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1.由边长相同的小正方形组成的网格如图所示，点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点(网格线的交点)上，则$△ ABC$的重心是 （
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
1.A
解析
【分析】
解题前先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此本题的核心是找到△ABC两条中线的交点。首先我们可以结合网格特征，找到三角形两条边的中点，分别连接顶点和对边中点得到两条中线，再判断两条中线的交点对应哪个格点，即可得到重心。
【解析】
解：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 首先找AB边的中点，连接点C与AB边的中点，得到AB边上的中线；
2. 再找BC边的中点，连接点A与BC边的中点，得到BC边上的中线；
观察网格可知，上述两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记三角形重心的定义，结合网格特点很容易确定中线的交点位置，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题前先明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点，因此本题的核心是找到△ABC两条中线的交点。首先我们可以结合网格特征，找到三角形两条边的中点，分别连接顶点和对边中点得到两条中线，再判断两条中线的交点对应哪个格点，即可得到重心。
【解析】
解：三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 首先找AB边的中点，连接点C与AB边的中点，得到AB边上的中线；
2. 再找BC边的中点，连接点A与BC边的中点，得到BC边上的中线；
观察网格可知，上述两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形中线的概念
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记三角形重心的定义，结合网格特点很容易确定中线的交点位置，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.在平面直角坐标系$xOy$中,点$A$,$B$的坐标分别为$(6,0)$,$(0,6)$,$△ AOB$的重心$G$的坐标为
(2,2)
.答案
2.(2,2)
解析
【分析】
要求△AOB的重心坐标，首先明确△AOB的三个顶点坐标：原点O为(0,0)，已知A(6,0)、B(0,6)。三角形重心是三条中线的交点，其核心性质为：重心的横坐标等于三个顶点横坐标的平均值，纵坐标等于三个顶点纵坐标的平均值，我们可以直接利用这一性质快速计算，也可通过求两条中线的交点得到结果，前者计算更简便。
【解析】
第一步：确定△AOB三个顶点的坐标：O(0,0)，A(6,0)，B(0,6)。
第二步：根据三角形重心坐标的计算规则，重心的横坐标为三个顶点横坐标之和除以3，即：
$x_G=\frac{x_O+x_A+x_B}{3}=\frac{0+6+0}{3}=2$
第三步：重心的纵坐标为三个顶点纵坐标之和除以3，即：
$y_G=\frac{y_O+y_A+y_B}{3}=\frac{0+0+6}{3}=2$
因此重心G的坐标为(2,2)。
【答案】
(2,2)
【知识点】
三角形重心的性质；平面直角坐标系坐标运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形重心坐标的计算，熟练掌握重心与三角形三个顶点坐标的关系即可快速求解，也可通过绘制中线找交点的方法验证结果。
【难度系数】
0.9
要求△AOB的重心坐标，首先明确△AOB的三个顶点坐标：原点O为(0,0)，已知A(6,0)、B(0,6)。三角形重心是三条中线的交点，其核心性质为：重心的横坐标等于三个顶点横坐标的平均值，纵坐标等于三个顶点纵坐标的平均值，我们可以直接利用这一性质快速计算，也可通过求两条中线的交点得到结果，前者计算更简便。
【解析】
第一步：确定△AOB三个顶点的坐标：O(0,0)，A(6,0)，B(0,6)。
第二步：根据三角形重心坐标的计算规则，重心的横坐标为三个顶点横坐标之和除以3，即：
$x_G=\frac{x_O+x_A+x_B}{3}=\frac{0+6+0}{3}=2$
第三步：重心的纵坐标为三个顶点纵坐标之和除以3，即：
$y_G=\frac{y_O+y_A+y_B}{3}=\frac{0+0+6}{3}=2$
因此重心G的坐标为(2,2)。
【答案】
(2,2)
【知识点】
三角形重心的性质；平面直角坐标系坐标运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形重心坐标的计算，熟练掌握重心与三角形三个顶点坐标的关系即可快速求解，也可通过绘制中线找交点的方法验证结果。
【难度系数】
0.9
