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8 新情境 学科融合 远视眼镜的镜片是凸透镜，镜片的度数$y(y＞0)$是关于镜片焦距$x(\mathrm{m})$的反比例函数，当$y=200$时，$x=0.5$。则下列说法错误的是（
A.$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{100}{x}$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当远视眼镜的镜片焦距是$0.2\ \mathrm{m}$时，该镜片的度数是500
D.若一副远视眼镜的度数不大于400，则焦距不大于$0.25\ \mathrm{m}$
D
）A.$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{100}{x}$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当远视眼镜的镜片焦距是$0.2\ \mathrm{m}$时，该镜片的度数是500
D.若一副远视眼镜的度数不大于400，则焦距不大于$0.25\ \mathrm{m}$
答案
D
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：①首先根据y是x的反比例函数，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，利用已知的x、y对应值，用待定系数法求出k的值，得到函数解析式；②结合反比例函数的性质、代入求值、解不等式的方法，逐一验证四个选项的正误即可，注意实际问题中焦距x为正数，解不等式时要注意不等号的方向。
【解析】
设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$y=200$，$x=0.5$代入解析式得：$200=\frac{k}{0.5}$，解得$k=200×0.5=100$，因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
对各选项逐一判断：
A选项：由上述计算可知，函数解析式为$y=\frac{100}{x}$，该说法正确，不符合题意；
B选项：$k=100＞0$，且$x＞0$，因此在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小，该说法正确，不符合题意；
C选项：当$x=0.2$时，代入解析式得$y=\frac{100}{0.2}=500$，即镜片度数为500，该说法正确，不符合题意；
D选项：若度数不大于400，即$y≤400$，代入解析式得$\frac{100}{x}≤400$。因为$x＞0$，两边同时乘$x$不等号方向不变，得$100≤400x$，解得$x≥0.25$，即焦距不小于$0.25\mathrm{m}$，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活中的远视眼镜度数问题考查反比例函数的实际应用，难度不大，需要注意实际问题中自变量的取值范围为正数，解不等式时不要弄错不等号的方向。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际生活中的应用问题，解题思路如下：①首先根据y是x的反比例函数，设出反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，利用已知的x、y对应值，用待定系数法求出k的值，得到函数解析式；②结合反比例函数的性质、代入求值、解不等式的方法，逐一验证四个选项的正误即可，注意实际问题中焦距x为正数，解不等式时要注意不等号的方向。
【解析】
设$y$关于$x$的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$。
将$y=200$，$x=0.5$代入解析式得：$200=\frac{k}{0.5}$，解得$k=200×0.5=100$，因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{100}{x}(x＞0)$。
对各选项逐一判断：
A选项：由上述计算可知，函数解析式为$y=\frac{100}{x}$，该说法正确，不符合题意；
B选项：$k=100＞0$，且$x＞0$，因此在$x＞0$的范围内，$y$随$x$的增大而减小，该说法正确，不符合题意；
C选项：当$x=0.2$时，代入解析式得$y=\frac{100}{0.2}=500$，即镜片度数为500，该说法正确，不符合题意；
D选项：若度数不大于400，即$y≤400$，代入解析式得$\frac{100}{x}≤400$。因为$x＞0$，两边同时乘$x$不等号方向不变，得$100≤400x$，解得$x≥0.25$，即焦距不小于$0.25\mathrm{m}$，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题结合生活中的远视眼镜度数问题考查反比例函数的实际应用，难度不大，需要注意实际问题中自变量的取值范围为正数，解不等式时不要弄错不等号的方向。
【难度系数】
0.7
9 一块长方体石板的A,B,C三个面上的边长如图所示.当把石板的A面向下放在地上时,地面所受的压强为$m$ Pa,则当把石板的B面向下放在地上时,地面所受的压强是
3m
Pa.答案
3m
解析
【分析】
