x-1)$，左右两边含有公共因式$(x-1)$，移项后提取公因式即可转化为两个一次式乘积为0的形式，适合用因式分解法。
综上对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；直接开平方法；因式分解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程解法的合理选择，熟练掌握不同解法的适用场景是解题关键，选对解法可有效降低计算量、提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程各类常用解法的适用条件：直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c$（$c≥0$），左边为完全平方式、右边为非负常数的方程；公式法适用于所有一元二次方程，尤其适合无法直接开平方、也不易因式分解的方程；因式分解法适用于移项后左边可分解为两个一次因式乘积、右边为0的方程。再逐个匹配三个方程的特征判断对应解法，最后选出正确选项即可。
【解析】
逐一分析三个方程的适用解法：
① 方程$(x-2)^2=5$，左侧是完全平方式，右侧为正的常数，符合直接开平方法的适用特征，适合用直接开平方法；
② 方程$x^2-3x-2=0$是一元二次方程一般式，且无法通过因式分解求解，因此适合用公式法；
③ 方程$2(x-1)^2=3(x-1)$，左右两边含有公共因式$(x-1)$，移项后提取公因式即可转化为两个一次式乘积为0的形式，适合用因式分解法。
综上对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；直接开平方法；因式分解法
【点评】
本题核心考查一元二次方程解法的合理选择，熟练掌握不同解法的适用场景是解题关键，选对解法可有效降低计算量、提升解题效率。
【难度系数】
0.8
9.用合适的方法解方程：
(1)$(x-5)^2=16$.
(2)$x^2-2x-4=0$.
(3)$(y-1)^2+2y(1-y)=0$.
(4)$2x^2-7x+1=0$.
(1)$(x-5)^2=16$.
(2)$x^2-2x-4=0$.
(3)$(y-1)^2+2y(1-y)=0$.
(4)$2x^2-7x+1=0$.
答案
(1)两边同时开平方,得$x-5=±4$,
∴$x_1=9,x_2=1$.
(2)移项,得$x^2-2x=4$,配方,得$x^2-2x+1=5$,即$(x-1)^2=5$,两边同时开平方,得$x-1=±\sqrt{5}$,
∴$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$.
(3)整理,得$(y-1)^2-2y(y-1)=0$,因式分解,得$(y-1)·(y-1-2y)=0$,则$y-1=0$或$-1-y=0$,
∴$y_1=1,y_2=-1$.
(4)由原方程可得$a=2,b=-7,c=1$,
∴$Δ=(-7)^2-4×2×1=41＞0$,
∴$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2×2}=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$,
∴$x_1=\frac{7+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{41}}{4}$.
∴$x_1=9,x_2=1$.
(2)移项,得$x^2-2x=4$,配方,得$x^2-2x+1=5$,即$(x-1)^2=5$,两边同时开平方,得$x-1=±\sqrt{5}$,
∴$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$.
(3)整理,得$(y-1)^2-2y(y-1)=0$,因式分解,得$(y-1)·(y-1-2y)=0$,则$y-1=0$或$-1-y=0$,
∴$y_1=1,y_2=-1$.
(4)由原方程可得$a=2,b=-7,c=1$,
∴$Δ=(-7)^2-4×2×1=41＞0$,
∴$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2×2}=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$,
∴$x_1=\frac{7+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{41}}{4}$.