[变式] 如图,在平面直角坐标系中,点B的坐标为$(-2,3)$,点C的坐标为$(-4,0)$,M为$△ OBC$的重心.若将$△ OBC$绕着点O逆时针旋转$90°$,则旋转后三角形的重心的坐标为
(-1,-2)
.答案
【变式】(-1,-2)
解析
【分析】
解题分两步进行：首先回忆三角形重心的坐标计算规则，三角形重心的横、纵坐标分别等于三个顶点横、纵坐标的算术平均数，先求出原△OBC的重心坐标；再利用绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，计算旋转后重心的坐标，也可先将三个顶点分别旋转后再求新三角形的重心，两种方法可相互验证。
【解析】
已知平面直角坐标系中O为原点，坐标是(0,0)，点B(-2,3)，点C(-4,0)。
1. 计算原△OBC的重心坐标：
根据重心坐标公式，重心横坐标 = $\frac{x_O + x_B + x_C}{3}$，重心纵坐标 = $\frac{y_O + y_B + y_C}{3}$
代入坐标得：
横坐标：$\frac{0 + (-2) + (-4)}{3}=\frac{-6}{3}=-2$
纵坐标：$\frac{0 + 3 + 0}{3}=\frac{3}{3}=1$
即原重心坐标为$(-2,1)$。
2. 计算旋转后重心的坐标：
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标变为$(-y,x)$，将原重心$(-2,1)$代入规律：
旋转后横坐标为$-1$，纵坐标为$-2$，即旋转后重心坐标为$(-1,-2)$。
（验证：将三个顶点分别逆时针旋转90°，得新顶点坐标为O(0,0)、B'(-3,-2)、C'(0,-4)，新重心横坐标$\frac{0-3+0}{3}=-1$，纵坐标$\frac{0-2-4}{3}=-2$，结果一致。）
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
三角形重心性质，旋转的坐标变换
【点评】
本题结合重心性质和旋转的坐标变化规律考查，难度适中，掌握重心坐标计算方法和旋转坐标变换规律即可快速解题，两种解题思路可互相校验结果的正确性。
【难度系数】
0.65
解题分两步进行：首先回忆三角形重心的坐标计算规则，三角形重心的横、纵坐标分别等于三个顶点横、纵坐标的算术平均数，先求出原△OBC的重心坐标；再利用绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规律，计算旋转后重心的坐标，也可先将三个顶点分别旋转后再求新三角形的重心，两种方法可相互验证。
【解析】
已知平面直角坐标系中O为原点，坐标是(0,0)，点B(-2,3)，点C(-4,0)。
1. 计算原△OBC的重心坐标：
根据重心坐标公式，重心横坐标 = $\frac{x_O + x_B + x_C}{3}$，重心纵坐标 = $\frac{y_O + y_B + y_C}{3}$
代入坐标得：
横坐标：$\frac{0 + (-2) + (-4)}{3}=\frac{-6}{3}=-2$
纵坐标：$\frac{0 + 3 + 0}{3}=\frac{3}{3}=1$
即原重心坐标为$(-2,1)$。
2. 计算旋转后重心的坐标：
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标变为$(-y,x)$，将原重心$(-2,1)$代入规律：
旋转后横坐标为$-1$，纵坐标为$-2$，即旋转后重心坐标为$(-1,-2)$。
（验证：将三个顶点分别逆时针旋转90°，得新顶点坐标为O(0,0)、B'(-3,-2)、C'(0,-4)，新重心横坐标$\frac{0-3+0}{3}=-1$，纵坐标$\frac{0-2-4}{3}=-2$，结果一致。）
【答案】
$(-1,-2)$
【知识点】
三角形重心性质，旋转的坐标变换
【点评】
本题结合重心性质和旋转的坐标变化规律考查，难度适中，掌握重心坐标计算方法和旋转坐标变换规律即可快速解题，两种解题思路可互相校验结果的正确性。
【难度系数】
0.65
3.在学习“确定匀质薄板的重心位置”时，王强向同桌李明提出了这样一个问题：四边形有没有重心？如果四边形有重心，它的重心如何确定呢？李明在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形也有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C，那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上.如图，有两个全等的直角三角形（其中一个记为$Rt△ ABC$），C为直角顶点，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合.请画出所有符合要求的四边形，并作出所拼四边形的重心G.(不用写作法，保留痕迹，写出结论)
答案
解：
符合要求的拼接四边形共3个：
1. 矩形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边两侧，对应直角边分别平行拼接得到。
2. 邻边分别相等的凸筝形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边同侧拼接得到。