本题解题核心是明确压强公式$p=\frac{F}{S}$的应用：石板对地面的压力等于自身重力，是固定值，因此压强与受力面积成反比例关系。首先计算A面的面积，结合A面向下的压强求出压力（即石板重力），再计算B面的面积，最后用压力除以B面面积即可得到所求压强。
【解析】
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，石板对地面的压力$F$等于自身重力，大小恒定。
1. 计算A面面积：$S_A=6×3=18$
已知A面向下时压强为$m\ \mathrm{Pa}$，代入公式得压力：$F=p· S_A = 18m$
2. 计算B面面积：$S_B=6×1=6$
3. 计算B面向下时的压强：$p_B=\frac{F}{S_B}=\frac{18m}{6}=3m$
【答案】
$3m$
【知识点】
反比例函数应用，压强公式，长方形面积计算
【点评】
本题是跨学科的实际应用题，结合物理压强知识考查反比例函数的性质，解题关键是抓住压力不变的隐含条件，准确计算不同放置方式下的受力面积即可求解。
【难度系数】
0.7
本题解题核心是明确压强公式$p=\frac{F}{S}$的应用：石板对地面的压力等于自身重力，是固定值，因此压强与受力面积成反比例关系。首先计算A面的面积，结合A面向下的压强求出压力（即石板重力），再计算B面的面积，最后用压力除以B面面积即可得到所求压强。
【解析】
根据压强公式$p=\frac{F}{S}$，石板对地面的压力$F$等于自身重力，大小恒定。
1. 计算A面面积：$S_A=6×3=18$
已知A面向下时压强为$m\ \mathrm{Pa}$，代入公式得压力：$F=p· S_A = 18m$
2. 计算B面面积：$S_B=6×1=6$
3. 计算B面向下时的压强：$p_B=\frac{F}{S_B}=\frac{18m}{6}=3m$
【答案】
$3m$
【知识点】
反比例函数应用，压强公式，长方形面积计算
【点评】
本题是跨学科的实际应用题，结合物理压强知识考查反比例函数的性质，解题关键是抓住压力不变的隐含条件，准确计算不同放置方式下的受力面积即可求解。
【难度系数】
0.7
10 甲、乙两地相距240千米，一辆货车从甲地匀速驶往乙地。设货车行驶的速度为v千米/时，从甲地到乙地所需的时间为t小时，则t与v的函数解析式为
$t=\dfrac{240}{v}$
。若货车每小时的运输成本z(元)与速度v之间满足反比例函数关系$z=\frac{2400}{v}$，货车司机计划将全程的总运输成本控制在1200元以内，则货车的速度至少应为$4\sqrt{30}$
千米/时。答案
$t=\dfrac{240}{v}$，$4\sqrt{30}$
解析
【分析】
首先解决第一空：回忆行程问题基本公式“路程=速度×时间”，已知甲乙两地路程固定为240千米，代入公式后变形即可得到t与v的函数关系式，注意速度v为正数。然后解决第二空：全程总运输成本等于每小时运输成本乘以全程行驶时间，先结合第一空得到的t与v的关系，列出总运输成本的表达式，再根据“总运输成本控制在1200元以内”列不等式，解不等式即可得到速度的最小值，注意速度取正值。
【解析】
1. 求t与v的函数解析式：
根据行程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，可得$v· t=240$，
变形得$t=\dfrac{240}{v}$（$v＞0$）。
2. 求货车的最小速度：
全程总运输成本 = 每小时运输成本 × 全程行驶时间，即总运输成本$=z· t$。
将$z=\dfrac{2400}{v}$、$t=\dfrac{240}{v}$代入，得总运输成本$=\dfrac{2400}{v}× \dfrac{240}{v}=\dfrac{576000}{v^2}$。
根据题意总运输成本≤1200元，列不等式：
$\dfrac{576000}{v^2}≤ 1200$
因为$v＞0$，所以$v^2＞0$，两边同乘$v^2$不等号方向不变，得：
$576000≤ 1200v^2$
两边同时除以1200，得：
$v^2≥ 480$
因为$v＞0$，所以$v≥ \sqrt{480}=4\sqrt{30}$，即货车速度至少为$4\sqrt{30}$千米/时。
【答案】
$t=\dfrac{240}{v}$；$4\sqrt{30}$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 行程问题数量关系
3. 不等式的求解
【点评】
本题结合生活中的运输场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是准确梳理路程、速度、时间以及成本之间的数量关系，列表达式时要注意自变量的取值需符合实际意义，解不等式时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
首先解决第一空：回忆行程问题基本公式“路程=速度×时间”，已知甲乙两地路程固定为240千米，代入公式后变形即可得到t与v的函数关系式，注意速度v为正数。然后解决第二空：全程总运输成本等于每小时运输成本乘以全程行驶时间，先结合第一空得到的t与v的关系，列出总运输成本的表达式，再根据“总运输成本控制在1200元以内”列不等式，解不等式即可得到速度的最小值，注意速度取正值。
【解析】
1. 求t与v的函数解析式：
根据行程公式$\mathrm{路程}=\mathrm{速度}× \mathrm{时间}$，可得$v· t=240$，
变形得$t=\dfrac{240}{v}$（$v＞0$）。
2. 求货车的最小速度：
全程总运输成本 = 每小时运输成本 × 全程行驶时间，即总运输成本$=z· t$。
