1.如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ C = 90°$,AD平分$∠ CAB$,BE平分$∠ CBA$,AD,BE相交于点F,且$AF=6,EF=2\sqrt{2}$,则AC的长为 （）

A.$\frac{12}{5}\sqrt{5}$
B.$\frac{16}{5}\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$\frac{18}{5}\sqrt{5}$

1.D [解析]如图,过点 E 作 $EG⊥AD$ 于 G,连接 CF. $\because AD,BE$ 分别是 $∠BAC$ 和$∠ABC$ 的平分线, $\therefore ∠CAD = ∠BAD$,$∠CBE = ∠ABE$. $\because ∠ACB = 90°$,$\therefore 2(∠BAD+∠ABE)=90°$,$\therefore ∠BAD+∠ABE=45°$,$\therefore ∠EFG=∠BAD+∠ABE=45°$. 在 $Rt△EFG$中,$EF=2\sqrt{2}$,$\therefore FG=EG=2$.$\because AF=6$,$\therefore AG=AF-FG=4$,根据勾股定理,得 $AE = \sqrt{AG^2+EG^2} = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5}$. $\because AD$ 平分$∠CAB$,$BE$ 平分$∠ABC$,$\therefore CF$ 是$∠ACB$ 的平分线,$\therefore ∠ACF=45°=∠AFE$.$\because ∠CAF=∠FAE$,$\therefore △AEF∽△AFC$,$\therefore \frac{AE}{AF}=\frac{AF}{AC}$,$\therefore AC=\frac{AF^2}{AE}=\frac{6^2}{2\sqrt{5}}=\frac{18\sqrt{5}}{5}$.

2.如图，$△ ABC$的中线$AD$，$BE$相交于点$G$，过点$G$作$GH // AC$交$BC$于点$H$.如果$GH=2$，那么$AC=\_\_\_\_\_\_$.

2.6

3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,CD上的点,AE=ED,DF=$\frac{1}{4}$DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长.

3.(1)证明:
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴AD=AB=DC=BC,$∠A=∠D=90°$.又
∵AE=ED,$DF=\frac{1}{4}DC$,
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{\frac{1}{2}AD}{\frac{1}{4}DC}=2$,$\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{\frac{1}{2}AD}=2$,
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$.又
∵$∠A=∠D$,
∴$△ABE∽△DEF$.
(2)解:
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴$ED// BG$,
∴$△EDF∽△GCF$,
∴$\frac{ED}{CG}=\frac{DF}{CF}$.又
∵$DF=\frac{1}{4}DC$,$AE=ED$,正方形的边长为 4,
∴$ED=2$,$DF=1$,$CF=3$,
∴$\frac{2}{CG}=\frac{1}{3}$,即 $CG=6$.
∴$BG=BC+CG=4+6=10$.

4. 如图，$∠ ABD = ∠ BCD = 90°$，$DB$平分$∠ ADC$，过点$B$作$BM // CD$交$AD$于$M$，连接$CM$交$DB$于$N$。
(1)求证：$BD^2 = AD · CD$；
(2)若$CD = 6$，$AD = 8$，求$DN$的长。

4.(1)证明:
∵DB 平分$∠ADC$,
∴$∠ADB=∠CDB$.
∵$∠ABD=∠BCD=90°$,
∴$△ABD∽△BCD$,
∴$BD : CD = AD : BD$,
∴$BD^2=AD·CD$.
(2)解:
∵$BM// CD$,
∴$∠MBD=∠CDB$,$BM⊥BC$,而$∠MDB=∠CDB$,
∴$∠MBD=∠MDB$,
∴$MB=MD$.
∵$∠A+∠ADB=90°$,$∠ABM+∠MBD=90°$,
∴$∠A=∠ABM$,
∴$MA=MB$,
∴$MA=MB=MD=\frac{1}{2}AD=4$.
∵$BD^2=AD·CD$,$CD=6$,$AD=8$,
∴$BD^2=8×6=48$,
∴$BD=4\sqrt{3}$.
∵$BM// CD$,
∴$\frac{MB}{CD}=\frac{BN}{DN}=\frac{BD-DN}{DN}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{BD-DN}{DN}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{4\sqrt{3}-DN}{DN}=\frac{2}{3}$,
∴$DN=\frac{12\sqrt{3}}{5}$.

5.如图,在菱形ABCD中,EF⊥AC于点H,分别交AD于点E,交CB的延长线于点F,且AE:FB=1:3,则GB:CD的值为 ()


A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{4}$

5.D

6.[分类讨论思想]在$□ ABCD$中，E是AD上一点，且点E将AD分为2:3的两部分，连接BE，AC相交于点F，则$S_{△ AEF}:S_{△ CBF}$的值为。

6.$\frac{4}{25}$或$\frac{9}{25}$ [解析]当 $AE:ED=2:3$ 时,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,
∴$AD// BC$,$AE:BC=2:5$,
∴$△AEF∽△CBF$,
∴$S_{△AEF}:S_{△CBF}=(\frac{2}{5})^2=\frac{4}{25}$.当 $AE:ED=3:2$(即点 E 在图中点 $E'$ 处)时,同理可得,$S_{△AEF}:S_{△CBF}=(\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$.