3. 两组对边分别相等的普通凸四边形：将两个全等直角三角形的斜边端点交叉对应重合拼接得到。
对每个拼得的四边形，保留如下作图痕迹：
① 沿拼接的斜边将四边形拆分为两个直角三角形，分别作出两个直角三角形的重心（三角形三条中线的交点），连接两个重心得到第一条线段；
② 沿四边形的另一条对角线将其拆分为两个新的三角形，分别作出这两个新三角形的重心，连接两个重心得到第二条线段。
结论：两条线段的交点就是对应所拼四边形的重心G。
符合要求的拼接四边形共3个：
1. 矩形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边两侧，对应直角边分别平行拼接得到。
2. 邻边分别相等的凸筝形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边同侧拼接得到。
3. 两组对边分别相等的普通凸四边形：将两个全等直角三角形的斜边端点交叉对应重合拼接得到。
对每个拼得的四边形，保留如下作图痕迹：
① 沿拼接的斜边将四边形拆分为两个直角三角形，分别作出两个直角三角形的重心（三角形三条中线的交点），连接两个重心得到第一条线段；
② 沿四边形的另一条对角线将其拆分为两个新的三角形，分别作出这两个新三角形的重心，连接两个重心得到第二条线段。
结论：两条线段的交点就是对应所拼四边形的重心G。
解析
【分析】
解题时先分情况枚举所有斜边重合的拼接方式：两个全等直角三角形斜边重合时，分直角顶点在斜边同侧、直角顶点在斜边异侧两类，异侧情况又分为直角边对应平行、端点交叉对应两种，共得到3种不同的四边形。再根据题目给出的“组合图形的重心在两个组成部分重心的连线上”的性质求解重心：将四边形用两种不同方式拆分为两个三角形，分别找到每组两个三角形的重心，连接得到两条线段，两条线段的交点即为四边形的重心，其中三角形的重心是三角形三条中线的交点。
【解析】
符合要求的拼接四边形共3个：
1. 矩形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边两侧，对应直角边分别平行拼接得到。
2. 邻边分别相等的凸筝形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边同侧拼接得到。
3. 两组对边分别相等的普通凸四边形：将两个全等直角三角形的斜边端点交叉对应重合拼接得到。
对每个拼得的四边形，按以下步骤作重心：
① 沿拼接的斜边将四边形拆分为两个直角三角形，分别作出两个直角三角形的重心（三角形三条中线的交点），连接两个重心得到第一条线段；
② 沿四边形的另一条对角线将其拆分为两个新的三角形，分别作出这两个新三角形的重心，连接两个重心得到第二条线段。
两条线段的交点就是对应所拼四边形的重心G。
【答案】
共3种符合要求的四边形：矩形、邻边相等的凸筝形、两组对边分别相等的普通凸四边形；作重心时保留两种拆分方式对应的两组三角形重心连线，两条连线的交点即为所求重心G。
【知识点】
三角形重心定义，图形拼接，组合图形重心性质
【点评】
本题结合几何拼接实践与新性质应用，需要分类讨论所有拼接可能，再利用给出的重心性质推导四边形重心的位置，能够有效考查分类讨论思想和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
解题时先分情况枚举所有斜边重合的拼接方式：两个全等直角三角形斜边重合时，分直角顶点在斜边同侧、直角顶点在斜边异侧两类，异侧情况又分为直角边对应平行、端点交叉对应两种，共得到3种不同的四边形。再根据题目给出的“组合图形的重心在两个组成部分重心的连线上”的性质求解重心：将四边形用两种不同方式拆分为两个三角形，分别找到每组两个三角形的重心，连接得到两条线段，两条线段的交点即为四边形的重心，其中三角形的重心是三角形三条中线的交点。
【解析】
符合要求的拼接四边形共3个：
1. 矩形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边两侧，对应直角边分别平行拼接得到。
2. 邻边分别相等的凸筝形：将两个全等直角三角形的斜边完全重合，两个直角顶点分处斜边同侧拼接得到。
3. 两组对边分别相等的普通凸四边形：将两个全等直角三角形的斜边端点交叉对应重合拼接得到。
对每个拼得的四边形，按以下步骤作重心：
① 沿拼接的斜边将四边形拆分为两个直角三角形，分别作出两个直角三角形的重心（三角形三条中线的交点），连接两个重心得到第一条线段；
② 沿四边形的另一条对角线将其拆分为两个新的三角形，分别作出这两个新三角形的重心，连接两个重心得到第二条线段。
两条线段的交点就是对应所拼四边形的重心G。
【答案】
共3种符合要求的四边形：矩形、邻边相等的凸筝形、两组对边分别相等的普通凸四边形；作重心时保留两种拆分方式对应的两组三角形重心连线，两条连线的交点即为所求重心G。
【知识点】
三角形重心定义，图形拼接，组合图形重心性质
【点评】
本题结合几何拼接实践与新性质应用，需要分类讨论所有拼接可能，再利用给出的重心性质推导四边形重心的位置，能够有效考查分类讨论思想和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
4.一个工程用的匀质薄板类工件的示意图如图所示，建立平面直角坐标系，请通过计算确定它的重心的坐标.
