9.【新情境·跨学科】(2024·大连瓦房店月考)[阅读探究]
(1)如图1,已知AB是一块平面镜,光线PO在平面镜AB上经点O反射后形成光线OQ.我们称PO为入射光线,OQ为反射光线.镜面反射有如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角,即∠1=∠2.利用镜面反射的性质进行如下探究:如图2,已知两块平面镜OC,OB的夹角为α,入射光线AB和反射光线CD平行,探究此时两平面镜的夹角α的度数.
[方法运用]
(2)如图3,放置四块平面镜,其中平面镜AD与平面镜BC平行,另外两块平面镜在AD和BC之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P→…,直接写出∠OPQ和∠ORQ之间的数量关系.
[应用拓展]
(3)如图4,若镜子OM与ON的夹角∠MON=135°,增加一块平面镜NP,设镜子ON与NP的夹角∠ONP=β(90°＜β＜180°),入射光线AB与平面镜OM的夹角∠ABM=α,已知入射光线AB从平面镜OM开始反射,经过三次反射后,反射光线CD与入射光线AB平行,求β的度数.(用含有α的式子表示)

9.解:(1)如图,过点O作$OH// AB.$

$\because AB// CD,\therefore OH// AB// CD,$
$\therefore ∠ 2=∠ 4,∠ 1=∠ 3,∠ 5+∠ 6=180°.$
根据题意,得$∠ 5=180°-2∠ 3,∠ 6=180°-2∠ 4,$
$\therefore 180°-2∠ 3+180°-2∠ 4=180°,$
$\therefore ∠ 3+∠ 4=90°,$
$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°,即α=90°.$
(2)$∠ OPQ=∠ ORQ$
(3)$β=90°+α$

【分析】
(1) 求解两平面镜的夹角α时，已知入射光线AB与反射光线CD平行，结合镜面反射“入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角”的性质，通过作平行于入射光线的辅助线，可利用平行线的性质集中分散的角度关系，再结合平角定义即可推导α的度数。
(2) 已知平面镜AD与BC平行，结合镜面反射的等角性质，利用平行线“同旁内角互补”的性质，通过角度转化即可得到∠OPQ和∠ORQ的数量关系。
(3) 已知三次反射后反射光线CD与入射光线AB平行，先根据镜面反射性质得到每一次反射前后光线与镜面的夹角相等，再结合平行线的性质将各角用α和β表示，通过平行对应的角度条件建立等式，化简即可得到β与α的关系。
【解析】
(1) 如图，过点O作$OH// AB.$

$\because AB// CD,\therefore OH// AB// CD,$
根据平行线的性质可得：$∠ 2=∠ 4,∠ 1=∠ 3,∠ 5+∠ 6=180°.$
根据镜面反射性质，得$∠ 5=180°-2∠ 3,∠ 6=180°-2∠ 4,$
代入$∠5+∠6=180°$得：$180°-2∠ 3+180°-2∠ 4=180°,$
化简得：$∠ 3+∠ 4=90°,$
$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°,$ 即$α=90°.$
(2) 结合$AD// BC$的同旁内角互补性质，以及镜面反射的等角性质，推导可得$∠ OPQ=∠ ORQ$。
(3) 根据镜面反射的等角性质，结合$AB// CD$的角度判定条件，逐步转化各角度关系，最终化简可得$β=90°+α$。
【答案】
(1) $α=90°$，辅助线作图：
(2) $∠ OPQ=∠ ORQ$
(3) $β=90°+α$
【知识点】
平行线的性质与判定，镜面反射的性质，角度计算
【点评】
本题是跨学科题型，结合物理镜面反射知识考察几何角度推导，解题的关键是抓住反射前后光线与镜面夹角相等的性质，灵活运用平行线的性质转化角度关系，能较好地考察学生的知识迁移和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6