7.如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在$AB,AC$上,$∠ AED=∠ B$,射线$AG$分别交线段$DE$,BC于点$F,G$,且$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$.
(1)求证:$△ ADF ∽ △ ACG$;
(2)若$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

7.(1)证明:
∵$∠AED=∠B$,$∠DAE=∠CAB$,
∴$△ADE∽△ACB$,
∴$∠ADF=∠C$.又
∵$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$,
∴$△ADF∽△ACG$.
(2)解:
∵$△ADF∽△ACG$,
∴$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴$\frac{AF}{FG}=1$.

8.如图所示,已知E为□ABCD的边CD延长线上的一点,连接BE交AC于点O,交AD于点F.求证:$OB^2 = OF · OE$.

8.证明:
∵在 $□ABCD$ 中,$AD// BC$,$AB// CE$,
∴$△AOF∽△COB$,$△AOB∽△COE$,
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{OF}{OB}$,$\frac{AO}{OC}=\frac{OB}{OE}$,
∴$\frac{OF}{OB}=\frac{OB}{OE}$,
∴$OB^2=OF·OE$.

9.如图,在矩形ABCD中对角线AC,BD相交于点F,延长BC到点E,使得四边形ACED是一个平行四边形,其对角线AE分别交BD,CD于点G和点H.
(1)求证:$DG^2 = FG · BG$;
(2)若$AB = 10, BC = 12$,求线段GH的长度.

9.(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,$AD// BC$,
∴$△ADG∽△EBG$,
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{AG}{GE}$.
∵四边形 ACED 是平行四边形,
∴$AC// DE$,
∴$△AGF∽△EGD$,
∴$\frac{AG}{GE}=\frac{FG}{DG}$,
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{FG}{DG}$,
∴$DG^2=FG·BG$.
(2)解:
∵四边形 ACED 为平行四边形,AE,CD 相交于点 H,
∴$DH=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}AB=5$,$AD=BC=CE=12$.在 $Rt△ADH$中,$AH^2=AD^2+DH^2$,
∴$AH=13$,在 $Rt△ABE$ 中,$AE^2=AB^2+BE^2$,
∴$AE^2=676$,
∴$AE=26$.
∵$△ADG∽△EBG$,
∴$\frac{AG}{GE}=\frac{AD}{BE}=\frac{1}{2}$,
∴$AG=\frac{1}{2}GE$,
∴$GE=2AG$,
∴$AG=\frac{1}{3} × AE=\frac{26}{3}$,
∴$GH=AH-AG=13-\frac{26}{3}=\frac{13}{3}$.

10.如图,四边形ABCD为平行四边形,E为边AD上一点,连接AC,BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE.
(1)求证:$AE^2 = EF · BE$;
(2)若$AE=2$,$EF=1$,$CF=4$,求AB的长.

10.(1)证明:
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴$AD// BC$,
∴$∠DAC=∠ACB$.
∵$∠ACB=∠ABE$,
∴$∠DAC=∠ABE$.
∵$∠EAF=∠EBA$,$∠AEF=∠BEA$,
∴$△EAF∽△EBA$,
∴$EA:EB=EF:EA$,
∴$AE^2=EF·BE$.
(2)解:
∵$AE^2=EF·BE$,
∴$BE=\frac{2^2}{1}=4$,
∴$BF=BE-EF=4-1=3$.
∵$AE// BC$,
∴$\frac{AF}{FC}=\frac{EF}{BF}$,即$\frac{AF}{4}=\frac{1}{3}$,解得$AF=\frac{4}{3}$.
∵$△EAF∽△EBA$,
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{EF}{AE}$,即$\frac{\frac{4}{3}}{AB}=\frac{1}{2}$,
∴$AB=\frac{8}{3}$.