解析
【分析】
解一元二次方程时需根据方程的形式选择最简便的解法：(1)方程左边是完全平方式，右边为非负常数，优先用直接开平方法，开方后转化为两个一元一次方程求解即可；(2)方程二次项系数为1，且一次项系数是偶数，适合用配方法，通过配方转化为完全平方式后再开方求解；(3)方程两项含有公因式$(y-1)$，优先用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；(4)方程系数无特殊特征，选用公式法求解，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式即可得到解。
【解析】
(1)两边同时开平方，得$x-5=±4$，
∴$x_1=9,x_2=1$。
(2)移项，得$x^2-2x=4$，配方，得$x^2-2x+1=5$，即$(x-1)^2=5$，两边同时开平方，得$x-1=±\sqrt{5}$，
∴$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$。
(3)整理，得$(y-1)^2-2y(y-1)=0$，因式分解，得$(y-1)·(y-1-2y)=0$，则$y-1=0$或$-1-y=0$，
∴$y_1=1,y_2=-1$。
(4)由原方程可得$a=2,b=-7,c=1$，
∴$Δ=(-7)^2-4×2×1=41＞0$，
∴$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2×2}=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，
∴$x_1=\frac{7+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=9,x_2=1$
(2)$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
(3)$y_1=1,y_2=-1$
(4)$x_1=\frac{7+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查不同解法的灵活选择，根据方程结构选对简便解法，既能减少计算量，也能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时需根据方程的形式选择最简便的解法：(1)方程左边是完全平方式，右边为非负常数，优先用直接开平方法，开方后转化为两个一元一次方程求解即可；(2)方程二次项系数为1，且一次项系数是偶数，适合用配方法，通过配方转化为完全平方式后再开方求解；(3)方程两项含有公因式$(y-1)$，优先用因式分解法，提取公因式后转化为两个一次因式乘积为0的形式求解；(4)方程系数无特殊特征，选用公式法求解，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况后，代入求根公式即可得到解。
【解析】
(1)两边同时开平方，得$x-5=±4$，
∴$x_1=9,x_2=1$。
(2)移项，得$x^2-2x=4$，配方，得$x^2-2x+1=5$，即$(x-1)^2=5$，两边同时开平方，得$x-1=±\sqrt{5}$，
∴$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$。
(3)整理，得$(y-1)^2-2y(y-1)=0$，因式分解，得$(y-1)·(y-1-2y)=0$，则$y-1=0$或$-1-y=0$，
∴$y_1=1,y_2=-1$。
(4)由原方程可得$a=2,b=-7,c=1$，
∴$Δ=(-7)^2-4×2×1=41＞0$，
∴$x=\frac{7±\sqrt{41}}{2×2}=\frac{7±\sqrt{41}}{4}$，
∴$x_1=\frac{7+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=9,x_2=1$
(2)$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
(3)$y_1=1,y_2=-1$
(4)$x_1=\frac{7+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法，直接开平方法，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查不同解法的灵活选择，根据方程结构选对简便解法，既能减少计算量，也能有效降低出错概率。
【难度系数】
0.8
10.「2026甘肃武威凉州期末，★☆」若菱形ABCD的一条对角线长为8，边AB的长为方程$x^2 -8x +15=0$的一个根，则菱形ABCD的周长为（
A.24
B.12
C.20
D.12或20
C
）A.24
B.12
C.20
D.12或20
答案
解方程$x^2-8x+15=0$,得$x_1=3,x_2=5$,作示意图如图,则四边形ABCD是菱形,BD=8,
∴AB=BC=CD=AD.若AB=AD=3,3+3＜8,不能构成三角形;若AB=AD=5,5+5＞8,能构成三角形.
∴菱形ABCD的周长=4AB=4×5=20.故选C.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解一元二次方程，得到边长的两个可能取值；第二步结合菱形四条边相等的性质，以及三角形两边之和大于第三边的三边关系，判断两种边长是否能和已知对角线构成三角形，舍去不符合条件的边长；第三步用符合条件的边长计算菱形周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -8x +15=0$：
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即菱形边长的可能取值为3或5。
2. 已知菱形ABCD的一条对角线长为8，且菱形四条边相等，即$AB=BC=CD=AD$，对角线将菱形分为两个以对角线和两条邻边为边的三角形。
3. 分类讨论：
若边长$AB=3$，则三角形三边长为3、3、8，由于$3+3=6＜8$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，故舍去该取值；
若边长$AB=5$，则三角形三边长为5、5、8，由于$5+5=10＞8$，满足三角形三边关系，符合题意。
4. 因此菱形的边长为5，周长为$4×5=20$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；菱形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，易错点是忽略三角形的构成条件，未对一元二次方程的根进行取舍，误选两个根对应的周长选项，解题时要注意结合几何图形的实际存在性检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步先求解一元二次方程，得到边长的两个可能取值；第二步结合菱形四条边相等的性质，以及三角形两边之和大于第三边的三边关系，判断两种边长是否能和已知对角线构成三角形，舍去不符合条件的边长；第三步用符合条件的边长计算菱形周长。
【解析】
1. 解一元二次方程$x^2 -8x +15=0$：
因式分解得$(x-3)(x-5)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=5$，即菱形边长的可能取值为3或5。
2. 已知菱形ABCD的一条对角线长为8，且菱形四条边相等，即$AB=BC=CD=AD$，对角线将菱形分为两个以对角线和两条邻边为边的三角形。
3. 分类讨论：
若边长$AB=3$，则三角形三边长为3、3、8，由于$3+3=6＜8$，不满足三角形两边之和大于第三边，无法构成三角形，故舍去该取值；
若边长$AB=5$，则三角形三边长为5、5、8，由于$5+5=10＞8$，满足三角形三边关系，符合题意。
4. 因此菱形的边长为5，周长为$4×5=20$，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；菱形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题，易错点是忽略三角形的构成条件，未对一元二次方程的根进行取舍，误选两个根对应的周长选项，解题时要注意结合几何图形的实际存在性检验根的合理性。
【难度系数】
0.7