将$z=\dfrac{2400}{v}$、$t=\dfrac{240}{v}$代入，得总运输成本$=\dfrac{2400}{v}× \dfrac{240}{v}=\dfrac{576000}{v^2}$。
根据题意总运输成本≤1200元，列不等式：
$\dfrac{576000}{v^2}≤ 1200$
因为$v＞0$，所以$v^2＞0$，两边同乘$v^2$不等号方向不变，得：
$576000≤ 1200v^2$
两边同时除以1200，得：
$v^2≥ 480$
因为$v＞0$，所以$v≥ \sqrt{480}=4\sqrt{30}$，即货车速度至少为$4\sqrt{30}$千米/时。
【答案】
$t=\dfrac{240}{v}$；$4\sqrt{30}$
【知识点】
1. 反比例函数的实际应用
2. 行程问题数量关系
3. 不等式的求解
【点评】
本题结合生活中的运输场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是准确梳理路程、速度、时间以及成本之间的数量关系，列表达式时要注意自变量的取值需符合实际意义，解不等式时要注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
11 某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地，为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道. 每块木板对地面的压强$p$(Pa)是木板面积$S$(m^2)的反比例函数，其图象如图所示.
(1) 求$p$关于$S$的函数解析式；
(2) 求当$S=0.25$时，地面所受的压强；
(3) 当$1000＜p＜4000$时，求$S$的变化范围.
(1) 求$p$关于$S$的函数解析式；
(2) 求当$S=0.25$时，地面所受的压强；
(3) 当$1000＜p＜4000$时，求$S$的变化范围.
答案
(1) 设$p=\frac{k}{S}.$
∵ 点$(0.1,1\ 000)$在这个函数的图象上，$∴ k=100.∴ p$关于$S$的函数解析式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$
(2) 当$S=0.25$时,$p=\frac{100}{0.25}=400,∴$ 地面所受的压强为 400 Pa
(3) 令$p=1\ 000,$则$S=\frac{100}{1\ 000}=0.1;$令$p=4\ 000,$则$S=\frac{100}{4\ 000}=0.025.∴$ 当$1\ 000＜p＜4\ 000$时,$0.025＜S＜0.1$
∵ 点$(0.1,1\ 000)$在这个函数的图象上，$∴ k=100.∴ p$关于$S$的函数解析式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$
(2) 当$S=0.25$时,$p=\frac{100}{0.25}=400,∴$ 地面所受的压强为 400 Pa
(3) 令$p=1\ 000,$则$S=\frac{100}{1\ 000}=0.1;$令$p=4\ 000,$则$S=\frac{100}{4\ 000}=0.025.∴$ 当$1\ 000＜p＜4\ 000$时,$0.025＜S＜0.1$
解析
【分析】
这是反比例函数在实际问题中的应用题，解题思路如下：
(1) 题目明确说明压强p是木板面积S的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，再从图象中提取已知点$(0.1,1000)$，代入解析式求出待定系数k，即可得到p关于S的函数解析式；
(2) 求$S=0.25$时的压强，直接将$S=0.25$代入第一问得到的函数解析式计算即可；
(3) 求p在1000~4000之间时S的范围，先分别将p=1000、p=4000代入解析式求出对应的S值，再结合反比例函数的增减性，即可得到S的取值范围。
【解析】
(1) 设p关于S的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，
由图象可知函数过点$(0.1,1000)$，将$S=0.1$、$p=1000$代入解析式得：
$1000=\frac{k}{0.1}$，解得$k=1000×0.1=100$，
因此p关于S的函数解析式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$。
(2) 将$S=0.25$代入$p=\frac{100}{S}$得：
$p=\frac{100}{0.25}=400$，即此时地面所受压强为400 Pa。
(3) 当$p=1000$时，代入解析式得$1000=\frac{100}{S}$，解得$S=0.1$；
当$p=4000$时，代入解析式得$4000=\frac{100}{S}$，解得$S=0.025$；
因为反比例函数$p=\frac{100}{S}$中$k=100＞0$，且$S＞0$，所以p随S的增大而减小，
因此当$1000＜p＜4000$时，$0.025＜S＜0.1$。
【答案】
(1) $p=\frac{100}{S}(S＞0)$
(2) 400 Pa
(3) $0.025＜S＜0.1$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合压强的实际场景考查反比例函数的相关知识，侧重对基础知识的考查，解题的关键是正确利用待定系数法求出函数解析式，结合函数性质求解变量的取值范围，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.8