答案
4.此匀质薄板类工件的重心的坐标为(32,27).计算过程略
解析
【分析】
匀质薄板的重心和它的形状中心重合，对于这类不规则薄板，我们可以用分割法解题：首先把图形分割为A、B、C三个规则的矩形，矩形的重心就是它的中点（对角线交点），再结合匀质薄板质量和面积成正比的特点，用面积作为权重，对三个矩形的重心坐标做加权平均，就能得到整个薄板的重心坐标。
【解析】
1. 分割图形，分别计算三个矩形的面积和重心坐标：
① 矩形A：长30cm、宽10cm，面积$S_A=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$，它的x取值范围为0~30cm，y取值范围为40~50cm，重心为矩形中点，坐标为$x_A=\frac{0+30}{2}=15\ \mathrm{cm}$，$y_A=\frac{40+50}{2}=45\ \mathrm{cm}$，即$(15,45)$。
② 矩形B：宽10cm、高40cm，面积$S_B=10×40=400\ \mathrm{cm}^2$，它的x取值范围为30~40cm，y取值范围为10~50cm，重心为矩形中点，坐标为$x_B=\frac{30+40}{2}=35\ \mathrm{cm}$，$y_B=\frac{10+50}{2}=30\ \mathrm{cm}$，即$(35,30)$。
③ 矩形C：长30cm、宽10cm，面积$S_C=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$，它的x取值范围为30~60cm，y取值范围为0~10cm，重心为矩形中点，坐标为$x_C=\frac{30+60}{2}=45\ \mathrm{cm}$，$y_C=\frac{0+10}{2}=5\ \mathrm{cm}$，即$(45,5)$。
2. 计算总面积：$S_{\mathrm{总}}=300+400+300=1000\ \mathrm{cm}^2$。
3. 加权平均计算整体重心坐标：
x坐标：$x=\frac{S_A x_A + S_B x_B + S_C x_C}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{300×15 + 400×35 + 300×45}{1000}=32\ \mathrm{cm}$
y坐标：$y=\frac{S_A y_A + S_B y_B + S_C y_C}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{300×45 + 400×30 + 300×5}{1000}=27\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(32,27)$
【知识点】
分割法求重心，矩形重心性质，加权平均计算
【点评】
本题是不规则匀质图形重心求解的典型题目，通过分割法将复杂图形转化为熟悉的矩形降低计算难度，解题时需准确判断各部分的范围和重心坐标，加权计算时注意权重对应正确即可。
【难度系数】
0.65
匀质薄板的重心和它的形状中心重合，对于这类不规则薄板，我们可以用分割法解题：首先把图形分割为A、B、C三个规则的矩形，矩形的重心就是它的中点（对角线交点），再结合匀质薄板质量和面积成正比的特点，用面积作为权重，对三个矩形的重心坐标做加权平均，就能得到整个薄板的重心坐标。
【解析】
1. 分割图形，分别计算三个矩形的面积和重心坐标：
① 矩形A：长30cm、宽10cm，面积$S_A=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$，它的x取值范围为0~30cm，y取值范围为40~50cm，重心为矩形中点，坐标为$x_A=\frac{0+30}{2}=15\ \mathrm{cm}$，$y_A=\frac{40+50}{2}=45\ \mathrm{cm}$，即$(15,45)$。
② 矩形B：宽10cm、高40cm，面积$S_B=10×40=400\ \mathrm{cm}^2$，它的x取值范围为30~40cm，y取值范围为10~50cm，重心为矩形中点，坐标为$x_B=\frac{30+40}{2}=35\ \mathrm{cm}$，$y_B=\frac{10+50}{2}=30\ \mathrm{cm}$，即$(35,30)$。
③ 矩形C：长30cm、宽10cm，面积$S_C=30×10=300\ \mathrm{cm}^2$，它的x取值范围为30~60cm，y取值范围为0~10cm，重心为矩形中点，坐标为$x_C=\frac{30+60}{2}=45\ \mathrm{cm}$，$y_C=\frac{0+10}{2}=5\ \mathrm{cm}$，即$(45,5)$。
2. 计算总面积：$S_{\mathrm{总}}=300+400+300=1000\ \mathrm{cm}^2$。
3. 加权平均计算整体重心坐标：
x坐标：$x=\frac{S_A x_A + S_B x_B + S_C x_C}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{300×15 + 400×35 + 300×45}{1000}=32\ \mathrm{cm}$
y坐标：$y=\frac{S_A y_A + S_B y_B + S_C y_C}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{300×45 + 400×30 + 300×5}{1000}=27\ \mathrm{cm}$
【答案】
$(32,27)$
【知识点】
分割法求重心，矩形重心性质，加权平均计算
【点评】
本题是不规则匀质图形重心求解的典型题目，通过分割法将复杂图形转化为熟悉的矩形降低计算难度，解题时需准确判断各部分的范围和重心坐标，加权计算时注意权重对应正确即可。
【难度系数】
0.65