这是反比例函数在实际问题中的应用题，解题思路如下：
(1) 题目明确说明压强p是木板面积S的反比例函数，因此先设反比例函数的一般形式$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，再从图象中提取已知点$(0.1,1000)$，代入解析式求出待定系数k，即可得到p关于S的函数解析式；
(2) 求$S=0.25$时的压强，直接将$S=0.25$代入第一问得到的函数解析式计算即可；
(3) 求p在1000~4000之间时S的范围，先分别将p=1000、p=4000代入解析式求出对应的S值，再结合反比例函数的增减性，即可得到S的取值范围。
【解析】
(1) 设p关于S的反比例函数解析式为$p=\frac{k}{S}(k≠0,S＞0)$，
由图象可知函数过点$(0.1,1000)$，将$S=0.1$、$p=1000$代入解析式得：
$1000=\frac{k}{0.1}$，解得$k=1000×0.1=100$，
因此p关于S的函数解析式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$。
(2) 将$S=0.25$代入$p=\frac{100}{S}$得：
$p=\frac{100}{0.25}=400$，即此时地面所受压强为400 Pa。
(3) 当$p=1000$时，代入解析式得$1000=\frac{100}{S}$，解得$S=0.1$；
当$p=4000$时，代入解析式得$4000=\frac{100}{S}$，解得$S=0.025$；
因为反比例函数$p=\frac{100}{S}$中$k=100＞0$，且$S＞0$，所以p随S的增大而减小，
因此当$1000＜p＜4000$时，$0.025＜S＜0.1$。
【答案】
(1) $p=\frac{100}{S}(S＞0)$
(2) 400 Pa
(3) $0.025＜S＜0.1$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数实际应用
【点评】
本题结合压强的实际场景考查反比例函数的相关知识，侧重对基础知识的考查，解题的关键是正确利用待定系数法求出函数解析式，结合函数性质求解变量的取值范围，同时要注意实际问题中自变量的取值需符合实际意义。
【难度系数】
0.8
12 方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地，行驶里程为 480 千米.设小汽车的行驶时间为 t 小时，行驶速度为 v 千米/时，且全程速度不超过 120 千米/时.
（1）求 v 关于 t 的函数解析式.
（2）方方上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发.
① 方方需在当天 12 时 48 分至 14 时的时段内（含 12 时 48 分和 14 时）到达 B 地，求 v 的取值范围.
② 方方能否在当天 11 时 30 分前到达 B 地？请说明理由.
（1）求 v 关于 t 的函数解析式.
（2）方方上午 8 时驾驶小汽车从 A 地出发.
① 方方需在当天 12 时 48 分至 14 时的时段内（含 12 时 48 分和 14 时）到达 B 地，求 v 的取值范围.
② 方方能否在当天 11 时 30 分前到达 B 地？请说明理由.
答案
(1) $\because vt=480,$且全程速度不超过 120 千米/时,$\therefore v$关于$t$的函数解析式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① 8 时至 12 时 48 分的时长为$\frac{24}{5}$小时,8 时至 14 时的时长为 6 小时. 将$t=6$代入$v=\frac{480}{t},$得$v=80.$将$t=\frac{24}{5}$代入$v=\frac{480}{t}.$得$v=100.∴ v$的取值范围是$80≤ v≤100$
② 方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地
理由:8 时至 11 时 30 分的时长为$\frac{7}{2}$小时. 将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t},$得$v=\frac{960}{7}.∵ \frac{960}{7}＞120,$超速了,$∴$ 方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.
(2) ① 8 时至 12 时 48 分的时长为$\frac{24}{5}$小时,8 时至 14 时的时长为 6 小时. 将$t=6$代入$v=\frac{480}{t},$得$v=80.$将$t=\frac{24}{5}$代入$v=\frac{480}{t}.$得$v=100.∴ v$的取值范围是$80≤ v≤100$
② 方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地
理由:8 时至 11 时 30 分的时长为$\frac{7}{2}$小时. 将$t=\frac{7}{2}$代入$v=\frac{480}{t},$得$v=\frac{960}{7}.∵ \frac{960}{7}＞120,$超速了,$∴$ 方方不能在当天 11 时 30 分前到达 B 地.
解析
【分析】
本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题思路如下：
1. 第一问根据行程问题核心等量关系“路程=速度×时间”，结合总路程为480千米变形得到v与t的关系式，再根据全程速度不超过120千米/时的限制，求出t的取值范围，即可得到v关于t的函数解析式。
2. 第二问①先算出上午8时到12时48分、8时到14时的行驶时长，路程固定时速度和时间成反比例，时间越长速度越小、时间越短速度越大，将两个时长代入函数即可得到v的取值范围。
3. 第二问②先算出上午8时到11时30分的行驶时长，代入函数求出对应速度，和最高限速120千米/时比较，若超过限速则无法在该时段前到达。
【解析】
(1) 由行程公式可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120千米/时，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此v关于t的函数解析式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 计算行驶时长：
上午8时至12时48分的时长为4小时48分，换算为小时是$4+\frac{48}{60}=\frac{24}{5}$小时；
上午8时至14时的时长为6小时。
由于v随t的增大而减小，将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=80$；将$t=\frac{24}{5}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=100$。
因此v的取值范围是$80≤v≤100$。
② 方方不能在当天11时30分前到达B地，理由如下：
上午8时至11时30分的时长为3小时30分，换算为小时是$\frac{7}{2}$小时。
若此时到达B地，对应的行驶速度$v=\frac{480}{\frac{7}{2}}=\frac{960}{7}$，因为$\frac{960}{7}＞120$，超过了最高限速，不符合行驶规则。
因此方方不能在当天11时30分前到达B地。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤v≤100$；② 不能，理由：若11时30分前到达，所需速度$\frac{960}{7}$千米/时超过120千米/时的限速，不符合要求
【知识点】
反比例函数的应用,行程问题数量关系,函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的常规应用题，解题核心是抓住路程不变的等量关系建立函数模型，需注意实际问题中速度、时间的取值限制，结合反比例函数的增减性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在行程问题中的应用，解题思路如下：
1. 第一问根据行程问题核心等量关系“路程=速度×时间”，结合总路程为480千米变形得到v与t的关系式，再根据全程速度不超过120千米/时的限制，求出t的取值范围，即可得到v关于t的函数解析式。
2. 第二问①先算出上午8时到12时48分、8时到14时的行驶时长，路程固定时速度和时间成反比例，时间越长速度越小、时间越短速度越大，将两个时长代入函数即可得到v的取值范围。
3. 第二问②先算出上午8时到11时30分的行驶时长，代入函数求出对应速度，和最高限速120千米/时比较，若超过限速则无法在该时段前到达。
【解析】
(1) 由行程公式可得$vt=480$，变形得$v=\frac{480}{t}$。
已知全程速度不超过120千米/时，即$v≤120$，代入得$\frac{480}{t}≤120$，解得$t≥4$。
因此v关于t的函数解析式为$v=\frac{480}{t}(t≥4)$。
(2) ① 计算行驶时长：
上午8时至12时48分的时长为4小时48分，换算为小时是$4+\frac{48}{60}=\frac{24}{5}$小时；
上午8时至14时的时长为6小时。
由于v随t的增大而减小，将$t=6$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=80$；将$t=\frac{24}{5}$代入$v=\frac{480}{t}$，得$v=100$。
因此v的取值范围是$80≤v≤100$。
② 方方不能在当天11时30分前到达B地，理由如下：
上午8时至11时30分的时长为3小时30分，换算为小时是$\frac{7}{2}$小时。
若此时到达B地，对应的行驶速度$v=\frac{480}{\frac{7}{2}}=\frac{960}{7}$，因为$\frac{960}{7}＞120$，超过了最高限速，不符合行驶规则。
因此方方不能在当天11时30分前到达B地。
【答案】
(1) $v=\frac{480}{t}(t≥4)$
(2) ① $80≤v≤100$；② 不能，理由：若11时30分前到达，所需速度$\frac{960}{7}$千米/时超过120千米/时的限速，不符合要求
【知识点】
反比例函数的应用,行程问题数量关系,函数取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数结合实际场景的常规应用题，解题核心是抓住路程不变的等量关系建立函数模型，需注意实际问题中速度、时间的取值限制，结合反比例函数的增减性即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
